基于购买概率的临时超市网点优化设计模型 【摘要】 本文通过对所给调查数据的处理,得出了出行方式、餐饮方式和购物档次的统计规 律。同时分析了各种因素之间的相关性,得出了餐饮方式、消费档次的选择均与出行方 式没有关系的结论。 对于问题二,我们按“出行路径最短原则”测算出了20个商区的人流量分布(见 图6),得到和公路相接的出口处人流量最大等规律。 我们引入观众在某商区购物概率来衡量观众的购物欲望:(1)推导出某商区内购物概 率和MS数量之间的非线性关系:P4=1-∏(-Ps)(其中P为第j个MS吸引观众 购物的概率),很好地刻画了商区的“规模效应”和同一商区内的“竞争效应”。(2)结 合人流量推导出某商区赢利的数学期望。 同时,我们同时,我们定义商区的最大承载人流量和此商区流量的比值 N中+为容量人流比,来衡量商区是否满足购物需求:用MS的位置分布均衡率 2A max[C-C] 和规模类型分布均衡率a1 来衡量MS的分布的均衡性 max[CkI N CM +nc 以赢利的数学期望为目标,各商区每类MS个数为决策变量,满足需求以及均衡为约束 条件,建立了商区MS非线性规划模型。 我们先求解出各商区满足购物需求约束的最优MS种类和数量,并利用启发式算法 进行均衡调整,得到如下结果:大MS共25个,小MS共60个,此时赢利的数学期望为 473.9514万元,商区的容量人流比:135%,MS的位置分布均衡率71.41%:规模类型 分布均衡率8.333%。通过对结果的分析,我们得出了商家赢利同MS种类和数量的关系, 从商家的竞争、规模效应、均衡性与赢利性的关系等方面分析了结果的合理性。并对模 型进行了灵敏度分析和优缺点评价 最后,我们通过随机的模拟检验了结果的稳定性,即在整个奥运会期间,我们的 MS设计是赢利、分布均衡和满足需求三者兼顾的。 关键字:购买概率数学期望非线性关系最大承载人流量均衡率 第1页共25页
第 1 页 共 25 页 基于购买概率的临时超市网点优化设计模型 【摘要】 本文通过对所给调查数据的处理，得出了出行方式、餐饮方式和购物档次的统计规 律。同时分析了各种因素之间的相关性，得出了餐饮方式、消费档次的选择均与出行方 式没有关系的结论。 对于问题二，我们按“出行路径最短原则”测算出了 20 个商区的人流量分布（见 图 6），得到和公路相接的出口处人流量最大等规律。 我们引入观众在某商区购物概率来衡量观众的购物欲望：(1)推导出某商区内购物概 率和 MS 数量之间的非线性关系： 1 1 (1 ) n A MSj j p p = =− − ∏ （其中 PMSj 为第 j 个 MS 吸引观众 购物的概率），很好地刻画了商区的“规模效应”和同一商区内的“竞争效应”。 (2)结 合人流量推导出某商区赢利的数学期望。 同时，我们同时，我们定义商区的最大承载人流量和此商区流量的比值 iM im i N n A φ φ λ + 为容量人流比，来衡量商区是否满足购物需求；用 MS 的位置分布均衡率 , 0 max[ ] max[ ] i j i j k C C C α − = 和规模类型分布均衡率 1 iM im iM im NC nC NC nC α − = + 来衡量 MS 的分布的均衡性， 以赢利的数学期望为目标，各商区每类 MS 个数为决策变量，满足需求以及均衡为约束 条件，建立了商区 MS 非线性规划模型。 我们先求解出各商区满足购物需求约束的最优 MS 种类和数量，并利用启发式算法 进行均衡调整，得到如下结果：大 MS 共 25 个，小 MS 共 60 个，此时赢利的数学期望为 473.9514 万元，商区的容量人流比：135％，MS 的位置分布均衡率 71.41％：规模类型 分布均衡率 8.333％。通过对结果的分析，我们得出了商家赢利同 MS 种类和数量的关系， 从商家的竞争、规模效应、均衡性与赢利性的关系等方面分析了结果的合理性。并对模 型进行了灵敏度分析和优缺点评价。 最后，我们通过随机的模拟检验了结果的稳定性，即在整个奥运会期间，我们的 MS 设计是赢利、分布均衡和满足需求三者兼顾的。 关键字：购买概率 数学期望 非线性关系 最大承载人流量 均衡率
【问题提出】 奥运会期间,在比赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点, 称为迷你超市( Mini Supermarket,以下记做MS)网,以满足观众、游客、工作人员等 在奥运会期间的购物需求,主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用 品等。在比赛主场馆周边地区设置的这种MS,在地点、大小类型和总量方面有三个基本 要求:满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。 为了得到人流量的规律,我们在已经建设好的某运动场通过对预演的运动会的问卷 调查,了解观众(购物主体)的出行和用餐的需求方式和购物欲望 我们应该按以下步骤对图2的20个商区设计MS网点 根据附录中给出的问卷调查数据,找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的 规律。 2.