定义5.1设1向量E1,E2,,E是向量空间 V(VcR")一组正交基,如果它们均为单位向 量,则称E1,E2,,E为V的一组正交规范基 或标准正交基 例如:e1=(1,0,0,0),e2=(0,,0,0) (0.0.10):e2=(0.0,0,) √2’√2 0,0 0,0 都是R的正交规范基 西安建大
西安建大 定义５．１ 设 维向量 是向量空间 的一组正交基，如果它们均为单位向 量，则称 为 的一组正交规范基 或标准正交基． n r , , , 1 2 V(V R ) n r , , , 1 2 V 例如： ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T e , , , , e , , , e , , , , e , , , 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 3 4 1 2 = = = = T T T T , , , , , , , , , , , , , , = − = = − = 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1 0 0 0 0 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1 3 4 1 2 与： 都是 R 4 的正交规范基．
2.施密特正交化方法 设1,O2,…,O是线形无关向量组,令: b,=a1 b..b b1 b,, b b1 b b,,b b1 b. b b.b 西安建大
西安建大 ２．施密特正交化方法 设 1 ,2 , ,r 是线形无关向量组，令： 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 1 1 1 1 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 1 1 − − − − = − − − − = − − = − = r r r r r r r r r b b ,b b , b b ,b b , b b ,b b , b ............................ b , b ,b b , b b ,b b , b b , b ,b b , b b ,
上述由线形无关向量组a1,2,…,C1导出正交 向量组b1,b2,…,b的方法叫做施密特正交化 方法,这种方法导出的正交向量组b1,b2,…,b 与a1,a2 等价 再取81W(i=1,2,…,r) 显然E1,E2y……,E为正交规范化的向量组, 且与1,a2,…,Cn等价 西安建大
西安建大 br b ,b , , 1 2 r 1 ,2 , , br b ,b , , 1 2 上述由线形无关向量组 导出正交 向量组 的方法叫做施密特正交化 方法．这种方法导出的正交向量组 与 1 ,2 , ,r 等价． 再取 (i , , ,r ) b b i i i = = 1 2 显然 为正交规范化的向量组， 且与 等价． r 1 , 2 , , r 1 ,2 , ,
例52:已知a1=(1,1,1),a2=(1,2,1),a3=(1,1,2) 线性无关.试将它们正交规化 解:取b b,= a b1 b,=2 3 4=2-1a1b b b, b 6,. b 3 23 2 西安建大
西安建大 例5.2：已知 线性无关．试将它们正交规化． ( ) ( ) ( ) T T T 1 = 1 ,1 ,1 ,2 = 1, 2 ,1 ,3 = 1 ,1 ,2 − = − − + − = = − − − − = − = − = = 1 0 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 1 1 1 3 4 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 3 4 1 2 1 2 2 2 2 3 1 1 1 1 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 1 1 b b ,b b , b b ,b b , b b b ,b b , b b , 解：取
(3’3’√3 2 b—bb=—b 0. 则E1,E2,E3两两正交且均为单位向量 西安建大
西安建大 令： T T T , , b b , , b b , , b b = = − = = − − = = 2 1 0 2 1 6 1 6 2 6 1 3 1 3 1 3 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 则 1 , 2 , 3 两两正交且均为单位向量