第六章电磁感应、电磁场 61在图617所示几种情形中,线圈中有无感应电动势?有无感应电流?如果有试 确定它们的方向。 (1)如图6.17(a,b),线圈在均匀磁场中旋转; (2)如图6.17(c),在磁铁产生的磁场中线圈向右移动; (3)如图6.17(d)回路中,电阻R减少,另一回路有何变化。 ×× ××× × × 图 答:(1)(a)图在图示位置时,线圈中无感应电动势,无感应电流。(b)图的转 动,磁通量不变,则无感应电动势,无感应电流 (2)有感应电动势和感应电流,其方向为从左向右看为逆时针方向: 3)在2线圈中有感应电动势和感应电流,其方向为逆时针方向。 62在一绕有螺线管线圈的磁棒上套有四个半径相同的圆环a、b、c、d,它们分 别是由铜、铁、塑料制成的闭合圆环及由铜制成的非闭合环。当螺线管线圈与电源接 通时,问 (1)四个环中的感应电动势是否相等?如果不等,则其大小顺序如何? (2)四个环中的感应电流是否相等?如果不等,则其大小顺序如何? 答:(1)不相等,E。=56=Ea>E2=0 (2)不相等,J。>l6>l=l4=0 63将一磁棒插入一闭合导体回路中:一次迅速插入,一次缓慢插入,但两次插 入的始末位置相同。问在两次插入中 (1)感应电动势是否相等?如果不等,哪一次的大? (2)感应电量是否相等?如果不等,哪一次的大? (3)回路中的电动势是动生电动势还是感生电动势?为什么 答:(1)不相等,迅速插入的感应电动势大;(2)相等:(3)相对于闭合导体回 路是感生电动势,(回路不动),相对于磁棒是动态电动势(回路运动)。 64指出涡旋电场与静电场的异同 答:涡旋电场和静电场,都是电场,它们对带电体的作用相同,所不同的是:(1) 涡旋电场由变化的磁场产生,而静电场是由静止的电荷产生;(2)涡旋电场是非保守 力,相应的电场线是无头无尾的闭合曲线,而静电场是保守力场,其电场线是起自正 电荷,而终止负电荷,在无电荷处不中断
1 第六章 电磁感应、电磁场 6.1 在图 6.17 所示几种情形中，线圈中有无感应电动势?有无感应电流?如果有试 确定它们的方向。 (1)如图 6.17(a，b)，线圈在均匀磁场中旋转； (2)如图 6.17(c)，在磁铁产生的磁场中线圈向右移动； (3)如图 6.17(d)回路中，电阻 R 减少，另一回路有何变化。 答：（1）（a）图在图示位置时，线圈中无感应电动势，无感应电流。（b）图的转 动，磁通量不变，则无感应电动势，无感应电流。 （2）有感应电动势和感应电流，其方向为从左向右看为逆时针方向； （3）在 2 线圈中有感应电动势和感应电流，其方向为逆时针方向。 6.2 在一绕有螺线管线圈的磁棒上套有四个半径相同的圆环 a、b、c、d，它们分 别是由铜、铁、塑料制成的闭合圆环及由铜制成的非闭合环。当螺线管线圈与电源接 通时，问 （1）四个环中的感应电动势是否相等？如果不等，则其大小顺序如何？ （2）四个环中的感应电流是否相等？如果不等，则其大小顺序如何？ 答：（1）不相等， a = b = d c = 0 （2）不相等， I a I b I c = I d = 0 6.3 将一磁棒插入一闭合导体回路中：一次迅速插入，一次缓慢插入，但两次插 入的始末位置相同。问在两次插入中： （1）感应电动势是否相等？如果不等，哪一次的大？ （2）感应电量是否相等？如果不等，哪一次的大？ （3）回路中的电动势是动生电动势还是感生电动势？为什么？ 答：（1）不相等，迅速插入的感应电动势大；（2）相等；（3）相对于闭合导体回 路是感生电动势，（回路不动），相对于磁棒是动态电动势（回路运动）。 6.4 指出涡旋电场与静电场的异同。 答：涡旋电场和静电场，都是电场，它们对带电体的作用相同，所不同的是：（1） 涡旋电场由变化的磁场产生，而静电场是由静止的电荷产生；（2）涡旋电场是非保守 力，相应的电场线是无头无尾的闭合曲线，而静电场是保守力场，其电场线是起自正 电荷，而终止负电荷，在无电荷处不中断。 图 6.17