假定奥运会期间(指某一天)每位观众平均出行两次,一次为进出场馆,一次为 餐饮,并且出行均采取最短路径。依据1的结果,测算图2中20个商区的人流 量分布(用百分比表示)。 3.如果有两种大小不同规模的MS类型供选择,给出图2中20个商区内MS网点的 设计方案(即每个商区内不同类型MS的个数),以满足上述三个基本要求 4.阐明方法的科学性,并说明结果是贴近实际的。 【模型分析】 题目给定的观众的消费额的统计,反映的是观众潜在的消费力,但不一定每天会按 消费额消费,加入只存在一个MS显然不能吸引所有的观众都按统计的消费额消费,因 此观众消费的多少和商区的吸引力有关,这个吸引力即是观众的购物欲望。而各商区应 该通过合理的MS种类和数量的设计,最大限度吸引观众在商区消费 对于场馆周围的已经划分的商区,我们重点讨论的是每个商区如何选择合理MS的 个数,以满足三方面的要求:购物需求,分布基本均衡和商业上的赢利。我们可以把这 个问题归结为一个非线性规划,决策变量是各商区的每类MS个数,目标是赢利最大化, 同时满足需求和均衡的约束。 模型建立的难点在于目标函数的建立,即是商区赢利如何表达。商区的赢利和商区 的人流量以及购物欲望密切相关,我们用每个观众经过商区是在该商区购物的概率表示 观众经过该商区的购物欲望,这个购物的概率只和商区内MS种类和个数相关,但并不 是简单的线性关系,同一商区内MS的累加效应必须考虑。这可以从概率的角度推倒出 来。这样就可以准确表达出商区赢利的数学期望。 第2页共25页
第 2 页 共 25 页 【问题提出】 奥运会期间，在比赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点， 称为迷你超市（Mini Supermarket, 以下记做 MS）网，以满足观众、游客、工作人员等 在奥运会期间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用 品等。在比赛主场馆周边地区设置的这种 MS，在地点、大小类型和总量方面有三个基本 要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。 为了得到人流量的规律，我们在已经建设好的某运动场通过对预演的运动会的问卷 调查，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物欲望。 我们应该按以下步骤对图 2 的 20 个商区设计 MS 网点： 1．根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的 规律。 2．假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为 餐饮，并且出行均采取最短路径。依据 1 的结果，测算图 2 中 20 个商区的人流 量分布（用百分比表示）。 3．如果有两种大小不同规模的 MS 类型供选择，给出图 2 中 20 个商区内 MS 网点的 设计方案（即每个商区内不同类型 MS 的个数），以满足上述三个基本要求。 4．阐明方法的科学性，并说明结果是贴近实际的。 【模型分析】 题目给定的观众的消费额的统计，反映的是观众潜在的消费力，但不一定每天会按 消费额消费，加入只存在一个 MS 显然不能吸引所有的观众都按统计的消费额消费，因 此观众消费的多少和商区的吸引力有关，这个吸引力即是观众的购物欲望。而各商区应 该通过合理的 MS 种类和数量的设计，最大限度吸引观众在商区消费。 对于场馆周围的已经划分的商区，我们重点讨论的是每个商区如何选择合理 MS 的 个数，以满足三方面的要求：购物需求，分布基本均衡和商业上的赢利。我们可以把这 个问题归结为一个非线性规划，决策变量是各商区的每类 MS 个数，目标是赢利最大化， 同时满足需求和均衡的约束。 模型建立的难点在于目标函数的建立，即是商区赢利如何表达。商区的赢利和商区 的人流量以及购物欲望密切相关，我们用每个观众经过商区是在该商区购物的概率表示 观众经过该商区的购物欲望，这个购物的概率只和商区内 MS 种类和个数相关，但并不 是简单的线性关系，同一商区内 MS 的累加效应必须考虑。这可以从概率的角度推倒出 来。这样就可以准确表达出商区赢利的数学期望
【模型假设】 1.观众每次出行在同一个商区内只购物一次。 2.当同一出行方式的观众到同一看台同时存在两条或者两条以上最短路径时,选择各 条路径的概率相等。 3.对于观众一天内的两次出行,我们认为是住地一>场馆一>餐馆一>住地 4.各类MS售出商品的赢利率相同。 【号说明】 E1:商区i赢利的数学期望 A:所有商区一天内经过的总人次 1:商区i人流分布的百分率 观众消费额的数学期望 Ps,Pnm:大、小MS吸引观众购物的概率 N1,n1:商区i内大、小MS的个数 x,n:大、小MS的最大承载人流量 C,Cn:大、小MS的成本 t:奧运会进行的总天数 【模型建立及求解】 问题1问卷调查反映的规律: I、出行、饮食、消费档次分布规律 根据在已建好的体育场的问卷调查,我们得到观众在出行、用餐和购物档次三方面 的规律:如图1 第3页共25页
