第九章数学问题与数学考试 课题:数学问题与问题解决 内容提要:1、数学问题是什么 2、数学解题的过程和方法 3、问题解决的教学 4、数学问题的类型。 教学目标:通过本节课的学习,使学生熟悉解题的一般步骤和方法,认识到问题 解决教学的意义并能够应用到实际教学中。 教学重、难点:对问题解决含义的理解,对问题解决教学的把握 教学方法:讲授法、讨论法 教学过程: 数学问题是什么 般的数学问题 数学问题(简称数学题)是指数学上要求回答或解释的疑问。广义的数学问题 是指在数量关系和空间形式中出现的困难和矛盾,例如几何问题,复数问 题,四色问题等等。狭义的数学问题则是已经明显地表示出来的题目,用 命题的形式加以表述,包括证明类问题,求解类问题等 (二)教学中的数学问题 数学家只把结论未知的题目称为问题 在数学教学中,把结论已知的题目也称为问题。其内容包括:需要建立 的概念、求证的定理、待推导的公式,以及师生共同进行探讨的研究性 课题 数学问题的发展:从传统的问题到问题解决的提出 1、传统的数学题的特征:接受性、封闭性和确定性 其内容是熟知的;其结构是常规的:答案确定:条件不多不少,可以按 照现成的公式或常规的思路获得解决。题目具有一定的挑战性,但不很 难 2、“问题解决”的提出 20世纪80年代以来,国际上倡导“问题解决”数学教学模式,这里的问 题在障碍性和探究性上提出了较高的要求。波利亚的解释为“有意识地寻 求某一适当的行动,以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目 的。解决问题是这种寻求的活动。”问题的产生过程如下图 初始状态]…-障碍…-目标状态 [现有水 矛盾…·[客观需要 、数学解题的过程与方法 (一)什么是数学解题 数学解题就是求出数学题的答案。通过典型数学题的学习,去探究数学问题
1 第九章 数学问题与数学考试 课题：数学问题与问题解决 内容提要：1、数学问题是什么； 2、数学解题的过程和方法； 3、问题解决的教学； 4、数学问题的类型。 教学目标：通过本节课的学习，使学生熟悉解题的一般步骤和方法，认识到问题 解决教学的意义并能够应用到实际教学中。 教学重、难点：对问题解决含义的理解，对问题解决教学的把握 教学方法：讲授法、讨论法 教学过程： 一、数学问题是什么 （一） 一般的数学问题 数学问题(简称数学题)是指数学上要求回答或解释的疑问。 广义的数学问题 是指在数量关系和空间形式中出现的困难和矛盾， 例如几何问题，复数问 题，四色问题等等。 狭义的数学问题则是已经明显地表示出来的题目，用 命题的形式加以表述， 包括证明类问题，求解类问题等。 （二） 教学中的数学问题 数学家只把结论未知的题目称为问题。 在数学教学中，把结论已知的题目也称为问题。其内容包括：需要建立 的概念、求证的定理、待推导的公式， 以及师生共同进行探讨的研究性 课题。 （三） 数学问题的发展：从传统的问题到问题解决的提出 1、传统的数学题的特征：接受性、封闭性和确定性。 其内容是熟知的；其结构是常规的；答案确定；条件不多不少，可以按 照现成的公式或常规的思路获得解决。题目具有一定的挑战性，但不很 难。 2、“问题解决”的提出 20 世纪 80 年代以来， 国际上倡导“问题解决”数学教学模式，这里的问 题在障碍性和探究性上提出了较高的要求。波利亚的解释为“有意识地寻 求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目 的。解决问题是这种寻求的活动。”问题的产生过程如下图 二、数学解题的过程与方法 （一） 什么是数学解题 数学解题就是求出数学题的答案。通过典型数学题的学习，去探究数学问题
解决的基本规律,学会像数学家那样“数学地思维 (二)数学解题的过程 解题过程是在解题思想的指导下,运用合理的解题策略(或原则),制订科 学的解题程序,进行解题行动的思维过程。 波利亚分解题过程为4步:弄清问题,拟定计划,实现计划,回顾。下图 是一个解题的动态过程 原始问题 是否有现成的解 选择策略 是否有效 (三)数学解题的方法(让学生讨论并归纳 1、具有创立学科功能的方法 2、体现一般思维规律的方法 3、具体进行论证演算的方法 (四)学会解题的四个阶段 简单模仿;变式练习;自发领悟;自觉分析 问题解决的教学 (一)问题解决的教育意义 1、这里所谓数学问题,是指有一定难度,需要一定的思维程序和方法, 经过反复思考才能正确解答的数学问题 2、问题解决教学的意义: 首先,这是社会发展的需要。数学教育必须努力提高学生应用数学知识去 解决实际问题的能力 其次,这是数学观现代演变的需要。动态的数学观要求数学作为人类的 种创造性活动,“问题解决”就应运而生; 最后,这也是数学教育研究深入的必然结果。学数学应是“做数学”,即 应当让学生通过问题解决来学习数学 (二)问题解决的过程 问题识别与定义意识到问题的存在,并正确地定义它 2、问题表征或语义的或是表象的,或在头脑中编码或利用纸笔等工具 编码 3、策略选择与应用问题解决策略一般分成两大类,一类是规则系统, 另一类是创造性的发现 4、资源分配合理地分配资源是有效解决问题的关键; 5、监控与评估把握和关注问题解决的全过程,评定问题解决进程及其 结果的质量 (三)问题解决的特征:目的指向性;操作序列性;连续性与突发性;内隐
