3.2.2奇、偶排列的定义及性质定义3看n个数码的一个排列，如果把这个排列里的任意两个数码i与交换一下，而其余数码保持不动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j)来表示。定理3.2.1设iiz·i和jijj，是n个数码的任意两个排列，那么总可以通过一系列对换由ii.i得出jjjn证明：我们已经知道，通过一系列对换可以由i··i，得出12no我们只需证明，通过一系列对换可由12n得出jjzjn
3.2.2 奇、偶排列的定义及性质 定义3 看n个数码的一个排列，如果把这个排列里 的任意两个数码i与j交换一下，而其余数码保持不 动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的 这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j） 来表示。 定理3.2.1 n n i i i j j j 设 1 2 和 1 2 是n个数码的任意两个 排列，那么总可以通过一系列对换由 n n i i i j j j 1 2 得出 1 2 证明:我们已经知道，通过一系列对换可以由 i 1 i 2 i n得出12no 我们只需证明， 通过一系列对换可由 n n j j j 12 得出 1 2
而通过一系列对换可以由ij.j得出12.·n，按照相反的次序施行这些对换，就可由12...n得出ij,·.·jin。定理3.2.2任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变证明：1°我们首先看一个特殊的情形，就是被对换的两个数码是相邻的。设给定的排列为AB其中A与B都代表若干个数码.施行对换（i.j)得
而通过一系列对换可以由 j 1 j 2 j n 得出12n ，按照相反的次序施行这些对换，就可由 n n j j j 12 得出 1 2 。 定理3.2.2 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性 改变. 其中A与B都代表若干个数码.施行对换 i, j, 得 证明: 我们首先看一个特殊的情形，就是被对 换的两个数码是相邻的。设给定的排列为 1 A B , , , , i j
AB我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换后，属于A或B的数码的位置没有改变，因此这些数码所构成的反序数没有改变同时i，与A或B中的数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排列中，i<j，那么经过对换(i.i)后，与j就构成一个反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数增多一个。若在给定的排列中，i>i,那么经过对换后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形排列的奇偶性都有改变
我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换 后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数 码所构成的反序数没有改变.同时i，j与A或B中的 数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排 列中， i j, 那么经过对换 i, j 后，i与j就构成一个 反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数 增多一个。若在给定的排列中， i j, 那么经过对换 后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形， 排列的奇偶性都有改变。 A B , j,i,
2°现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码，我们用k,k2.…,k，来代表。这时给定的排列为() ....i,ki,k......k..j.....先让i向右移动，依次与k,k,....,k，交换。这样，经过s次相邻的两个数码的对换后（1）变为..ki.k......k..i,ji.....再让向左移动，依次与ik.kz,k交换。经过s+1次相邻的两个数码的对换后，排列变为(2)...j,ki,k2....,k..i....但（2）正是对（1）施行（i.j)对换而得到的排列。因此，对（1）施行对换相当于连续施行2s+1次相邻数码的对换。由1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇偶性相反
现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码，我 们用 s k , k , , k 1 2 来代表。这时给定的排列为 2 , , , , , , , . （1） i k1 k2 ks j 先让i向右移动，依次与 s k , k , , k 1 2 交换。这样，经过 s次相邻的两个数码的对换后（1）变为 , , , , , , , . k1 k2 ks i j 再让j向左移动，依次与 2 1 i, k , , k , k s 交换。经过s+1次 相邻的两个数码的对换后，排列变为 , , , , , , . （2） j k1 k2 ks i i,j 但（2）正是对（1）施行 对换而得到的排列。因此， 对（1）施行对换 相当于连续施行2s+1次相邻数码的 对换。由1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改 变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇 偶性相反。 i, j i, j
定理3.2.3在n个数码(n>1)的所有n！个排列，其n个。中奇偶排列各占一半.即各为证明：设n个数码的奇排列共有p个，而偶排列共有q个，对这p个奇排列施行同一个对换(i,j)那么由定理3.2.2,我们得到p个偶排列.由于对这p个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有g个偶排列,所以p≤q.同样可得 q≤p.因此 p=q.例题选讲例1计算排列32514的逆序数例2计算排列217986354的逆序数，并讨论其奇偶性例3求排列n(n-1)(n-2)321的逆序数，并讨论其奇偶性
定理3.2.3 在n个数码(n>1)的所有n！个排列，其 中奇偶排列各占一半.即各为 2 n! 个。 证明：设n个数码的奇排列共有p个，而偶排列 共有q个，对这p个奇排列施行同一个对换 i, j, 那么由定理3.2.2,我们得到p 个偶排列.由于对这p 个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列, 所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶 排列,所以 p q. 同样可得 q p. 因此 p q. 例题选讲 例 1 计算排列 32514 的逆序数 . 例 2 计算排列 217986354 的逆序数, 并讨论其奇偶性. 例 3 求排列 n(n 1)(n2)321的逆序数, 并讨论其奇偶性