(数学模丝) 第三篇数学分支中的相头教学模型 §1高等数学相关模型 1.1卫星轨道长度1.2射击命中概率 1.3人口增长率 §2线性代数相关模型 21投入产出综合平衡分析22输电网络 §3概率统计相关模型 3.1合金强度与碳含量3,2年龄与运动能力 3.3商品销售量与价格
第三篇 数学分支中的相关数学模型 §1 高等数学相关模型 1.1卫星轨道长度 1.2射击命中概率 1.3人口增长率 §2 线性代数相关模型 2.1投入产出综合平衡分析 2.2输电网络 §3 概率统计相关模型 3.1合金强度与碳含量 3.2年龄与运动能力 3.3商品销售量与价格
(数学模型 §1高等数学相关模型11卫星轨道长度 问题人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆 近地点距地球表面439km.地球半径6371km 远地点距地球表面2384km 求该卫星的轨道长度 分析卫星轨道椭圆的参数方程 x= a cos t,y=bsit(0≤t≤2丌) ab分别是长、短半轴椭圆长度椭圆积分 L=9d=42(sim21+b3cos2yt无法解析计算
§1 高等数学相关模型 问题 1.1 卫星轨道长度 人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆. 分析 卫星轨道椭圆的参数方程 x = a cost, y = bsin t(0 t 2 ) a,b 分别是长、短半轴 椭圆长度 1 2 2 2 2 2 2 0 L dl a t b t dt 4 ( sin cos ) = = + 椭圆积分 无法解析计算 近地点距地球表面439km. 远地点距地球表面2384km. 地球半径6371km. 求该卫星的轨道长度
数学模型 a=6371+2384=8755.b=6371+439=6810 MATLAB程序 function y=x5() a=8755;b=6810; 求解 =sqrt(a 2 sin(t). 2+b/2*coS(t). 2); t=0:pi10:pi/2 L1=4908996526785276e+004 y1=x5(t) 输出 LI=4 trait, y1) 梯形公式 评注 L2=4“quad(x5,0,pi/2,e-6) L2=4908996531830460e+004 辛普森公式 输出
输出 MATLAB程序 function y=x5(t) a=8755;b=6810; y=sqrt(a^2*sin(t).^2+b^2*cos(t).^2); t=0:pi/10：pi/2 y1=x5(t); L1=4*trapz(t,y1) L2=4*quad(‘x5’,0,pi/2,le-6) L1=4.908996526785276e+004 L2=4.908996531830460e+004 输出 求解 梯形公式 辛普森公式 a = 6371+ 2384 = 8755,b = 6371+ 439 = 6810 评注
(数学模丝) 12射击命中概率题 射击目标为正椭圆形区域,弹着点与中心有随机偏差 弹着点围绕中心成二维正态分布,偏差在X、Y方向独立 椭圆在X方向半轴长120m,Y方向半轴长80m 设弹着点偏差的均方差在X和Y方向均为100m 求炮弹落在椭圆形区域内的概率 分析设目标中心x=0,y=0,则弹着点(x,y概率密度函数 O.=O.=100m p(x, y) 2丌OOy e炮弹命中椭圆形区域的概率 a=120.b=80 P=lp(x, y)dxdy, +2<1 2 b 无法解析计算
1.2 射击命中概率 问题 射击目标为正椭圆形区域,弹着点与中心有随机偏差. 分析 设目标中心x=0,y=0, ( ) 2 1 2 2 2 2 2 1 ( , ) x y x y x y p x y e − + = 无法解析计算 弹着点围绕中心成二维正态分布,偏差在X、Y方向独立. 求炮弹落在椭圆形区域内的概率. 则弹着点(x,y)概率密度函数 x = y =100m ( , ) , : 1 2 2 2 2 = + b y a x P p x y dxdy 炮弹命中椭圆形区域的概率 a =120,b = 80 椭圆在X方向半轴长120m,Y方向半轴长80m. 设弹着点偏差的均方差在X和Y方向均为100m
(数学模丝) 求解:蒙特卡罗方法。作变换x=au,y 以100(m为1单位,则σx=0,=1,a=12,b=0.8 P=ab p(u, v)dudu p(u v=l 2:2+v2<1 2丌 MATLAB程序 X(1)^2+b^2*x(2)^2) a=1,2;b=08;m=0;z=0; FZFy;m=m+1 n=100000 end for i=l:n end x=rand(1, 2) p=4*a*b *z/2/pi/n, m y=0 P=03752,m=78552 ifx(1)^2+x(2)^2<=1 y=exp(0.52(a^2x 输出 评注
求解：蒙特卡罗方法 作变换 x = au, y = bv, 以100(m)为1单位，则 x = y =1,a =1.2,b = 0.8 P = ab p(u,v)dudv , : 1 2 1 ( , ) 2 2 ( ) 2 1 2 2 2 2 = + − + p u v e u v a u b v MATLAB程序 输出 a=1.2;b=0.8;m=0;z=0; n=100000; for i=1:n x=rand(1,2); y=0; if x(1)^2+x(2)^2<=1 y=exp(- 0.5*(a^2* P=0.3752, m=78552 x(1)^2+b^2*x(2)^2)); z=z+y;m=m+1; end end p=4*a*b*z/2/pi/n,m 评注