第五章婧征值揞征向量二次型 第一讲正交向量组与正交矩阵 第二讲方阵的特征值与特征向量 第三讲相似矩阵与实对称矩阵的对角化 第四讲二次型及其标准形 第五讲惯性定理和正定二次型 第六讲习题课
1 第一讲 正交向量组与正交矩阵 第二讲 方阵的特征值与特征向量 第三讲 相似矩阵与实对称矩阵的对角化 第四讲 二次型及其标准形 第五讲 惯性定理和正定二次型 第六讲 习题课 第五章 特征值 特征向量 二次型
第一讲正交向量组与正交矩阵 向量的内积与许瓦兹 1.内积 2.向量的范数 ( Schwarz)不等式 3.许瓦兹不等式 内积 内积定义:对n维列向量 x=. ),y=(n,y2…,yn 称xy=x1y1+x22+…+xnJn 为向量x与y的内积,记为[y 西安建大
西安建大 第一讲 正交向量组与正交矩阵 一．向量的内积与许瓦兹 （Schwarz）不等式 １．内积 内积定义：对 维列向量 称 为向量 与 的内积，记为 ． n ( ) ( ) T n T n x x , x , , x , y y , y , , y = 1 2 = 1 2 n n T x y = x1 y1 + x2 y2 ++ x y x y x, y １．内积 ２．向量的范数 ３．许瓦兹不等式
内积满足下列运算规律: ()[x,y=[y,x] (2)[kx,y]=kx,y] 3)[x+y,z]=[x,z]+[y,z 2.向量的范数 定义:n维向量x的长度(或者)范数为 2 x,十…+x 2 记为 西安建大
西安建大 内积满足下列运算规律： ⑴ x, y= y, x ⑵ kx, y= kx,y ⑶ x + y,z= x,z+ y,z ２．向量的范数 定义： n 维向量 x 的长度（或者）范数为 2 2 2 2 x x1 x xn x, = + ++ 记为 x ．
范数性质: ()非负性:对任何向量x,有|x≥0 当且仅当x=0时,|x|=0 (2)齐次性:‖kx=|k|‖x‖ (3)三角不等式:|x+川y≤|x+|y 当‖x‖=1时,称x为单位向量 西安建大
西安建大 范数性质： ⑴非负性：对任何向量 ，有 ， 当且仅当 时， ； x x 0 x = 0 x = 0 ⑵齐次性： kx = k x ； ⑶三角不等式： x + y x + y . 当 x =1 时，称 x 为单位向量
3.许瓦兹( Schwarz)不等式 对任何实数k和n维向量,有 [kx+y,kx+y]≥0 即k2[x,x]+2k[x,y+[py,y]≥0 所以(2x,y-4x,xy,y]≤0 [x,y≤[x,x]ly,y](5 上式被称为许瓦兹( Schwarz)不等式 西安建大
西安建大 ３．许瓦兹（Schwarz）不等式 对任何实数 和 维向量，有 即 所以 即 （５．１） 上式被称为许瓦兹（Schwarz）不等式. k n kx + y,kx + y 0 2 0 2 k x, x + k x, y + y, y (2 ) 4 0 2 x, y − x, x y, y x, y x, xy, y 2