《电磁场与电磁波》课程教学资源（文献资料）电磁场与电磁波，第二版习题解答，杨儒贵，共十章

=@W.A+A.VD:即V(@A)=-C.A+A.VD1-10试求距离lr-r/在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式解在直角坐标系中i -= /(2 -x)+(2 -)+(2 -z)在圆柱坐标系中，已知x=rcoss，=rsing，z=z，因此-=/( cos- cos) +( sin- sin)+(z2-z)= +-2i cos(0-0)+(2-2)在球坐标系中，已知x=rsinacos，y=rsingsing，z=rcose因此/singcigco+iningsin+coco)=/+-2rr[sing, sino,cos(d-)+coso,coso]1-11已知两个位置失量及r，的终点坐标分别为(,0,)及(2,2,)，试证与之间的夹角为cosy=sing, sing, cos(df-)+coso, coso证明根据题意，两个位置失量在直角坐标系中可表示为i=eri sing,cosdei sing singeri coser =er sino, cosd, +eyr sino, sing +ern coso已知两个失量的标积为=|cosy，这里为两个矢量的夹角。因此夹角为cosy=a式中

6 A A ； 即 AA A 1-10 试 求 距 离 | | 1 2 r  r 在 直 角 坐 标 、 圆 柱 坐 标 及 圆 球 坐 标中 的 表示 式 。 解 在直 角 坐标 系 中       2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 r r  x  x  y  y  z  z 在圆 柱 坐标 系 中 ，已知 x  r cos ， y  rsin ， z  z ，因此       2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 r r  r cos r cos  r sin r sin  z  z     2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2  r r 2rr cos   z z 在球 坐 标系 中，已 知 x  rsin cos , y  rsin sin , z  r cos , 因此       2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 r r  r sin cos r sin cos  r sin sin r sin sin  r cos r cos     2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2  r r 2r r sin sin cos   cos cos 1-11 已 知 两 个 位 置 矢 量 1 r 及 2 r 的 终 点 坐 标 分 别 为 ( , , ) 1 1 1 r 及 ( , , ) 2 2 2 r ，试 证 1 r 与 2 r 之 间的 夹角  为 1 2 1 2 1 2 cos sin sin cos(  )cos cos 证 明 根据 题 意， 两 个位 置 矢量 在 直角 坐标 系 中可 表 示为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r  ex r sin cos ey r sin sin ez r cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r  ex r sin cos ey r sin sin ez r cos 已 知 两 个 矢 量 的 标 积 为 cos 1 2 1 2 r r  r r ， 这 里 为 两 个 矢 量 的 夹角 。 因此 夹 角为 1 2 1 2 cos r r r r   式中

r, =rr(sine, cosd, sine, cosd, + sine, sing sing, sin g,+cose, coso,)2/=ri2因此，cosy=sing, sing,(cosd cosp, + sin g sing)+ cosd, coso=sine, sin, cos(d-$2)+ cose, cos021-12 试求分别满足方程式.(fi(r)r)=0及Vx(f2(r)r)=0的函数 fi(r)及 f(n)。解在球坐标系中，为了满足()]-[()+()-r=r+3()=0Or即要求4+36(0)=0==-3，求得drfi(r)产In f()=-3Inr+Inc10)-%即在球坐标系中，为了满足Vx[(0)]-[(0)]xr+(0)Vxr=0由于[Vf,()]xr=0，Vxr=0，即上式恒为零。故f()可以是的任意函数。1-13试证式（1-7-11）及式（1-7-12)。证明①式（1-7-11）为V(CA)=CV×A（C为常数）令A=Ae,+Ae,+Ae，CA=CAe,+CAe,+CAe则e.美美一慢aVx(CA)=|ax2CACA CAAAA②式（1-7-12）为V×(@A)=@V×A+VDxA

7 cos cos ) (sin cos sin cos sin sin sin sin 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2            r r  rr  1 2 1 2 r r  rr 因此 ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 sin sin cos( ) cos cos cos sin sin (cos cos sin sin ) cos cos                      1-12 试 求 分 别 满 足 方 程 式 f 1 (r)r  0 及 f 2 (r)r  0 的 函 数 ( ) 1 f r 及 ( ) 2 f r 。 解 在球 坐 标系 中 ， 为了 满 足            3 1   0 1 1 1 1            f r r f r f r r f r r f r r r 即要 求   3   0 d d 1 1  f r  r f r r     r r f r d f r 3d 1 1    ，求 得 ln f 1 r  3lnr lnC 即   1 3 r C f r  在球 坐 标系 中 ，为 了满 足 f 2 rrf 2 rr  f 2 rr  0 由于 f 2 rr  0， r  0 ，即 上 式恒 为零 。 故 f r 2 可以 是 r 的 任意 函 数。 1-13 试证 式 （1-7-11）及 式 （1-7-12）。 证 明 ①式 （1-7-11）为 CACA （ C 为常 数） 令 x y z A e e e  Ax  Ay  Az ， C CAx x CAy y CAz z A e  e  e ，则   A e e e e e e A                  C A A A x y z C CA CA CA x y z C x y z x y z x y z x y z ②式 （1-7-12） 为 AAA

A=Ae.+Ae,+Ae,=4e,+e,+Ae,则]x(aA)=%aO4, DA, A.[()()+[()(](%4-24)-(%4-4) (%4-%4)+（-）-)C-VOXA+@V×A若将式（1-7-12）的右边展开，也可证明。1-14 试证 Vx=0. (P)=0及 V(今)=0.T(r证明已知在球坐标系中，矢量A的旋度为eeees吧6STV×A=I04adrAorsineA,对于矢量r，因A=r，A=0，A=0，代入上式，且因r与角度9，无关，那么，由上式获知Vxr=0。对于量，因4=1，4g=0，4,=0，显然Vx()=0。对于矢量六，因4,=六，4=0，4=0，同理获知(9)=0.1-15若C为常数，A及k为常矢量，试证：

