两平面垂直<→n1m2=0←→A1A2+B1B2+C1C2=0; 两平面平行<→n1×n2=0→A1A2=B1:B2=C1:C2 k A1B1C1=0 A B2 2 (B1C2-B2C1)-(A1C2-A2C1j+(A1B2-A2B1)k (B1C2-B2C1,A1C2-A2C1,A1B2-42B1) 0 0 0 即41:42=B1B2=C1:C2
A1A2+B1B2+C1C2=0; 两平面平行 0 2 2 2 1 1 1 = A B C A B C i j k (B C B C )i (A C A C ) j (A B A B )k 1 2 − 2 1 − 1 2 − 2 1 + 1 2 − 2 1 = = ( , , ) B1 C2 −= B2 C1 A1 C2 −= A2 C1 A1 B = 2 − A2 B1 A1 :A2=B1 :B2=C1 :C2 . 两平面垂直 n1 n2=0 n1n2=0 A1 :A2=B1 : B2=C1 :C2 . 0 0 0 即
特殊情形 平行不重合←→A1A2=B1:B2=C1:C2≠D1:D2 重合←→A1A2=B1:B2=C1:C2=D1D
平行不重合 重合 A1 :A2=B1 :B2=C1 :C2 D1 :D2 ; A1 :A2=B1 :B2=C1 :C2= D1 :D2 . 特殊情形：
例45设平面n过点M(1,0,0),M(,1,1)且与 平面n:x+y+=0垂直,求平面x 解 设法向n1=(1,1,1) 则平面∥n1 而x过点M1,M2.故 平面x∥MM2 因此,平面z⊥n1×M1M2 即的法向n=m1XM1M2
例4.5 设平面 过点 M1 (1, 0, 0), M2 (1, 1, 1) 且与 平面1：x+y+z=0 垂直， 求平面 . 而 过点M1 , M2 . 故 平面 // M1M2 . 设 1 法向 n1=(1, 1, 1). 因此，平面 ⊥n1M1M2 . n1 • M1 • M2 即 的法向 n =n1M1M2 . 则 平面 // n1 . 解：
n=(1,1,1)×(1-1,1-0,1-0) +=(0,-1,1) 故得平面z方程为 0(x-1)-(y-0)+(z-0)=0 即 y+z=0
0 1 1 1 1 1 i j k = = − j + k = (0, −1, 1). 故得平面 方程为 0(x −1) − ( y − 0) + (z − 0) = 0. 即 − y + z = 0. n = (1, 1,1) (1−1, 1− 0, 1− 0)
5平面外一点到平面的距离 解:如图 设平面x:Ax+ByCz+D=0.则 平面上点M(x1,y,z1)满足A1+Bu+C12+D1=0 由于MMN为之法向故M0N∥(A,B,C 即d=M0N|=M0M1|cosb
5 平面外一点到平面的距离 解：如图 M1 M0 N 设平面 : Ax+By+Cz+D=0. 则 平面上点M1 (x1 , y1 , z1 )满足 A1x+B1y+C1 z+D1=0. 由于 M0N 为之法向.故 M0N // (A, B, C). n • • • | | d = M0 N | | | cos | 即 = M0 M1