65两个线圈,长度相同,半径接近相同,在下列三种情况下,哪一种情况两线 圈的互感系数最小,哪一种情况两线圈的互感系数最大,(1)两个线圈轴线在同一直线 上,且相距很近;(2)两个线圈相距很近,但轴互相垂直;(3)个线圈套在另一个线圈 外面。 答:互感系数最小的为(2),互感系数最大的为(3)。 66变化电场所产生的磁场,是否也一定随时间而变化:反之,变化的磁场所产 生的电场,是否也一定随时间而变化? 答:不一定;不一定。 67(1)真空中静电场的高斯定理和真空中电磁场的高斯定理在形式上相同,都 为 ∮Dds=5=E5=∑q=Jpd 在理解上有何区别? 2)真空中稳恒电流的磁场和一般电磁场都有:∮B=0,这两种情况下,对 B矢量的理解有何区别? 答:(1)静电场的高斯定理中,D是静电荷产生的,各量的分布都不随时间变化。 电磁场的高斯定理,D是电荷与变化磁场共同产生的,且D与p是同一时刻的量,具 有瞬时性 (2)前者B是由稳恒电流产生的,磁场不随时间改变,后者是由电流和变化电场 共同产生的,具有瞬时性。 68有一线圈匝数为N,如果通过线圈的磁感应通量按任意方式由Φ1改变到Φ2, 试证通过该线圈回路的电量为Q N(2-①1) ,式中R为闭合回路内的总电阻。 R 证:据电磁感应定律有:E dy Ndop Nda dt dtr dt 通过该线圈回路的电量为电流对时间的积分,即: Q-=如h=如=(n吗 69在一个横截面积为0.001m2的铁磁质圆柱上,绕100匝铜线,铜线的两端连 有一个电阻器,电路的总电阻为109.如果铁柱中的纵向磁场由某一方向(B的量值为 1T改变到另一方向(B的量值仍为11)。问:有多少电量流过这个电路。 解:当磁场沿纵向反向时,这一过程磁通变化为
2 6.5 两个线圈，长度相同，半径接近相同，在下列三种情况下，哪一种情况两线 圈的互感系数最小，哪一种情况两线圈的互感系数最大，(1)两个线圈轴线在同一直线 上，且相距很近；(2)两个线圈相距很近，但轴互相垂直；(3)一个线圈套在另一个线圈 外面。 答：互感系数最小的为（2），互感系数最大的为（3）。 6.6 变化电场所产生的磁场，是否也一定随时间而变化；反之，变化的磁场所产 生的电场，是否也一定随时间而变化? 答：不一定；不一定。 6.7 (1) 真空中静电场的高斯定理和真空中电磁场的高斯定理在形式上相同，都 为： = = = V D dS E dS q dV 0 在理解上有何区别? (2) 真空中稳恒电流的磁场和一般电磁场都有： = 0 B dS ， 这两种情况下，对 B 矢量的理解有何区别? 答：（1）静电场的高斯定理中， D 是静电荷产生的，各量的分布都不随时间变化。 电磁场的高斯定理， D 是电荷与变化磁场共同产生的，且 D 与 是同一时刻的量，具 有瞬时性； （2）前者 B 是由稳恒电流产生的，磁场不随时间改变，后者是由电流和变化电场 共同产生的，具有瞬时性。 * * * * * * * 6.8 有一线圈匝数为 N，如果通过线圈的磁感应通量按任意方式由 1 改变到 2 ， 试证通过该线圈回路的电量为 R N Q ( ) 2 − 1 = ，式中 R 为闭合回路内的总电阻。 证：据电磁感应定律有： dt Nd dt d = = ， dt Nd R R i = = 1 通过该线圈回路的电量为电流对时间的积分，即： − = = = = 2 1 ( ) 2 1 R N d R N dt dt d R N Q idt 6.9 在一个横截面积为 0.001m2 的铁磁质圆柱上，绕 100 匝铜线，铜线的两端连 有一个电阻器，电路的总电阻为 10Ω．如果铁柱中的纵向磁场由某一方向(B 的量值为 1T)改变到另一方向(B 的量值仍为 1T)。问：有多少电量流过这个电路。 解：当磁场沿纵向反向时，这一过程磁通变化为：