8 令 x y z A e e e  Ax  Ay  Az ， Ax x Ay y Az z A e  e  e ， 则       z y x x y z x y z A z A y A A A x y z e e e e A                                   z x y y Ax z y A x A z A x e e                            z y x z x y y Ax z y A x A z A x A z A y e e e                                               z y x y z x x z y y A x A z A x A z A y A e e e                                              A A 若将 式 （1-7-12） 的 右边 展 开， 也 可证 明。 1-14 试 证 r  0，   0       r r 及 0 3         r r 。 证 明 已知 在 球坐 标 系中 ， 矢 量 A 的旋 度为          A rA r A r r r r r r sin sin sin 2         e e e A 对于 矢 量 r ，因 A r r  ， A  0， A  0 ，代 入 上式 ， 且 因 r 与 角度 ， 无 关， 那 么， 由 上式 获知 r  0。 对于 矢 量 r r ，因 Ar 1， A  0， A  0 ，显 然   0       r r 。 对于 矢 量 3 r r ，因 2 1 r Ar  ， A  0， A  0 ，同 理 获知 0 3         r r 。 1-15 若 C 为 常数 ， A 及 k 为 常 矢量 ， 试证 ：

O Ver =Cke*r;② V-(Aec*r)=Ck·Aec*r;③ Vx(Aed*r)=CkxAe**r。证明①证明Ve=Cke*。利用公式VF()=F(@)VD，则Veckr =edv(Ck.r)-Cedr(k.r)而 V(k.r)-v(kx+k,y+kz)=ek,+e,k,+ek,=k求得Veckr=Ckecr。②证明 V.(Ae)-Ck- Aear。利用公式V(oA)=CV.A+A.VO，则V.(Aecr)= A.V(ear)+ekrV.A= A.V(er)再利用①的结果，则(Aec)=Ck·Aear③证明 Vx(Ae)-CkxAe*。利用公式Vx(o)=VxA+@V×A，则x(Ae)-(ear)xA+erV×A=V(ear)xA再利用①的结果，则Vx(Aec)=CkxAeckr。v2(e)=k2 e~k1-16试证一，式中k为常数。(r)证明已知在球坐标系中e(sino0)V0=12(200)ad1rarar Jr sing ao(10sin则(

9 ① k r k r k     c c e C e ； ② k r k r A k A      c c ( e ) C e ； ③ k r k r A k A      c c ( e ) C e 。 证 明 ①证 明 k r k r k     C C e C e 。 利用 公 式 F F ，则  k r k r k r k r k r        C  C  C  e e C Ce 而 krkx xky ykz zex kx ey ky ez kz  k 求得 k r k r k     C C e C e 。 ②证 明   k r k r A k A      C C e C e 。 利用 公 式 AA A ，则       k r k r k r k r A A A A            C C C C e e e e 再利 用 ①的 结 果， 则   k r k r A k A      C C e C e ③证 明   k r k r A k A      C C e C e 。 利用 公 式 AAA ，则 A    A A   A k r k r k r k r          C  C  C  C  e e e e 再利 用 ①的 结 果， 则   k r k r A k A      C C e C e 。 1-16 试 证 r e k r e kr kr          2 2 ，式 中 k 为 常 数。 证 明 已知 在 球坐 标系 中 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1                                   r r r r r r 则                              r e r r r r r e kr kr 2 2 2 1                  kr kr e r k e r r r r 2 2 2 1 1

-(e- re)-[-(-1-)+k~)-()-R即1-17 试证 (V×E)XE=(E-V)E-VIE)证明利用公式V(4 B)=(4.V)B+(B.V)4+Ax(V×B)+Bx(V×A)令上式中的A=B=E，则E"=2(E.V)E+2E×(V×E)=2(E.V)E-2(V×E)×E将上式整理后，即得(VxE)XE=(EV)E-VE)。1-18已知矢量场F的散度V.F=qo(r)，旋度√×F=0,试求该矢量场解根据亥姆霍兹定理，F(r)=-Vd(r)+VxA()，其中当V×F=0时，则A(r)=0，即F(r)=-Vd(r)。那么因V.F=q8()，求得--4元则F(0)=-V0(r)= %e,1-19已知某点在圆柱坐标系中的位置为(4号元,3)，试求该点在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的位置解已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为10

10   kr kr e kre r r        2 1        kr kr k e kr k e r     1   1 2 r e k kr  2 即 r e k r e kr kr          2 2 1-17 试 证 2 | | 2 1 (E)E  (E)E   E 证 明 利用 公 式 ABABBAABBA 令上 式 中的 AB E ， 则  E  2EE  2EE  2EE  2EE 2 将上 式 整理 后 ，即 得     2 2 1 E E  E E E 。 1-18 已知 矢 量 场 F 的 散度 F  q(r) ， 旋度 F  0， 试求 该 矢量 场 。 解 根据 亥 姆霍 兹 定理 ， FrΦrAr ，其 中     Φ V V         d 4 1 r r F r r  ；     V V         d 4 1 r r F r A r  当 F  0 时，则 Ar  0 ， 即 Fr Φr 。那么因 F qr ，求 得     r q V q Φ V    4 d 4 1         r r r r 则     r r q F r Φ r e 2 4    1-19 已 知 某 点 在 圆 柱 坐 标 系 中 的 位 置 为       , 3 3 2 4,  ， 试 求该 点 在相 应 的直 角坐 标 系及 圆 球坐 标系 中 的位 置 。 解 已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换 关系 为