22随机序列的收敛 ◆2.2.1依概率收敛 ◆2.2.2依均方(期望)收敛 ◆2.2.3依分布收敛
2.2 随机序列的收敛 2.2.1 依概率收敛 2.2.2 依均方（期望）收敛 2.2.3 依分布收敛 6
2.2.1依概率收敛 定义随机序列{x}n依概率收敛( converge in probability 于常数a,记为 plim x2=a或xn2)a,如果对于任意6 当n→时,都有himP(x-a>)=0 n→00 {亡 任意给定很小的正数ε>0,当n越来越大时,随机变量 n落在区间(a-,a+)之外的概率收敛于0。 当n变大时,x远离常数a的可能性越来越小,变得几乎 不可能
2.2.1 依概率收敛 定义随机序列 依概率收敛(converge in probability) 于常数a，记为 或 ，如果对于任意 ，当 时，都有 任意给定很小的正数 ，当n越来越大时，随机变量 落在区间 之外的概率收敛于0。 当n变大时， 远离常数a的可能性越来越小，变得几乎 不可能。 7
2.2.2依均方(期望)收敛 定义如果随机序列{xn}的期望收敛于a,即imE(x)=a →0 而方差收敛于0,即iVar(x)=0,则称{x}依均方 n→0 收敛于常数a,记为xnm>a 通过切比雪夫不等式,可以证明,依均方收敛意味着 依概率收敛。 不等式P{x2e}≤或P{x<a2/- 成立
2.2.2 依均方（期望）收敛 定义 如果随机序列 的期望收敛于a，即 ；而方差收敛于0，即 ，则称 依均方 收敛于常数a，记为 。 通过切比雪夫不等式，可以证明，依均方收敛意味着 依概率收敛。 不等式 或 成立。 8
当的均值越来越趋于a,而方差越来越小并趋于0时 就有 pIimx=a,即在极限处x退化为常数a n→ 即,依均方收敛必然依概率收敛。 反之,依概率收敛并不意味着均方收敛 回到{xn}报从两点分布的例子,即x取值为0的概率 为1-(1m),而取值为n的概率为(1/m)。虽然xn依概率收 敛到0,但x并不依均方收敛到0,因为此序列的期望恒 等于1
当 的均值越来越趋于a，而方差越来越小并趋于0时 ，就有 ，即在极限处 退化为常数a。 即，依均方收敛必然依概率收敛。 反之，依概率收敛并不意味着均方收敛。 回到 服从两点分布的例子，即 取值为0的概率 为 ，而取值为n的概率为 。虽然 依概率收 敛到0，但 并不依均方收敛到0，因为此序列的期望恒 等于1。 9
imE(xn)=lim0·1 1≠0(2.6) n→00 n→00 随着n->∞,随机序列x,取值大于0的概率越来越 小(为1/n),但一旦取值为正数,则很大(等于n),故此序 列的期望始终为1 10
（2.6） 随着 ，随机序列 取值大于0的概率越来越 小(为1/n)，但一旦取值为正数，则很大(等于n)，故此序 列的期望始终为1。 10