第四章静电场 4.1根据点电荷的场强公式 E 4πE0 当所考察的点到点电荷的距离r接近于零时,则电场强度趋于无限大,这显然是没有意义的。对 此应作何解释? 答:这是由于r→0时,带电体已不能再看成是点电荷,点电荷是一种理想的模型,只有在 带电体的线度远小于源点到场点的距离时才可把带电体看成是点电荷。本题中r→0,则带电体 要按实际分布计算其场强,而不能用点电荷的场强公式。 42在高斯定理 手Ed=9 (1)高斯面上的E是否完全由式中的q产生? (2)如果q=0,是否必定有E=0? (3)如果在高斯面上E处处为零,是否必定有q=0? 答:(1)高斯面上的场强E是由所有的电荷产生的 (2)若q=0,但E不一定为零 (3)在高斯面上E处处为零,则必定有q=0。 43将一个均匀带电(量值为Q)的球形肥皂泡,由半径r吹至n2。则半径为R (n<R<n2)的高斯面上任意一点的场强大小由 TE02变至 电势由Q变至 孔o 通过这个高斯面的E的通量由Q/E。变至 答:(1)变为0(高斯面内无电荷,且球对称):(2) (3)0 44电势为零的地方,电场强度是否一定为零?电场强度为零的地方,电势是否一定为零? 分别举例说明 答:电势为零的地方,电场强度不一定为零(电势零点可选任一位置);电场强度为零的地方, 电势也不一定为零。例如导体内电场为零,但电势可以不为零
1 第四章 静电场 4.1 根据点电荷的场强公式 2 4 0 r q E = 当所考察的点到点电荷的距离 r 接近于零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对 此应作何解释？ 答：这是由于 r →0 时，带电体已不能再看成是点电荷，点电荷是一种理想的模型，只有在 带电体的线度远小于源点到场点的距离时才可把带电体看成是点电荷。本题中 r →0 ，则带电体 要按实际分布计算其场强，而不能用点电荷的场强公式。 4.2 在高斯定理 S 0 = q E dS 中，问： （1）高斯面上的 E 是否完全由式中的 q 产生？ （2）如果 q = 0 ，是否必定有 E = 0 ？ （3）如果在高斯面上 E 处处为零，是否必定有 q = 0 ？ 答：（1）高斯面上的场强 E 是由所有的电荷产生的。 （2）若 q = 0 ，但 E 不一定为零。 （3）在高斯面上 E 处处为零，则必定有 q=0。 4.3 将一个均匀带电（量值为 Q）的球形肥皂泡，由半径 1 r 吹至 2 r 。则半径为 R （ 1 2 r R r ）的高斯面上任意一点的场强大小由 2 4 0R Q 变至______，电势由 R Q 40 变至 _______，通过这个高斯面的 E 的通量由 Q 0 / 变至______ 。 答：（1）变为 0（高斯面内无电荷，且球对称）；（2） 4 0 2 r Q ；（3）0 4.4 电势为零的地方，电场强度是否一定为零？电场强度为零的地方，电势是否一定为零？ 分别举例说明之。 答：电势为零的地方，电场强度不一定为零（电势零点可选任一位置）；电场强度为零的地方， 电势也不一定为零。例如导体内电场为零，但电势可以不为零
4.5将一个带电物体移近一个导体壳,带电体单独在导体空腔内激发的电场是否 等于零?静电屏蔽的效应是如何体现的? 答:带电体单独在导体空腔内激发的电场不为零。静电屏弊效应体现在带电体的 存在使导体腔上的电荷重新分布(自由电子重新分布),从而使得导体空腔内的总电场 为零。 4.6将一个带正电的导体A移近一个接地的导体B时,导体B是否维持零电 势?其上面是否带电? 答:导体B维持零电势,其上带负电。 4.7在同一条电场线上的任意两点a、b,其场强大小分别为E。及E,电势分别 为V和V,则以下结论正确的是 (1)E。=E6;(2)E≠E;(3)V=V;(4)V≠Vb。 答:同一条电场线上的两点,电场强度可以相同,也可以不同,但沿着电场线电 势降低,所以选(4)。 4.8电容器串、并联后的等值电容如何决定?在什么情况下宜用串联?什么情况 下宜用并联 解:串 并:c=∑ 当手头的电容器的电容值比所需要的电容值小,宜用并联。当手头的电容器的耐 压值比所需要的小,宜采用电容器串联。 4.9两根长度相同的铜导线和铝导线,它们两端加有相等的电压.问铜线中的场 强与铝线中的场强之比是多少?铜线中的电流密度与铝线中的电流密度之比是多少? (已知p铜=44×107g2mp铝=2.8×1092m) 答:电压V相同和导线长度1相同,则电场强度E相同 由 E 得:p J铜P J铝P铜4.4x10-7110 由于铜的电阻率大于铝的电阻率,所以铜线中的电流小于铝线中的电流 4.10电力线(电场线)与电位移线之间有何关系?当电场中有好几种电介质时, 电力线是否连续?为什么? 电场线和电位移线都是用来形象描述电场分布的,前者与电场强度E相对应,后 者与电位移矢量D相对应,它们的关系通过介质的性质方程D=6E+P相联系。当电 场中有好几种电介质时,电力线是不连续的,这是由于介质极化将在介质的表面及两
