对41=12=1,解方程(-A)x=0得基础解系 =(-1,1,2) 对3=2,解方程(21-A)x=0得基础解系 P2=(0,0, 222 例5.6求A=020的特征值和特征向量 213 解:A的特征方程为 A+2-2 A-A4=02-20=(2+1)-2)2=0 1元-3 西安建大
西安建大 对 1 = 2 = 1 , 解方程 (I − A)x = 0 得基础解系 ( ) T P1 = −1 ,1 ,2 对 3 = 2 , 解方程 (2I − A)x = 0 得基础解系 ( ) T P2 = 0 ,0 ,1 例5.6 求 的特征值和特征向量. − − = 2 1 3 0 2 0 2 2 2 A 解: A 的特征方程为 ( 1)( 2) 0 2 1 3 0 2 0 2 2 2 2 = + − = − − − + − − − = I A
所以A的特征值为1=-1,A2=3=2 对1=-1,解方程(--A)x=0得基础解系 P=(2,0,1) 对2=A3=2,解方程(21-Ax=0得基础解系 2,0y,P3=(1,0,2 由这两个例子可见,方阵对应于它的重特征值 的线性无关的特征向量的最大个数不多于重 特征值的重数 西安建大
西安建大 所以 A 的特征值为 1 = −1 ,2 = 3 = 2 对 1 = −1 ,解方程 (− I − A)x = 0 得基础解系 ( ) T P1 = 2 ,0 ,1 对 2 = 3 = 2 ,解方程 (2I − A)x = 0 得基础解系 ( ) ( ) T T P2 = 1 ,2 ,0 ,P3 = 1 ,0 ,2 由这两个例子可见,方阵对应于它的重特征值 的线性无关的特征向量的最大个数不多于重 特征值的重数
定理5.6设λ0是n阶矩阵A的k重特征 值,则对应于A0的线性无关的特征 向量最大个数≤k 对于有些n阶矩阵,对应于每个重特征值的线性 无关的特征向量的个数等于重特征值的重数这 种矩阵称为非亏损矩阵;而对于有些n阶矩阵对 应于某个重特征值的线性无关的特征向量的个 数小于重数从而它没有n个线性无关的特征向 量,这种矩阵成为亏损矩阵 14西安建大
西安建大 定理5.6 设 是 阶矩阵 的 重特征 值,则对应于 的线性无关的特征 向量最大个数 . 0 n A k 0 l k n n 对于有些 阶矩阵,对应于每个重特征值的线性 无关的特征向量的个数等于重特征值的重数,这 种矩阵称为非亏损矩阵;而对于有些 阶矩阵,对 应于某个重特征值的线性无关的特征向量的个 数小于重数.从而它没有 个线性无关的特征向 量,这种矩阵成为亏损矩阵. n
第三讲相似矩阵与实对称矩阵的对角化 相似矩阵 1定义 2讨论 1定义 定义5.5对n阶方阵A,B,如果存在可 逆矩阵P,使PAP=B 则称B是A的相似矩阵或者称矩 阵A与B相似而对A进行运算 PAP称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A变为B的相 似变换矩阵 西安建大
西安建大 第三讲 相似矩阵与实对称矩阵的对角化 一.相似矩阵 1.定义 2.讨论 1.定义 定义5.5 对 阶方阵 , , 如果存在可 逆矩阵 ,使 则称 是 的相似矩阵,或者称矩 阵 与 相似,而对 进行运算 称为对 进行相似变换, 可逆矩阵 称为把 变为 的相 似变换矩阵. n A B P P AP = B −1 B A A B A P AP −1 A P A B
显然,若A与B相似,则A与B等价;反之不 然,矩阵相似具有反身性对称性和传递性 定理5.7若n阶方阵A与B相似,则A与 B有相同的特征多项式,从而有相同的特征值 证明:因为A与B相似,即有P使PAP=B 所以:-B=1-P1AP=P-4P=1-4 即A与B有相同的特征多项式 西安建大
西安建大 显然,若 与 相似,则 与 B 等价;反之不 然,矩阵相似具有反身性,对称性和传递性. A B A B 定理5.7 若 阶方阵 与 相似,则 A 与 有相同的特征多项式,从而有相同的特征值. n A B 证明:因为 A 与 B 相似,即有 P 使 P AP = B −1 所以： I − B = I − P AP = P I − A P = I − A − 1 即 A 与 B 有相同的特征多项式