2 解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”． （二） 数学解题的过程 解题过程是在解题思想的指导下，运用合理的解题策略(或原则)，制订科 学的解题程序，进行解题行动的思维过程。 波利亚分解题过程为 4 步：弄清问题，拟定计划，实现计划，回顾。下图 是一个解题的动态过程： （三） 数学解题的方法（让学生讨论并归纳） 1、具有创立学科功能的方法． 2、体现一般思维规律的方法． 3、具体进行论证演算的方法．。 （四）学会解题的四个阶段 简单模仿；变式练习；自发领悟；自觉分析 三、问题解决的教学 （一） 问题解决的教育意义 1、这里所谓数学问题, 是指有一定难度, 需要一定的思维程序和方法, 经过反复思考才能正确解答的数学问题。 2、问题解决教学的意义： 首先，这是社会发展的需要。数学教育必须努力提高学生应用数学知识去 解决实际问题的能力； 其次， 这是数学观现代演变的需要。动态的数学观要求数学作为人类的 一种创造性活动，“问题解决”就应运而生； 最后，这也是数学教育研究深入的必然结果。学数学应是“做数学”，即 应当让学生通过问题解决来学习数学。 （二）问题解决的过程 1、问题识别与定义 意识到问题的存在，并正确地定义它； 2、问题表征 或语义的或是表象的，或在头脑中编码或利用纸笔等工具 编码； 3、策略选择与应用 问题解决策略一般分成两大类，一类是规则系统， 另一类是创造性的发现 4、资源分配 合理地分配资源是有效解决问题的关键； 5、监控与评估 把握和关注问题解决的全过程，评定问题解决进程及其 结果的质量。 （三）问题解决的特征：目的指向性；操作序列性；连续性与突发性；内隐
性;延伸性与发散性;操作步骤的程式性 (四)问题解决教学的策略 a)影响问题解决的因素:一是问题情境;二是个人特征;三是认知和元 认知策略 b)教学策略:创设问题情景,选择好问题;形成知识组块,优化认知结 构;加强数学思维解题策略训练,注意及时反馈;引导学生开展探索 四、体现“问题解决”的数学问题类型 1、可以构建模型的非常规的实际问题 数学问题要能够给学生提供常识建立数学模型的机会,让学生根据观察和实 验的结构,常识运用数学思想以及归纳、类比的方法得出猜想,然后进行证 明。此类题目能培养学生的数学建模能力,是学好数学、用好数学的重要保 障,也是基础教育的重要任务之 例1某企业有5个股东,100名工人,年底公布经营业绩,如下表所示 1990年 1991年 1992年 股东红利5万 75 10万 工资总额10万12.5万 15万 现在请大家分析根据此表的数据所画的三种图 总额(万元) 4增长百分比(%) 4个人年收入 千元) 工资 红利 红利 工资 工人 0909192年份 年份0 (3) 2、探究性问题。通过一定的探索图究去深入和认识数学对象的性质,发 现数学规律和整理的问题。通过数学活动获得成功的体验建立自信以完 善人格。例如,学习完三角形内角和定理,让学生探索四边形、五边形 等多边形的内角和并归纳 开放性问题。旨在培养学生思维的灵活性、发散性以利于学生创新精神 的养成。 例3:在三角形ABC中三边a、b、c成等差数列,由此可得哪些结果 4、情景性问题。情景题的教育意义在于,让学生经历重要的、有价值的数 学思维活动的过程
3 性；延伸性与发散性；操作步骤的程式性 （四）问题解决教学的策略 a) 影响问题解决的因素：一是问题情境; 二是个人特征; 三是认知和元 认知策略。 b) 教学策略：创设问题情景，选择好问题；形成知识组块，优化认知结 构；加强数学思维解题策略训练，注意及时反馈；引导学生开展探索 活动。 四、体现“问题解决”的数学问题类型 1、可以构建模型的非常规的实际问题 数学问题要能够给学生提供常识建立数学模型的机会，让学生根据观察和实 验的结构，常识运用数学思想以及归纳、类比的方法得出猜想，然后进行证 明。此类题目能培养学生的数学建模能力，是学好数学、用好数学的重要保 障，也是基础教育的重要任务之一。 例 1 某企业有 5 个股东，100 名工人，年底公布经营业绩，如下表所示： 1990 年 1991 年 1992 年 股东红利 5 万 7.5 10 万 工资总额 10 万 12.5 万 15 万 现在请大家分析根据此表的数据所画的三种图： 2、探究性问题。通过一定的探索、研究去深入和认识数学对象的性质，发 现数学规律和整理的问题。通过数学活动获得成功的体验建立自信以完 善人格。例如，学习完三角形内角和定理，让学生探索四边形、五边形 等多边形的内角和并归纳。 3、开放性问题。旨在培养学生思维的灵活性、发散性以利于学生创新精神 的养成。 例 3：在三角形 ABC 中三边 a、b、c 成等差数列，由此可得哪些结果。 4、情景性问题。情景题的教育意义在于，让学生经历重要的、有价值的数 学思维活动的过程。 （1） （2） （3） 图 1
问题与思考: 日常课堂中如何渗透问题解决教学的思想? 参考文献: 1、朱德全,数学问题的表征及元认知开发.教育研究[.1997(3) 2、罗增儒.作为教育任务的数学解题.数学教育学报[.2005(1) 3、刘元宗.数学问题解决及其教学.课程.教材.教法叮.2004(2)
4 问题与思考： 日常课堂中如何渗透问题解决教学的思想？ 参考文献： 1、朱德全．数学问题的表征及元认知开发．教育研究[J] ．1997（3） 2、罗增儒．作为教育任务的数学解题．数学教育学报[J] ．2005（1） 3、刘元宗．数学问题解决及其教学．课程．教材．教法[J] ．2004（2）