《电磁场与电磁波》课程教学资源（文献资料）电磁场与电磁波，第二版习题解答，杨儒贵，共十章

x=rcosp, y=rsinp, z=2因此，该点在直角坐标下的位置为×-40()--2; y-4si()-2/3; =-333同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系，x2+y2r=/+y~+2; 0=arctan)Φ=arctany可得该点在球坐标下的位置为r=5; 0=arctan~53°;Φ=120°1-20已知直角坐标系中的失量A=ae,+be,+ce，式中a，b，均为常数，A是常失量吗？试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。解由于A的大小及方向均与空间坐标无关，故是常矢量。已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为r=x?+y;Φ=arctar=a+b;Φ=求得sinp:cosp=Va?+b2Va?+b?又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为[A]OTA.「cosdsind4--sing cosp 04[A.] 014.将上述结果代入，求得11

11 x  r cos ， y  rsin ， z  z 因此 ， 该点 在 直角 坐标 下 的位 置 为 2 3 2 4cos           x ; 2 3 3 2 4sin          y ; z = 3 同 样 ， 根 据 球 坐 标 系 和 直 角 坐 标 系 坐 标 变 量 之 间 的 转换 关 系， 2 2 2 r  x  y  z ； z x y 2 2 arctan    ； x y   arctan 可得 该 点在 球 坐标 下的 位 置为 r  5 ；  53 3 4   arctan  ；   120 1-20 已 知 直 角 坐 标 系 中 的 矢 量 y z A ae be ce  x   ， 式 中 a, b, c 均 为 常数 ， A 是常 矢 量吗 ？ 试 求该 矢 量在 圆 柱坐 标系 及 圆球 坐 标系 中的 表 示式 。 解 由 于 A 的 大 小 及 方 向 均 与 空 间 坐 标 无 关 ， 故 是 常 矢 量。 已 知 直 角 坐 标 系 和 圆 柱 坐 标 系 坐 标 变 量 之 间 的 转 换 关系 为 2 2 r  x  y ； x y   arctan ； z  z 求得 2 2 r  a b ； a b   arctan ； z c 2 2 sin a b b    ； 2 2 cos a b a    又知 矢 量 A 在 直角 坐标 系 和圆 柱 坐标 系中 各 个坐 标 分量 之 间的 转 换关 系为                                 z y x z r A A A A A A 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0      将上 述 结果 代 入， 求得

Va?+b2Na?+b[Va?+b?明-iLc]即该矢量在圆柱坐标下的表达式为A=e,Va +b +e.c直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为Vx"+yr=/x+y~+2; 0=arcta= arctarl由此求得Na+b2r=Va?+b2+c;0=arctarcta失量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为[sincospsinesindcosOAcoocosgcoso singsinA-sindosd求得[sinocosd sinosingA4cosocosp cososing-sinocosd0A-sind即该量在球坐标下的表达式为A=e,Va2+b?+c1-21已知圆柱坐标系中的矢量A=ae,+be。+ce.，式中a,b,c均为常数，A是常失量吗？试求V·A及VxA以及A在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。解因为虽然a，b，c均为常数，但是单位矢量e,和e均为变矢，所以A不是常矢量。12

12                                                           c a b c b a a b a a b b a b b a b a A A A z r 0 0 0 1 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  即该 矢 量在 圆 柱坐 标下 的 表达 式 为 a b c r z A e  e 2 2 直 角 坐 标 系 和 球 坐 标 系 的 坐 标 变 量 之 间 的 转 换 关 系 为 2 2 2 r  x  y  z ；           z x y 2 2  arctan ；        x y  arctan 由此 求 得 2 2 2 r  a b c ；           c a b 2 2  arctan ；        a b  arctan 矢 量 A 在直 角 坐标 系和 球 坐标 系 中各 个坐 标 分量 之 间的 转 换关 系 为                                  z y r x A A A A A A sin cos 0 cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos               求得                                                 0 0 sin cos 0 cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos 2 2 2 a b c c b a A A Ar               即该 矢 量在 球 坐标 下的 表 达式 为 2 2 2 a b c Aer   。 1-21 已 知 圆 柱 坐 标 系 中 的 矢 量 r z A ae be ce  ， 式 中 a, b, c 均 为 常数 ，A 是常 矢 量吗 ？ 试求  A 及 A 以及 A 在相 应 的直 角 坐标 系及 圆 球坐 标 系中 的表 示 式。 解 因为 虽 然 a, b, c 均为 常 数， 但 是单 位矢 量 er 和 e均 为变 矢 ，所 以 A 不是 常矢 量

已知圆柱坐标系中，矢量A的散度为V.A-1%(4)14 +%+0aror将 A=-a,+bg+e,代入,得V-A-%(a)+0+0-矢量 A 的旋度为ee.e.ee.e美厦已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为y=rsing;x=rcosp;Z=2X.sind:JcOSp=V+yaVx?+y?又知失量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为A.] [cosdsing OTAsingcosd0A,40014.A.将上述接结果代入，得二0aA1字118A即该矢量在直角坐标下的表达式为A=(x-ye+(y+e,+ce,其中x+y=d。0a矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系13

