17.已知R3的线性变换a/在基m=(-1,1,1),m=(1,0,-1),m=(0,1,1)下的矩阵为 110 321 (1)求在基1=(1,0,0),E2=(0,1,0),E1=(0,0,1)下的矩阵; (2)求a的值域和核.(2015年华南理工大学) 18.设R2的线性变换a在基1=(1,2),E2=(2,1)下的矩阵为 12 23 线性变换在基m=(1,1),n2=(1,2)下的矩阵为 (1)求+在基m1,n下的矩阵 (2)求在基1,E2下的矩阵; (3)设a=(3,3),求aa在基E1,e2下的坐标 (4)求a在基m,m下的坐标.(2016年华南理工大学) 19.P团]4是所有次数小于4的多项式和零多项式构成的线性空问,求线性变换a(f(x)=x2f"(x)+ f(x)+f(x)的特征值,求最大特征值的特征向量 0.设σ是线性空间V=Pnxn的一个线性变换,满足a(A)=A,其中A为A的转置矩阵,求a的 全部特征值及对应的特征向量.(2015年南京师范大学) 21.设V为数域P上的有限维线性空间,为V上的线性变换,且满足 +3-302-a+28=0 其中6为恒等变换,若存在一个非零向量a∈V使得a(a)+2(a)-a(a)=3a,试问是否存 在v的一组基,使得a在这组基下的矩陈为对角阵?说明理由,.(2007年南开大学) 2.设矩阵 在P4×1上定义线性变换x使X=AX,X∈P4×1,试求的像Ima与kera的维数与一组基 (2009年南开大学)
17. ÆR 3Ç5CÜA 3ƒη1 = (−1, 1, 1), η2 = (1, 0, −1), η1 = (0, 1, 1)e› è: A = 1 0 1 1 1 0 −3 2 1 (1)¶A 3ƒε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε1 = (0, 0, 1) e› ; (2)¶A äç⁄ÿ. (2015cuHnÛåÆ) 18. R 2Ç5CÜA 3ƒε1 = (1, 2), ε2 = (2, 1)e› è 1 2 2 3 ! , Ç5CÜB3ƒη1 = (1, 1), η2 = (1, 2)e› è 3 3 2 4 ! . (1)¶A + B3ƒη1, η2e› ; (2)¶A B3ƒε1, ε2e› ; (3)α = (3, 3), ¶A α3ƒε1, ε2eãI; (4)¶Bα3ƒη1, η2eãI. (2016cuHnÛåÆ) 19. P[x]4 ¥§kgÍu4ıë™⁄"ı뙧Ç5òØ, ¶Ç5CÜ A (f(x)) = x 2f 00(x) + f(x)+ f 0 (x) Aä, ¶ÅåAäAï˛. 20. σ ¥Ç5òm V = P n×n òáÇ5CÜ, ˜v σ(A) = A0 , Ÿ• A0 è A =ò› , ¶ σ ‹Aä9ÈAAï˛. (2015cHÆìâåÆ) 21. V èÍç P ˛kÅëÇ5òm, A è V ˛Ç5CÜ, Ö A ˜v A 4 + A 3 − 3A 2 − A + 2E = O Ÿ• E èð CÜ, e3òáö"ï˛ α ∈ V ¶ A 3 (α) + A 2 (α) − A (α) = 3α, £Ø¥ƒ 3 V ò|ƒ, ¶ A 3˘|ƒe›ùèÈ º`²nd. (2007cHmåÆ) 22. › A = 1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 3 P 4×1 ˛½¬Ç5CÜ A ¶ A X = AX, X ∈ P 4×1 , £¶ A î Im σ Ü kerσ ëÍÜò|ƒ. (2009cHmåÆ) 6 厦门大学《高等代数》