第 3 页 共 25 页 【模型假设】 1．观众每次出行在同一个商区内只购物一次。 2．当同一出行方式的观众到同一看台同时存在两条或者两条以上最短路径时，选择各 条路径的概率相等。 3．对于观众一天内的两次出行，我们认为是住地－>场馆－>餐馆－>住地 4．各类 MS 售出商品的赢利率相同。 【符号说明】 Ei ：商区i 赢利的数学期望 A：所有商区一天内经过的总人次 λi ：商区i 人流分布的百分率 e ：观众消费额的数学期望 MS p , ms p ：大、小 MS 吸引观众购物的概率 Ni , i n ：商区i 内大、小 MS 的个数 φ M ,φm ：大、小 MS 的最大承载人流量 CM ,Cm ：大、小 MS 的成本 t ：奥运会进行的总天数 【模型建立及求解】 问题 1 问卷调查反映的规律： I、 出行、饮食、消费档次分布规律 根据在已建好的体育场的问卷调查，我们得到观众在出行、用餐和购物档次三方面 的规律：如图 1
出行规律 餐饮规律 19% 25% 消费档次分布规律 5000 3000 200 1000 图1出行、用餐和购物档次三方面的分别规律图 出行规律: 表1各种出行方式的统计 出行公交 公交出租车私车地铁(东)地铁(西) 方式(南北)(东西) 人数1774 1828 2010 2006 2024 可见,对于奧运会观众主要的出行方式为地铁,且优势明显,占到总的出行方式的 近40%,其次,选择的出行方式从大到小依次为公交车、出租车和私车 餐饮规律: 表2各种餐饮方式的统计 餐饮方式 中餐 西餐 商场 人数 2382 可见,西餐为观众最受欢迎的选择,占总数的53%,选择中餐和商场的人数相近, 分别为22%和25% 消费档次分布规律 表3各种档次的消费额统计 交费档次 5 人数206026294668983157103 可见,观众的消费档次的分布为单峰值分布在消费档次为3处达到最大,达到最大 第4页共25页
第 4 页 共 25 页 图 1 出行、用餐和购物档次三方面的分别规律图 出行规律： 表 1.各种出行方式的统计 出行 方式 公交 （南北） 公交 （东西） 出租车 私车 地铁（东） 地铁（西） 人数 1774 1828 2010 958 2006 2024 可见，对于奥运会观众主要的出行方式为地铁，且优势明显，占到总的出行方式的 近 40%，其次，选择的出行方式从大到小依次为公交车、出租车和私车。 餐饮规律： 表 2.各种餐饮方式的统计 餐饮方式 中餐 西餐 商场 人数 2382 5567 2651 可见，西餐为观众最受欢迎的选择，占总数的 53%，选择中餐和商场的人数相近， 分别为 22%和 25%。 消费档次分布规律： 表 3.各种档次的消费额统计 交费档次 1 2 3 4 5 6 人数 2060 2629 4668 983 157 103 可见，观众的消费档次的分布为单峰值分布在消费档次为 3 处达到最大，达到最大
后迅速减低,即中档的较多,向低档和高档方向人数分别依次减少,且高档消费者所占 例明显小于总低档 IⅠ出行、餐饮、消费档次相关性规律: 不同出行方式的饮食的选择 0.6 0.4 0.3 0.2 41.6182222426283 餐饮方式:1为中餐,2为两餐 商场餐饮 同出行方式人群的消费档次 0.4 0.3 0.1 1522533.544.555.5 消费档次 图2出行方式与饮食和消费档次之间相关性规律 图2理解:上图分别给出不同出行方式人群对餐饮选择和消费档次的概率组成,六 条曲线分别代表六种不同出行方式人群,六条曲线几乎重合,表明出行方式的不同并未 影响饮食的选择和消费档次,即出行方式与餐饮选择和消费档次间相关性非常小,可以 忽略。 表4不同出行方式的观众饮食的选择概率: 出行方式选择中餐的概率选择西餐的概率选择商场的概率 公交(南北) 0.24183 0.49605 0.26212 公交(东西) 0.5186 0.25274 出租 0.22488 0.52239 0.25274 私车 0.21712 0.53967 0.24322 地铁(东) 0.22233 0.5349 0.24277 地铁(西) 0.21196 0.54298 0.24506 第5页共25页
第 5 页 共 25 页 后迅速减低，即中档的较多，向低档和高档方向人数分别依次减少，且高档消费者所占 比例明显小于总低档。 II、 出行、餐饮、消费档次相关性规律： 图 2 出行方式与饮食和消费档次之间相关性规律 图 2 理解：上图分别给出不同出行方式人群对餐饮选择和消费档次的概率组成，六 条曲线分别代表六种不同出行方式人群，六条曲线几乎重合，表明出行方式的不同并未 影响饮食的选择和消费档次，即出行方式与餐饮选择和消费档次间相关性非常小，可以 忽略。 表 4.不同出行方式的观众饮食的选择概率： 出行方式 选择中餐的概率 选择西餐的概率 选择商场的概率 公交（南北） 0.24183 0.49605 0.26212 公交（东西） 0.22867 0.5186 0.25274 出租 0.22488 0.52239 0.25274 私车 0.21712 0.53967 0.24322 地铁（东） 0.22233 0.5349 0.24277 地铁（西） 0.21196 0.54298 0.24506