△d=2d=2BS=2×1×0.001=0.0020b 由上题结果知流过电路的电量为 ×0.002=0.02C R 6.10如图6.18所示,一个100匝的线圈,电阻为109。将其置于方向垂直纸面 向里的均匀磁场中。设通过线圈平面的磁通按Φ=10+6-412(SI)的规律变化,求 (1)t=ls时线圈中的感应电动势的大小及方向 (2)t=ls时线圈中的感应电流的大小及方向 (3)第1秒内通过电流表G的电量 (4)电动势开始反转的时刻。 解:(1)E= d --N( dt (6-8) dt 图6.18题6.10示图 当t=1时,E=-100×(6-8×1)=200V方向为顺时针 (2)=E_20 R =20A方向为顺时针方向 (3)q=ldr dt R(6-8)dt (6-4)=-20C (4)由E=N(6-8)知,电动势开始反转的时刻t=5=0755 6.11如图6.19a)表示一根长度为L的铜棒平行于一载有电流i的长直导线,从距 离电流为a处开始以速度υ向下运动。求铜棒所产生的感应电动势。已知υ=5m·sl =100A,L=20cm,a=lcm。又如图619(b所示若铜线运动的方向u与电流方向平行。 设铜棒的上端距电流为a,问此时铜棒的感应电动势又为多少。 解:在图(a)中 0×B.d=UBL L =5×2×10×100 001×0.2=2.0×10-T 图619题6ni图(b) 在图(b)中 E=0×Bd=a=D2∫h l a+L 3.04×10 62如图620所示,半径为R的导体圆环,其线圈平面与局限于线圈平面内的 均匀磁场B垂直。一同种材料和同样粗细的直棒置于其上,导体棒以 速度υ自左向右滑动,经过环心时开始计时。设棒上和环上每单位长 度的电阻为r。求 (1)t时刻棒上的动生电动势 图6.20题6.12示图
3 = 2 = 2BS = 210.001= 0.002b 由上题结果知流过电路的电量为： C R N Q 0.002 0.02 10 100 = = = 6.10 如图 6.18 所示，一个 100 匝的线圈，电阻为 10Ω。将其置于方向垂直纸面 向里的均匀磁场中。设通过线圈平面的磁通按 2 = 10 + 6t − 4t (SI)的规律变化，求： （1）t = 1s 时线圈中的感应电动势的大小及方向； （2）t = 1s 时线圈中的感应电流的大小及方向； （3）第 1 秒内通过电流表 G 的电量； （4）电动势开始反转的时刻。 解：（1） N(6 8t) dt d N dt d = − − = − = − 当 t=1 时， = −100 (6 − 81) = 200V 方向为顺时针。 （2） A R I 20 10 200 = = = 方向为顺时针方向 （3） = = = − − = − − = − 1 0 1 0 1 0 (6 4) 20 10 100 (6 8t)dt C R N dt R q Idt （4）由 = −N(6 − 8t) 知，电动势开始反转的时刻 t 0.75s 8 6 = = 6.11 如图 6.19(a)表示一根长度为 L 的铜棒平行于一载有电流 i 的长直导线，从距 离电流为 a 处开始以速度υ向下运动。求铜棒所产生的感应电动势。已知υ= 5m·s -1 ， i=100A，L= 20cm ，a =1cm。又如图 6.19(b)所示若铜线运动的方向υ与电流方向平行。 设铜棒的上端距电流为 a，问此时铜棒的感应电动势又为多少。 解：在图（a）中： = = = L a i B dl BL 2 0 V 7 3 0 2 2 0 10 0 01 100 5 2 10− − = . = . . 在图（b）中： − + = + = = = = V a I a L dr r I B dl Bdr L a a 0 0 4 ln 3.04 10 2 1 2 6.12 如图 6.20 所示，半径为 R 的导体圆环，其线圈平面与局限于线圈平面内的 均匀磁场 B 垂直。一同种材料和同样粗细的直棒置于其上，导体棒以 速度υ自左向右滑动，经过环心时开始计时。设棒上和环上每单位长 度的电阻为 r。求： （1）t 时刻棒上的动生电动势； 图 6.18 题 6.10 示图 图 6.20 题 6.12 示图 图 6.19 题 6.11 示图