23.设A为数域P上的n级方阵,且有n个互异的特征值A1,A2,…,An,定义PnXn上的线性变换 T为T(X)=AX,X∈Pmx1,试求出T的所有特征值及其重数.(2012年南开大学) 24.(20分)3阶矩阵 定义P3×3→P3×3的线性变换σ:σ(X)=AX,其中X∈P3×3.分别求kera与Ima的维数与 组基 5.设M2(R)表示实数域上全体二阶方阵构成的线性空间,矩阵 1 00 10 是M2(R)的一个基,又设 53 已知σ是M2(R)的一个线性变换,o(m)=51(i=1,2,3,4) (1)求(1),(52),0(53),(54) (2)问a(1),o(2),a(53),a(54)能否构成M2(R)的一个基?请阐述理由.(2010年武汉大学) 26.设f是平面R2上的线性变换,使得 (1)点(1,0)的像位于第四象限; (1)点(0,1)的像位于第二象限 (1)点(1,1)的像位于第一象限 证明:∫是可逆变换,且∫-1把第一象限内的任意点都映射到第一象限.(2010年武汉大学) 27.设φ是复数域上的线性变换,ε为恒等变换,λo为φ的一个特征值,A在p的最小多项式中的重 数m0=mi4∈N+ker(0-9)=ker(A0-9)+.2014年武汉大学) 8.设1=(1,0),E2=(0,1)是实线性空间R2中的单位向量,a1=(1,3),a2=(2,2),A是R2的线性变 换,使得 4(1)=a1,A(=2)=a2 (1)求A在基1,E2下的矩阵. (2)求A的逆变换A-1在基a1,a2下的矩阵 (3)求A的特征值与特征向量 (4)求A的值域与核.(2010年湘潭大学)
23. A èÍç P ˛ n ?ê , Ök n áp…Aä λ1, λ2, · · · , λn, ½¬ P n×n ˛Ç5CÜ T è T(X) = AX, X ∈ P n×1 , £¶— T §kAä9ŸÍ. (2012cHmåÆ) 24. (20 ©) 3 › A = 1 0 1 0 −1 0 −1 1 −1 ½¬ P 3×3 → P 3×3 Ç5CÜ σ : σ(X) = AX, Ÿ• X ∈ P 3×3 . ©O¶ ker σ Ü Im σ ëÍÜò |ƒ. 25. M2(R)L´¢Íç˛ N ê §Ç5òmß› η1 = 1 0 0 0! , η2 = 1 1 0 0! , η3 = 1 1 1 0! , η4 = 1 1 1 1! , ¥M2(R) òáƒßq ξ1 = 1 0 3 0! , ξ2 = 1 1 3 3! , ξ3 = 3 1 7 3! , η4 = 3 3 7 7! . Æσ ¥M2(R) òáÇ5CÜßσ(ηi) = ξi(i = 1, 2, 3, 4) . £1§¶σ(ξ1), σ(ξ2), σ(ξ3), σ(ξ4) ; £2§Øσ(ξ1), σ(ξ2), σ(ξ3), σ(ξ4) Uƒ§M2(R) òჺû„nd. (2010c…«åÆ) 26. f ¥²°R2 ˛Ç5CÜ߶ £1§:(1, 0) î†u1oñÅ; £1§:(0, 1) î†u1ñÅ; £1§:(1, 1) î†u1òñÅ. y²µf ¥å_CÜßÖf −1 r1òñÅS?ø:—N1òñÅ. (2010c…«åÆ) 27. ϕ ¥EÍç˛Ç5CÜßε èð CÜßλ0 èϕ òáAäßλ0 3ϕ Åı뙕 Ím0 = min k {k ∈ N +|ker(λ0 − ϕ) k = ker(λ0ε − ϕ) k+1} .(2014c…«åÆ) 28. ε1 = (1, 0), ε2 = (0, 1) ¥¢Ç5òmR2 •¸†ï˛ßα1 = (1, 3), α2 = (2, 2), A ¥R2 Ç5C Ü߶ A(ε1) = α1, A(ε2) = α2. £1§¶A 3ƒε1, ε2 e› . £2§¶A _CÜA−1 3ƒα1, α2 e› . £3§¶A AäÜAï˛. £4§¶A äçÜÿ. (2010câ åÆ) 7 厦门大学《高等代数》
29.设R中线性变换A在基=o2 E3=0,下的矩阵A 求A在 0 m=1,m=0,下的矩阵(20年云南大学) 30.设微商D(f(x)=f"(x)是线性空间Plx]3的一个线性变换(其中f(x∈P]3),求D在基1,x,x2下 的矩阵.(2011年云南大学) 31.设A是n维线性空间V的线性变换,求A的秩+A的零度.(2011年云南大学) 32.令T是有限维线性空间V上的线性变换,设W是V的一不变子空间那么,Tlw的最小多项式整除T的 最小多项式.(2012年浙江大学) 33.