2 4.5 将一个带电物体移近一个导体壳，带电体单独在导体空腔内激发的电场是否 等于零？静电屏蔽的效应是如何体现的？ 答：带电体单独在导体空腔内激发的电场不为零。静电屏弊效应体现在带电体的 存在使导体腔上的电荷重新分布（自由电子重新分布），从而使得导体空腔内的总电场 为零。 4.6 将一个带正电的导体 A 移近一个接地的导体 B 时，导体 B 是否维持零电 势？其上面是否带电？ 答：导体 B 维持零电势，其上带负电。 4.7 在同一条电场线上的任意两点 a、b，其场强大小分别为 Ea 及 Eb ，电势分别 为 Va 和 Vb ，则以下结论正确的是： (1 ) Ea = Eb ； (2 ) Ea Eb ； (3) Va = Vb ； (4) Va Vb 。 答：同一条电场线上的两点，电场强度可以相同，也可以不同，但沿着电场线电 势降低，所以选（4）。 4.8 电容器串、并联后的等值电容如何决定？在什么情况下宜用串联？什么情况 下宜用并联？ 解：串： = i i c c 1 1 并： = i i c c 当手头的电容器的电容值比所需要的电容值小，宜用并联。当手头的电容器的耐 压值比所需要的小，宜采用电容器串联。 4.9 两根长度相同的铜导线和铝导线，它们两端加有相等的电压．问铜线中的场 强与铝线中的场强之比是多少？铜线中的电流密度与铝线中的电流密度之比是多少？ （已知 4 4 10 m, 2 8 10 m 7 8 = = − − 铜 . 铝 . ） 答：电压 V 相同和导线长度 l 相同，则电场强度 E 相同； 由 E j = E = 得： 110 7 4 4 10 2 8 10 7 8 = = = = − − . . 铜 铝 铝 铜 铜 铜 铝 铝 j j j j 由于铜的电阻率大于铝的电阻率，所以铜线中的电流小于铝线中的电流。 4.10 电力线(电场线)与电位移线之间有何关系？当电场中有好几种电介质时， 电力线是否连续？为什么？ 电场线和电位移线都是用来形象描述电场分布的，前者与电场强度 E 相对应，后 者与电位移矢量 D 相对应，它们的关系通过介质的性质方程 D E P = 0 + 相联系。当电 场中有好几种电介质时，电力线是不连续的，这是由于介质极化将在介质的表面及两
种介质的交界面出现面束缚电荷的原因 4.11说明带电系统形成过程中的功能转换关系,在此过程中系统获得的能量储 藏在何处? 答:在带电系统的形成过程中,外力做功使系统的能量增加,系统获得的能量储 存在电场中成为静电场能量。 4.12如图4.22所示,在图(a) 充电后不断开电源,图(b)充电后断开 电源的情况下,将相对电容率为E.的 电介质填充到电容器中,则电容器储存 图422题412图 的电场能量对图(a)的情况是 对图(b)情况是 答:(a)当充电后不断开电源(V不变),填充介质使电容器储存的电场能量增大; (b)当充电后断开电源(q不变),填充介质使电容器储存的电场能量减小。 413两个点电荷所带电荷量之和为q,问它们各带多少电荷时,相互作用力最大? 解:设一个带电q1,则另一个带电q-q1,其相互作用力大小为 F=9(9-q) dF d q, q1-q1l=0得q1 d4m~(-2)<0 919是F的极大值点 所以当两电荷的电量相等均为时,其相互作用力最大。 414电子以50×106m·s1的速率进入场强为E=10×103V·m1的匀强电场中,若电 子的初速度与场强方向一致.问 (1)电子作什么运动? (2)经过多少时间停止? (3)这段时间电子的位移是多少? 9.1×10-5、 -16×10-9×1.0×10 6 9/o15m/s2 (1)由于速度方向和加速度(受力)方向相反电子作运减速运动。 (2)由U=Uo+a=5.0×1061.6 105t=0