(2)t时刻感应电流在环心上产生的磁感强度。 解:(1)ε=BU=2UB√R2-2t2方向从a到b (2)等效电路为ab段与两弧段并联后相串 由两圆弧段上电流方向相反,大小与电阻成反比,进而与弧长成反比,它们在O 点产生的磁感应强度之和为0,故感应电流在环心上产生的磁感强度即ab段上感应电 流在O点产生的磁感应强度,即 B=B(-)=HR-072=HER-07 R 2πRwtR A02UB√R2-u3t2√R2-02t2μBR2=b322 2πRUt R RI r 其中电阻R为: R=2VR-u1+ arccos(、1 arccos DR HoB Bo=2mR√R2-U712+BosR→(aoR 方向垂直纸面向外 613(1)如图6.21所示,质量M,长度为l的金属棒ab从静止开始沿倾斜的绝缘 框架下滑,设磁场B竖直向上,求棒内的动生电动势与时间的函数关系。假定摩擦可 忽略不计。 (2)如果金属棒ab是沿光滑的金属框架下滑,结果又有何不同?(提示:回路abCB 将产生感生电流,可设回路电阻为R,并作常量考虑) 解:(1)棒所受合力是其重力沿斜面的分力f= mgsm 6,则运动速度 U=Do +at=(gsin e)t 故动生电动势为 E=S(UX B)d=(gsin @)tBsin(0+))=Bglt sIn ecos (2)若是金属框架,则当产生动生电动势时, 就有感应电流,从而棒还受到安培力的作用。设在某 B 瞬时,棒的速度为υ。则所受安培力为: fmEUR-51B= oBI cos 0,p ucos e R 沿斜面方向应用牛二得: 图6.21题6.13示图
4 （2）t 时刻感应电流在环心上产生的磁感强度。 解：（1） 2 2 2 = Bl = 2B R − t 方向从 a 到 b。 （2）等效电路为 ab 段与两弧段并联后相串。 由两圆弧段上电流方向相反，大小与电阻成反比，进而与弧长成反比，它们在 O 点产生的磁感应强度之和为 0，故感应电流在环心上产生的磁感强度即 ab 段上感应电 流在 O 点产生的磁感应强度，即： R R t R R t R t t I t I B 2 2 2 0 2 2 2 0 1 2 0 0 4 2 2 − = − − = = ' (cos cos ) ' ' R R t Rt B R R t R t B R t 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 − = − − = 其中电阻 ' R 为： − = − + R R t R t R r R t arccos ( arccos ) ' 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 arccos (arccos ) 2 R R t R t R t R R t Rrt B B − + − − = 方向垂直纸面向外。 6.13 (1) 如图 6.21 所示，质量 M，长度为 l 的金属棒 ab 从静止开始沿倾斜的绝缘 框架下滑，设磁场 B 竖直向上，求棒内的动生电动势与时间的函数关系。假定摩擦可 忽略不计。 (2) 如果金属棒 ab 是沿光滑的金属框架下滑，结果又有何不同? (提示：回路 abCB 将产生感生电流，可设回路电阻为 R，并作常量考虑)。 解：（1）棒所受合力是其重力沿斜面的分力 f = mg sin ，则运动速度 at (g sin )t =0 + = 故动生电动势为： = = = + a b ( B)dl (g sin ) Bsin( )l Bglt sin cos 2 t （2）若是金属框架，则当产生动生电动势时， 就有感应电流，从而棒还受到安培力的作用。设在某 瞬时，棒的速度为 。则所受安培力为： cos cos 2 2 l B R lB R Bl lB R f m IlB = = = = 沿斜面方向应用牛二得： 图 6.21 题 6.13 示图