空间Ⅴ上的线性变换f,可以找到子空间UW,使得∫在U上为可逆线性变换,在W上为幂零线性变 换,且V=U由W、(2015年浙江大学) 4.所有正交变换构成G (1)G关于线性变换的合成和逆变换封闭 (2)G为有限集还是无限集 (3)G是什么代数结构.(2015年浙江大学) 5.设V,V是n维线性空间V的两个子空间,且它们的维数之和等于n证明:存在V上的线性变换T,使 得T的核和像分别等于V1,V2(2016年浙江大学 36.设RnXn上的线性变换AX=AXA,其中A是n阶实方阵,rank(A)=r,求ImA的维数及其一组 基.(2014中科大) 37.设P3是由次数不超过3的复系数多项式组成的线性空间考虑其上的线性变换 乃3→P3. 试求A的极小多项式.(2015年中科大 四证明题 同构空间的维数: 设域F上线性空间W,U,V他们分别是r,s,t维的.o为W到U上的线性映射,f属于Hom(WU)证明: (2)设a*为Hom(W,U)到Hom(W,V)上线性映射,则存在单射σ,使o”(f)u=a(fu),其中u∈W; (3) dilma*=ker(i-a*)+Ima.(2011年北京大学)
29. R3 •Ç5CÜA 3ƒε1 = 1 0 0 , ε2 = 0 1 0 , ε3 = 0 0 1 , e› A = −1 2 0 1 1 −1 0 1 −1 ߶A 3 ƒη1 = 1 1 1 , η2 = 1 1 0 , η3 = 1 0 0 , e› . (2010c HåÆ) 30. á˚D(f(x)) = f 0 (x) ¥Ç5òmP[x]3 òáÇ5CÜ£Ÿ•f(x ∈ P[x]3)§ß¶D 3ƒ1, x, x2 e › . (2011c HåÆ) 31. A ¥nëÇ5òmVÇ5CÜ߶A ù+A "›. (2011c HåÆ) 32. -T¥kÅëÇ5òmV˛Ç5CÜßW¥VT− ÿCfòm.@oßT|W Åıë™ÿT Åıë™. (2012c˙ÙåÆ) 33. òmV˛Ç5CÜf ßå±ÈfòmU, W ߶f 3U˛èå_Ç5CÜß3W˛èò"Ç5C ÜßÖV = U ⊕ W .(2015c˙ÙåÆ) 34. §kCܧG £1§G'uÇ5CÜ‹§⁄_Cܵ4; £2§GèkÅ8Ñ¥ÃÅ8; £3§G¥üoìÍ(. (2015c˙ÙåÆ) 35. V1, V2 ¥nëÇ5òmV¸áfòmßÖßÇëÍÉ⁄ un.y²µ3V˛Ç5CÜT ߶ T ÿ⁄î©O uV1, V2 .(2016c˙ÙåÆ) 36. Rn×n ˛Ç5CÜAX = AXAT ߟ•A¥n ¢ê ßrank(A) = r ߶ImA ëÍ9Ÿò| ƒ. (2014c•âå) 37. P3 ¥dgÍÿáL3EXÍıë™|§Ç5òm.ƒŸ˛Ç5CÜ A = x d dx : P3 → P3. £¶A 4ıë™. (2015c•âå) o.y²K 1. ”òmëÍ: çF˛Ç5òmW, U, V ¶Ç©O¥r, s, të. σèWU ˛Ç5N, f·uHom(W, U)y²: (1)dimHom(W, U) = rs; (2)σ ∗èHom(W, U)Hom(W, V )˛Ç5N, K3¸σ, ¶σ ∗ (f)ω = σ(fω), Ÿ•ω ∈ W; (3)dimImσ∗ = ker(i − σ ∗ ) + Imσ. (2011cÆåÆ) 8 厦门大学《高等代数》
2.设V是n维线性空间,a为一线性变换且的最小多项式次数为n (1)证明存在向量a使得a,fa,…,an-la是V的一组基 (2)任意与a/可交换的线性变换可表为a的多项式.(2014年北京大学) 3.设Ⅴ是有限维线性空间,A,B是V上线性变换满足下面条件 (1)AB=O,这里O是0变换; (2)A的任意不变子空间也是B的不变子空间 (3)A5+A4+A3+A2+A=O,证明:BA=O.(2016年北京大学) 4.设V是复数域上有限维线性空间,A是V上的线性变换,A在一组基下矩阵为F (1)若A可对角化,则对任意A的不变子空间U,存在U的一个补空间W是A的不变子空间 (2)若对任意A的不变子空间U,存在U的一个补空间W是A的不变子空间,证明F可对角化.