3 种介质的交界面出现面束缚电荷的原因。 4.11 说明带电系统形成过程中的功能转换关系，在此过程中系统获得的能量储 藏在何处？ 答：在带电系统的形成过程中，外力做功使系统的能量增加，系统获得的能量储 存在电场中成为静电场能量。 4.12 如图 4.22 所示，在图(a) 充电后不断开电源，图(b)充电后断开 电源的情况下，将相对电容率为 r 的 电介质填充到电容器中，则电容器储存 的电场能量对图 (a) 的情况是 _____________ ，对图(b)情况是______________。 答：（a）当充电后不断开电源（V 不变），填充介质使电容器储存的电场能量增大； （b）当充电后断开电源（q 不变），填充介质使电容器储存的电场能量减小。 * * * * * * * * * * 4.13 两个点电荷所带电荷量之和为ｑ，问它们各带多少电荷时，相互作用力最大？ 解：设一个带电 1 q ，则另一个带电 q − q1 ，其相互作用力大小为 2 0 1 1 4 r q q q F − = ( ) 0 4 1 2 1 1 1 0 − − = = [q q q ] dq r dF 得 2 1 q q = 又 2 0 4 1 2 0 2 1 2 − = ( ) dq r d F 2 1 q q = 是 F 的极大值点 所以当两电荷的电量相等均为 2 q 时，其相互作用力最大。 4.14 电子以 5.0×10 6 m ·s -1 的速率进入场强为 E =1.0×103 V·m-1 的匀强电场中，若电 子的初速度与场强方向一致．问 （1）电子作什么运动？ （2）经过多少时间停止？ （3）这段时间电子的位移是多少？ 解： 15 2 31 3 19 10 / 9.1 1.6 9.1 10 1.0 10 1.6 10 m s m eE a = − = − = − − − （1）由于速度方向和加速度（受力）方向相反 电子作运减速运动。 （2）由 10 0 9.1 1.6 5.0 106 15 t = 0 + at = − t = 图 4.22 题 4.12 图
50×10° 得从以U0运动到停止所需时间为t 1.6x105×9.1=284×10-8s (3)这段时间电子的位移为 s=1+1ar2=50×105×2.84×10~-1×16×1015×2842×10-6=71×10-2m 415两个点电荷q1和q2相距为l。若 (1)两电荷同号 (2)两电荷异号.求它们连线上电场强度为零的点的位置 解:(1)若两电荷同号,电场为零的点在q1与q2的连线上,设距q1为x处,则有, 4x5x242(-x)2由此得马= q1 q2 (-x) 整理得(q2-q1)x2+2q1kx-q1=0 解之得x=9-V41(舍去了负根) 41-q (2)若两电荷异号,电场为0的点在q1与q2的延长线上,且在电量较小的电荷一边 若q1<q2设E=0在q1外距q1为x处,则有 =42即=-q 4 45(+x) 整理得(-9)x2-2-9F=0解之得x=1+gq q2/q1-1 若q1>q2,则在q2外距q2为(同上计算)x 1+√q1/q2 q/q2-1 4.16a粒子快速通过氢分子中心,其轨道垂直于两核连线中心,问a粒子在何处受到的力最 大?假定α粒子穿过氢分子时,两核无多大移动,同时忽略分子中电子的电场 解:设两核间的距离为2l,a粒子在距两核中心的距离为r时所受力为最大,其值为 4r(2+r2)√2+r2zn(2+r2)32 由极值条件如F 0得r=--1
4 得从以 0 运动到停止所需时间为 t s 8 15 6 9.1 2.84 10 1.6 10 5.0 10 − = = （3）这段时间电子的位移为 s t at m 2 6 8 1 5 2 1 6 2 0 10 2.84 10 7.1 10 9.1 1.6 2 1 5.0 10 2.84 10 2 1 − − − = + = − = 4.15 两个点电荷 1 q 和 2 q 相距为 l。若 (１) 两电荷同号； (２) 两电荷异号．求它们连线上电场强度为零的点的位置． 解：（1）若两电荷同号，电场为零的点在 1 q 与 2 q 的连线上，设距 1 q 为 x 处，则有， 2 0 2 2 0 1 4 4 (l x) q x q − = 由此得 2 2 2 1 (l x) q x q − = 整理得 ( ) 2 0 2 1 1 2 q2 − q1 x + q lx − q l = 解之得 l q q q q q x 1 2 1 1 2 − − = （舍去了负根） （2）若两电荷异号，电场为 0 的点在 1 q 与 2 q 的延长线上，且在电量较小的电荷一边。 