d gsin e 12B2 cos 0 cos 0 这是υ对t的常微分方程,解之得: meRsin 0 B212cos2 B212 cos20 由t=0时,U=0得:C= rsin e B21 cos20 v= meRsin e mgRs 6 B212 c0s 20 Blucos8-Bl cos0 6.14如图622表示一个限定在圆柱形体积内的均匀磁场,磁感应强度为B,圆 柱的半径R,B的量值以10×102T“S1的恒定速率减小。当把电子放在磁场中a点 (r=5cm)处及b点时,试求电子所获得的瞬时加速度(大小、方向)。(电子的荷质比 为1.76×101C·kg1) 解:由例62知,在圆柱内涡旋电场 E 2 dt 则电子在涡旋电场中所受的力为 F=-ee=-e 2d,加速度a=F=cB m 2m du 图622题614示图 在a点,r=5cm=5×10-2m 176×101×(-1.0×10-2)×5×10-2=-44×107m/s2,方向向右 在b点=0,则a=0 615如图623所示,虚线圆内是均匀磁场,磁感应强度B的大小为0.5T,方向 垂直图面向里,并且正以001T·S的变化率减小.问 (1)在图中虚线圆内,涡旋电场的电力线如何? 冬。(2)在半径为10m的导电圆环上任一点处,涡旋电场的大小与方向如何?环内感 电动势有多大?如果环内的电阻为29,环内电流有多大?环上a,b两点的电势 差为多少? (3)如果在某点切开此环,并把两端稍许分开,此时,两端间的电势差又为多少? 解:(1)虚线圆内,涡旋电场的电力线是以轴为心的一系列同 心圆环,其方向为顺时针方向。 (2)E= 0.01)×0.1=5×10-V.m 2 dt 方向沿顺时针方向。 环内的感生电动势 图6.23题6,15示图
5 dt d l B Rm g = sin − cos cos 2 2 这是 对 t 的常微分方程，解之得： t mR B l Ce B l mgR − − = 2 2 2 2 2 2 cos cos sin 由 t=0 时， = 0 得： 2 2 2 cos sin B l mgR C = = − − t mR B l e B l mgR 2 2 2 cos 2 2 2 1 cos sin ， = = − − t mR B l e Bl mgR Bl 2 2 2 cos 1 cos sin cos 6.14 如图 6.22 表示一个限定在圆柱形体积内的均匀磁场，磁感应强度为 B，圆 柱的半径 R，B 的量值以 1.0×10-2 T·S -1 的恒定速率减小。当把电子放在磁场中 a 点 ( r = 5cm )处及 b 点时，试求电子所获得的瞬时加速度(大小、方向)。(电子的荷质比 为 1.76×1011C·kg-1 )。 解：由例 6.2 知，在圆柱内涡旋电场 r dt dB E 2 1 = − 则电子在涡旋电场中所受的力为： r dt dB F eE e 2 1 = − = ，加速度 r dt dB m e m F a 2 = = 在 a 点， r cm m 2 5 5 10− = = 1 1 2 2 7 2 1 76 10 1 0 10 5 10 4 4 10 2 1 a m s a = . (− . ) = − . / − − ，方向向右。 在 b 点 r=0，则 ab = 0 6.15 如图 6.23 所示，虚线圆内是均匀磁场，磁感应强度 B 的大小为 0.5T，方向 垂直图面向里，并且正以 0.01 T·S -1 的变化率减小．问： (1) 在图中虚线圆内，涡旋电场的电力线如何? (2) 在半径为 10cm 的导电圆环上任一点处，涡旋电场的大小与方向如何? 环内感 生电动势有多大? 如果环内的电阻为 2Ω，环内电流有多大? 环上 a，b 两点的电势 差为多少? (3) 如果在某点切开此环，并把两端稍许分开，此时，两端间的电势差又为多少? 解：（1）虚线圆内，涡旋电场的电力线是以轴为心的一系列同 心圆环，其方向为顺时针方向。 （2） 4 1 ( 0.01) 0.1 5 10 2 1 2 1 − − = − r = − − = V m dt dB E感 方向沿顺时针方向。 环内的感生电动势： 图 6.22 题 6.14 示图 图 6.23 题 6.15 示图