(2016年 北京大学) 5.F为数域,V是F上n维线性空间.A是V上线性变换证明存在唯一可对角化线性变换A1,幂零线性变 换A2使得A=A1+A2,A1A2=A2A1.(2017年北京大学 6.设A是2阶实矩阵,若存在正整数k,使得A=0,则称A是幂零矩阵;V是全体2阶实矩阵组成的R-线 性空间,E;表示(,j)(,j=1,2)位置元素为1,其余位置上为0的2阶矩阵.定义映射a (X)=AX-XA,X∈V (1)证明:{E1,E12,E21,E2}是V的一组基,是线性空间v上的线性变换 (2)若A/12 求在基{E1,E12E21,E2}下的矩阵; (3)对于任意2阶矩阵A,求在基{E1,E12,E21,E2}下的矩阵 (4)若A是幂零矩阵,证明a在基{E1,E12,E21,E2}下的矩阵也是幂零的.(2013年北京工业大学) 7.设V是数域P上的n维线性空间,a是V上的线性变换,a/(a1)=2a1,I为V上的恒等变换,向量组a1,a2,…,an满 足(x-2Da (1)证明:a1,a2,…,an为V的一组基 (2)求在a1,a2,…,an下的矩阵.(2014年北京工业大学) 8.设V是实数域R上的n维线性空间,a1,a2,…,an是V的一组基,于是由 定义了V的一个线性变换a.回答下列问题 (1)试求在a1,a2,…,an下的矩阵; (2)证明:n=0,n-≠0
2. V ¥nëÇ5òm, A èòÇ5CÜÖA Åıë™gÍèn. (1)y²3ï˛α¶α, A α, · · · , A n−1α¥V ò|ƒ; (2)?øÜA åÜÇ5CÜåLèA ıë™. (2014cÆåÆ) 3. V ¥kÅëÇ5òm, A, B¥V ˛Ç5Cܘve°^á: (1)AB = O, ˘pO¥0CÜ; (2)A?øÿCfòmè¥BÿCfòm; (3)A5 + A4 + A3 + A2 + A = O, y²: BA = O. (2016cÆåÆ) 4. V ¥EÍç˛kÅëÇ5òm, A¥V ˛Ç5CÜ, A3ò|ƒe› èF. (1)eAåÈz, KÈ?øAÿCfòmU, 3Uòá÷òmW ¥A ÿCfòm. (2)eÈ?øAÿCfòmU, 3Uòá÷òmW¥AÿCfòm, y²FåÈz. (2016c ÆåÆ) 5. FèÍç, V ¥F˛nëÇ5òm. A¥V ˛Ç5CÜ. y²3çòåÈzÇ5CÜA1, ò"Ç5C ÜA2¶A = A1 + A2, A1A2 = A2A1. (2017cÆåÆ) 6. A¥2 ¢› , e3Ík, ¶Ak = 0, K°A¥ò"› ; V ¥ N2 ¢› |§R−Ç 5òm, EijL´(i, j)(i, j = 1, 2)†òÉè1, Ÿ{†ò˛è02 › . ½¬NA : A (X) = AX − XA, X ∈ V (1)y²: {E11, E12, E21, E22}¥V ò|ƒ, A ¥Ç5òmV ˛Ç5CÜ; (2)eA 1 2 0 1 ! , ¶A 3ƒ{E11, E12, E21, E22} e› ; (3)Èu?ø2 › A, ¶A 3ƒ{E11, E12, E21, E22}e› ; (4)eA¥ò"› , y²A 3ƒ{E11, E12, E21, E22} e› è¥ò". (2013 cÆÛíåÆ) 7. V ¥ÍçP˛nëÇ5òm, A ¥V ˛Ç5CÜ, A (α1) = 2α1, IèV ˛ð CÜ, ï˛|α1, α2, · · · , αn˜ v(A − 2I)αi+1 = αi(1, 2, · · · , n − 1). (1)y²: α1, α2, · · · , αnèV ò|ƒ; (2)¶A 3α1, α2, · · · , αne› . (2014cÆÛíåÆ) 8. V ¥¢ÍçR˛nëÇ5òm, α1, α2, · · · , αn¥V ò|ƒ, u¥d A (αi) = αi+1(i = 1, 2, · · · , n), A (αn) = 0 ½¬ V òáÇ5CÜA . £âeØK: (1)£¶A 3α1, α2, · · · , αne› ; (2)y²: A n = 0, A n−1 6= 0; 9 厦门大学《高等代数》