若 q1 q2 设 E = 0 在 1 q 外距 1 q 为 x 处，则有 2 0 2 2 0 1 4 4 (l x) q x q + = 即 2 2 2 1 (l x) q x q + = 整理得 ( ) 2 0 2 1 1 2 q2 − q1 x − q lx − q l = 解之得 l q q q q x 1 1 2 1 2 1 − + = / / 若 q1 q2 ，则在 2 q 外距 2 q 为（同上计算） l q q q q x 1 1 1 2 1 2 − + = / / 4.16 α粒子快速通过氢分子中心，其轨道垂直于两核连线中心，问α粒子在何处受到的力最 大？假定α粒子穿过氢分子时，两核无多大移动，同时忽略分子中电子的电场． 解：设两核间的距离为 2 l ， 粒子在距两核中心的距离为 r 时所受力为最大，其值为 2 2 3 / 2 0 2 2 2 2 2 0 2 4 ( ) ( ) 2 2 l r e r l r r l r e F + = + + = 由极值条件 = 0 dr dF 得 r l 2 2 =
即α粒子到两核中心的距离等于两核距离的ˇ二倍时所受之力为最大。 417若电荷q均匀地分布在长为L的细棒上,求证: (1)在棒的延长线上,离棒中心为a处的场为 π0 (2)在棒的垂直平分线上,离棒a处的场强为 E=2-n, +4a 证明:选棒的中心为坐标原点,沿棒的方向为x轴方向,垂直于棒的方向为y轴 入dx 入1 (1)E= 4: 4 (2)E=E 124忑 上a 4.18如图423所示为一无限大均匀带电平面中间挖去一个 半径为R的圆孔,电荷面密度为,求通过圆孔中心且与平面垂 直的线上P点的场强.设P点到孔心的距离为x,讨论x>>R 和ⅹ<<R两种情况下,E为多少? 423题418图 解:本问题可等效为面电荷密度为σ的均匀无限大带电面与 面电荷密度为的均匀带电圆盘(圆孔大小)的场的叠加。前者在p点产生的场强为E1=E2 利用均匀带电圆环在轴线上的电场叠加得圆盘在P点所产生的电场为 E2= P点的电场强度为E=E1+E2=,已x R2+ 讨论:(1)当x>>RE
5 即 粒子到两核中心的距离等于两核距离的 4 2 倍时所受之力为最大。 4.17 若电荷 q 均匀地分布在长为 L 的细棒上，求证： (1) 在棒的延长线上，离棒中心为 a 处的场为 2 2 0 4 L 1 − = a q E (2) 在棒的垂直平分线上，离棒 a 处的场强为 2 2 0 4 2 1 a L a q E + = 证明：选棒的中心为坐标原点，沿棒的方向为 x 轴方向，垂直于棒的方向为 y 轴 （1） 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 4 1 1 4 4 1 a L q a x a x dx E l l l l − = − = − = − − / / | ( ) （2） − − + = + + = = 2 2 2 2 3 / 2 0 2 2 2 2 2 2 1/ 2 0 4πε ( ) λ ( ) ( ) λ 4πε 1 l l l y l a x a dx x a a x a dx E E l 2 2 2 2 1 2 l 2 0 1 4 / / / | ( ) − + = a x x a a 2 2 0 2 2 0 4 2 1 4 4 1 a l a q l a a q + = + = 4.18 如图 4.23 所示为一无限大均匀带电平面中间挖去一个 半径为 R 的圆孔，电荷面密度为σ，求通过圆孔中心且与平面垂 直的线上 P 点的场强．设 Ｐ点到孔心的距离为 x ，讨论 x >> R 和 x << R 两种情况下，Ｅ为多少？ 解：本问题可等效为面电荷密度为 的均匀无限大带电面与 面电荷密度为- 的均匀带电圆盘（圆孔大小）的场的叠加。前者在 p 点产生的场强为 x E e 0 1 2 = 利用均匀带电圆环在轴线上的电场叠加得圆盘在 P 点所产生的电场为 x x e R x x e r x x r x ds E + − = − + + − = [ ] ( ) ( ) / 2 2 0 2 2 2 2 1 2 0 2 1 4 2 P 点的电场强度为 x e R x x E E E 2 2 0 1 2 2 + = + = 讨论：（1）当 x R x E e 2 0 图 4.23 题 4.18 图