13 已知 圆 柱坐 标 系中 ，矢 量 A 的 散 度为   z A A r rA r r z r            1 1  A 将 r z A ae be ce  代入 ，得   r a ar r r        0 0 1 A 矢 量 A 的旋 度 为 r z r z A rA A r z r r            e e e A z r z r b a rb c r z r r e e e e           已 知 直 角 坐 标 系 和 圆 柱 坐 标 系 坐 标 变 量 之 间 的 转 换 关系 为 x  r cos ; y  rsin ; z  z a x x y x    2 2 cos ; a y x y y    2 2 sin 又知 矢 量 A 在 直角 坐标 系 和圆 柱 坐标 系中 各 个坐 标 分量 之间 的 转换 关 系为                                 z r z y x A A A A A A      0 0 1 sin cos 0 cos sin 0 将上 述 接结 果 代入 ，得                                                            c x a b y y a b x c b a a x a y a y a x A A A z y x 0 0 1 0 0 即该 矢 量在 直 角坐 标下 的 表达 式 为 x y z x c a b y y a b A x e e  e                ，其 中 2 2 2 x  y  a 。 矢 量 A 在圆 柱 坐标 系和 球 坐标 系 中各 个坐 标 分量 之 间的 转 换关 系

Al「sing 0A-coso -sinoA以及sin=1bA01即该矢量在球坐标下的表达式为A=re,+be。1-22已知圆球坐标系中矢量A=ae,+be。+ce，式中a,b,C均为常数，A是常失量吗？试求VA及V×A，以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。解因为虽然a,b,c均为常数，但是单位失量er，eoes均为变矢，所以A不是常矢量。在球坐标系中，矢量A的散度为V.A=2(rA)+1(aA)%(in A)+rsinear+rsinoa将失量4的各个分量代入，求得V-A-2+cote。失量A的旋度为e,e.VxA=Ia4egerobe1%%aTA

14                                 z r r A A A A A A        0 1 0 cos 0 sin sin 0 cos 以及 r a sin  ， r c cos  ，求 得                                                                    b r b r a c c b a r a r c r c r a A A Ar 0 0 0 1 0 0 0 2 2   即该 矢 量在 球 坐标 下的 表 达式 为  A re be  r  。 1-22 已 知圆 球 坐 标系 中 矢量   A ae be ce  r   ，式中 a, b, c 均 为 常数 ，A 是 常矢 量 吗？ 试 求  A 及  A ，以 及 A 在直 角 坐标 系 及圆 柱坐 标 系中 的 表示 式。 解 因为 虽 然 a, b, c 均为 常 数，但 是 单 位矢 量 er，e，e 均为 变 矢， 所 以 A 不是常 矢 量。 在球 坐 标系 中 ，矢 量 A 的 散度 为                              A r A r r A r r r sin 1 sin sin 1 2 1 A 2 将矢 量 A 的 各 个分 量代 入 ，求 得 cot 2 r b r a A  。 矢 量 A 的旋 度 为          A rA r A r r r r r r sin sin sin 2         e e e A         e e e e r b a rb r c r r r r r         sin sin sin 2

利用失量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系[singcost cosacosp1.-singTA,-singsing cososingcosd-sinecoso/+y22+y229/x2+y2Vx?+y?+z?以及，求得NsimpCOSOx+yx?+y?+2a该失量在直角坐标下的表达式为bxzcybyzA=x+a++a/x2+y2/x2+y+(:-b/2+y)a利用失量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系 0[r+4][sino coso 0411000916.08 16-C1.2A] [cose -sing olA,]Ta求得其在圆柱坐标下的表达式为A=(r+ae,+ce, +(--re.1-23 若标量函数Φ(x,y,2)=z,(x,,2)=rzsinp0(r,0,0)-sio, 试求a, V,及V.+*+=0+2x2+0=2xz15

15 利用 矢 量 A 在 直角 坐标 系 和球 坐 标系 中各 个 坐标 分 量之 间 的转 换 关系                                                A A A A A A r z y x cos sin 0 sin sin cos sin cos sin cos cos cos sin 以及            2 2 2 2 sin cos x y y x y x   ，                  a z x y z z a x y x y z x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin   ，求 得 该矢 量 在直 角 坐标 下的 表 达式 为 z x y a b x y z x y cx a x y byz y x y cy a x y bxz x e A e e                                      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 利用 矢 量 A 在 圆 柱 坐标 系 和球 坐 标系 中各 个 坐标 分 量之 间 的转 换 关系                                                                            r a b z c z a b r c b a a r a z a z a r A A A A A A r z r 0 0 0 1 0 cos sin 0 0 0 1 sin cos 0        求得 其 在圆 柱 坐标 下的 表 达式 为 r z r a b z c z a b A r e e e                  。 1-23 若 标 量 函 数 x y z xy z 2 1  ( , , )  ， 2 (x,,z)  rzsin ， 3 2 sin ( , , ) r r      ，试 求 1 2   ， 2 2   及 3 2   。 解 xz xz x y z 0 2 0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2                  