初等数学方法建模 假设渡河是从南岸到北岸,(m,n)表示南岸有m个商人,n个随从,全部的允许状态共有10个 v1=(3,3) (3,2)v3=(3,1)v4=(30) (2, v6=(1,1)v7=(0,3)vs=(0,2)v=(0.1)Vo=(00) 以V=句,v2…v10}为顶点集,考虑到奇数次渡河及偶数次渡河的不同,我们建立两个邻接距阵 , A2 0 A 00000 0001 00111 00000 00110 其中4=00010 A2=10000 A3=00011 00000 00000 00001 00000 00000 其中A表示从南岸到北岸渡河的图的邻接距阵,B=A表示从北岸到南岸渡河的图的邻接距阵。 由定理1、我们应考虑最小的k,st(AB)A中1行10列的元素不为0,此时2k+1即为最少的 渡河次数,而矩阵(AB)A中1行10列的元素为最佳的路径数目。 经过计算K=5时,(AB)A的第1行10列元素为2,所以需11次渡河,有两条最佳路径 最后我们用图解法求解 前面我们已求出问题的10种允许状态,允许决策向量集合D={1):a+v=1,2状态转移方程为 S1=S4+(-1)dk,如图2-3,标出10种允许状态,找出从S1经由允许状态到原点的路径,该路径还 要满足奇数次向左,向下;偶数次向右,向上 duo d6/ d g 图2-3 由图2一3可得这样的过河策略,共分11次决策
初等数学方法建模 6 假设渡河是从南岸到北岸，（m，n）表示南岸有 m 个商人，n 个随从，全部的允许状态共有 10 个 (3,3) (3,2) (3,1) (3,0) (2,2) v1 = v2 = v3 = v4 = v5 = (1,1) (0,3) (0,2) (0,1) (0,0) v6 = v7 = v8 = v9 = v10 = 以 V = v1 ,v2 , v10 为顶点集，考虑到奇数次渡河及偶数次渡河的不同，我们建立两个邻接距阵 T B A A A A A = = 3 1 2 0 其中 = = = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 A1 A2 A3 其中 A 表示从南岸到北岸渡河的图的邻接距阵， T B = A 表示从北岸到南岸渡河的图的邻接距阵。 由定理 1、我们应考虑最小的 k ， s t AB A k ( ) 中 1 行 10 列的元素不为 0，此时 2k +1 即为最少的 渡河次数，而矩阵 AB A k ( ) 中 1 行 10 列的元素为最佳的路径数目。 经过计算 K=5 时, AB A 5 ( ) 的第 1 行 10 列元素为 2，所以需 11 次渡河，有两条最佳路径. 最后我们用图解法求解： 前面我们已求出问题的 10 种允许状态，允许决策向量集合 D = (u,v):u + v =1, 2,状态转移方程为 k k Sk+1 = Sk + (−1) d , 如图 2—3，标出 10 种允许状态，找出从 1 s 经由允许状态到原点的路径，该路径还 要满足奇数次向左，向下；偶数次向右, 向上. 由图 2—3 可得这样的过河策略，共分 11 次决策 图 2--3
初等数学方法建模 去一商一 回一商 去二随 回一随 去二商 (3.3) (2,2) (3,2) (3,0) (3.1) (1,1) 回一商一随 去二商 (2,2) (0.2) (0,3) (0.1) (0.2) (0.0) 思考题:1、在商人过河中若有4名商人,各带一随从能否过河 2、夫妻过河问题:有3对夫妻过河,船最多能载2人,条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况 下与其他男子在一起,如何安排三对夫妻过河?若船最多能载3人,5对夫妻能否过河? 3、量纲分析法 量纲分析是20世纪初提出的,在物理领域中建立数学模型的一种方法,它是在经验和实验的基础上,利 用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系 3.1量纲齐次原则与Pi定理 许多物理量是有量纲的,有些物理量的量纲是基本的,另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其 定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中,把长度l,质量m和时间t的量纲作为基本量纲,记为 =L.[m]=M,团=T;而速度v,力f的量纲可表示为]=Lr-,[门=MT 在国际单位制中,有7个基本量:长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量,它们的量纲 分别为L、M、T、I、O、J、和N;称为基本量纲。任一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之 ]=LMr1°eN/ 量纲齐次性原则:用数学公式表示一个物理定律时,等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下,分析和探求物理量之间关系;先看一个具体的例子,再给出 量纲分析的一般方法 例3-1:单摆运动,质量为m的小球系在长度为l的线的一端,线的另一端固定,小球偏离平衡位置 后,在重力mg作用下做往复摆动,忽略阻力,求摆动周期的表达式。 解:在这个问题中有关的物理量有1,m,l,g设它们之间有关系式 t=/ '/28 (3.1) 其中a,a2,a3为待定常数,入为无量纲的比例系数,取(3.1)式的量纲表达式有 ]=[m}"￠[g}整理得:T=M“L-T2 由量纲齐次原则应有 a2+
初等数学方法建模 7 思考题：1、在商人过河中若有 4 名商人，各带一随从能否过河？ 2、夫妻过河问题：有 3 对夫妻过河，船最多能载 2 人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况 下与其他男子在一起，如何安排三对夫妻过河？若船最多能载 3 人，5 对夫妻能否过河？ 3、量纲分析法 量纲分析是 20 世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利 用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。 3.1 量纲齐次原则与 Pi 定理 许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其 定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中，把长度 l , 质量 m 和时间 t 的量纲作为基本量纲，记为 l = L, m = M, t = T ; 而速度 v，力f 的量纲可表示为 1 2 , − − v = LT f = MLT . 在国际单位制中，有 7 个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲 分别为 L、M、T、I、 、J、和 N；称为基本量纲。任一个物理量 q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之 积， q = L M T I N J 量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出 量纲分析的一般方法。 例 3—1： 单摆运动，质量为 m 的小球系在长度为 l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置 后，在重力 mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期 t 的表达式。 解：在这个问题中有关的物理量有 t,m,l, g 设它们之间有关系式 1 2 3 1 t = m l g ---------------（3.1） 其中 2 3 , , 为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有 1 2 3 t = m l g 整理得： 1 2 +3 −23 T = M L T --------------（3.2） 由量纲齐次原则应有 − = + = = 2 1 0 0 3 2 3 1 ---------------（3.3） 去一商一随 （3，3） （2，2） 回一商 （3，2） 去二随 （3，0） 回一随 （3，1） 去二商 （1，1） 回一商一随 （2，2） 去二商 （0，2） 回一随 （0，3） 去二随 （0，1） 回一随 （0，2） 去二随 （0，0）