即在很远处,挖掉的圆孔对电场强度影响不大可以忽略 (2)当x<<R时,E→0,即当场点无限接近带电面时,其电场强度只与该处的电荷分布有关 (该处电荷面密度σ=0) 4.19设均匀电场的场强E与半径为R的半球面的轴平行.求通过此半球面的电通量 解:取半径为R的平面与半径面构成封闭面,对于该封闭面,由高斯定理便知其闭面通量为 零,所以通过半径面的电通量与垂直于电场方向的平面(半径R)的电通量大小相同。即 Φ=Es=R2E 420一均匀带电线,线电荷密度为λ,线的形状如图424所示 设曲率半径为R与线的长度相比为足够小。求O点处的电场强度的大小 解:0点处的电场可看成是由两个半无限长线和一个圆周电荷产 图424题4.20图 生的电场,而两半无限长线上的电荷在0点产生的电场E和E2大小相 等,方向相反,则0点的电场强度是,圆周电贺产生的,即E=E1+E2+E3=E3 入Rde E cose= 2 cos ede 4πE。R 4πE0R 4πEnR ARde aTE R E=、E2+E IEo R 421两个均匀带电的同心球面,半径分别为0.1m和0.3m,小球面带电荷为1.0×108C 大球面带电荷1.5×108C,求:离球心为(1)5×102m;(2)0.2m:(3)0.5m处的场强。这 两个带电球面产生的场强是否为离球心距离的连续函数 解:(1)r=5×102m,处于r=0.1m球面内,则以过场点r=5×102m所作的同心球面 作为高斯面,其内无电荷,利用高斯定理及电场的球对称分布有 4mE=0,从而E=0 (2)r=0.2m过该场点所做之同心球面包括小均匀带电球面,据高斯定理及电场的球对称分 布得4r2E= 由此得E=91=9×10°×10×10 =225×103V 0.2 (3)r=0.5m过该场点所做之同心球面包括小均匀带电球面,也包含大均匀带电球面,将其
6 即在很远处，挖掉的圆孔对电场强度影响不大可以忽略。 （2）当 x R 时， E →0 ，即当场点无限接近带电面时，其电场强度只与该处的电荷分布有关， （该处电荷面密度 = 0 ） 4.19 设均匀电场的场强Ｅ与半径为Ｒ的半球面的轴平行．求通过此半球面的电通量． 解：取半径为 R 的平面与半径面构成封闭面，对于该封闭面，由高斯定理便知其闭面通量为 零，所以通过半径面的电通量与垂直于电场方向的平面（半径 R）的电通量大小相同。即 e Es R E 2 = = 4.20 一均匀带电线，线电荷密度为λ，线的形状如图 4.24 所示。 设曲率半径为R与线的长度相比为足够小。求O点处的电场强度的大小。 解：0 点处的电场可看成是由两个半无限长线和一个 4 1 圆周电荷产 生的电场，而两半无限长线上的电荷在 0 点产生的电场 E1 和 E2 大小相 等，方向相反，则 0 点的电场强度是 4 1 圆周电贺产生的，即 E = E1 + E2 + E3 = E3 = = = 2 0 0 0 2 0 2 0 4 4 4 R d R R Rd Ex cos cos R d R Rd Ey 0 2 0 2 0 4 sin 4 = = R E Ex Ey 0 2 2 4 2 = + = 4.21 两个均匀带电的同心球面，半径分别为 0.1 m 和 0. 3 m ，小球面带电荷为 1.0×10 -8 C， 大球面带电荷 1. 5×10 -8 C，求：离球心为 (1) 5×10 -2 m ；(2) 0. 2 m ；(3) 0.5 m 处的场强。这 两个带电球面产生的场强是否为离球心距离的连续函数。 解：（1） r m 2 5 10− = ，处于 r1 = 0.1m 球面内，则以过场点 r m 2 5 10− = 所作的同心球面 作为高斯面，其内无电荷，利用高斯定理及电场的球对称分布有 4 0 2 r E = ， 从而 E = 0 （2） r = 0.2m 过该场点所做之同心球面包括小均匀带电球面，据高斯定理及电场的球对称分 布得 0 2 1 4 = q r E 由此得 3 1 2 8 9 2 0 1 2 25 10 V m 0 2 1 0 10 9 10 4 q − − = = = . . . r E （3） r = 0.5m 过该场点所做之同心球面包括小均匀带电球面，也包含大均匀带电球面，将其 图 4.24 题 4.20 图
作为高斯面,应用高斯定理并利用电场的球对称分布有 4m2E=+q2 Eo 由此得 E =9 x10°×(.0+1.5)×10=9×102V.m- 0.5 这两带电球面产生的场强不是距球心距离r的连续函数。 422两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别为R1和R2(R2>R1),大圆柱 面和小圆柱面单位长度带电荷分别为-入和+λ,求离轴线为r处的电场强度:(1)r<R1:(2) R2>r>R1;(3)r>R2 解:过场点作与带电无限长圆柱同轴的圆柱面,高为h,将其作为高斯面,利用高斯定理及电 场的轴对称性(柱面上电场沿径向,且在侧面上大小相等)可计算如下 (1)r<R1 手E·45=E+∫E=「E=EA=MnE=0E=0 (2)R<r<R E ds= Eds =2ThE=hx/Eo 由此得E= (3)r>R25E4S==2mhE=M+(-)En=0E=0 423如图425所示,一质量为m=1.0×10kg的小球,带有电荷q=2.0×101C,悬于 丝线下面,线与一块很大的均匀带电平面成0=30°角。求此带电平面的电荷密度。 解:设带电平面的电荷密度为a,它在平面附近产生的电场大小为E=,则点电荷q所 受水平方向的电场力为F电 go 2 由受力平衡可得 Sine=Fa=go ( Tcos 0=mg 图425题423图 由(1)/(2)得tan6 aomg
7 作为高斯面，应用高斯定理并利用电场的球对称分布有 0 2 1 2 4 q q r E + = 由此得 2 1 2 8 9 2 0 1 2 9 10 V m 0 5 1 0 1 5 10 9 10 4 − − = + = + = . ( . . ) r q q E 这两带电球面产生的场强不是距球心距离 r 的连续函数。 4.22 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1 和 R2 (R2 > R1)，大圆柱 面和小圆柱面单位长度带电荷分别为 -λ和 +λ，求离轴线为 r 处的电场强度： (1) r < R1 ；(2) R2 > r >R1 ；(3) r > R2 ． 解：过场点作与带电无限长圆柱同轴的圆柱面，高为 h，将其作为高斯面，利用高斯定理及电 场的轴对称性（柱面上电场沿径向，且在侧面上大小相等）可计算如下： （1） R1 r 2 0 S = + = = = = E dS E dS E dS E dS EdS h rE 底 侧 侧 侧 E = 0 (2) 1 R2 R r 2 0 = = = E dS Eds rhE h / 侧 由此得 r E 2 0 = （3） R2 r = = 2 = + − 0 = 0 E dS Eds rhE h[ ( )]/ 侧 E = 0 4.23 如图 4.25 所示，一质量为 m = 1.0×10 -6 kg 的小球，带有电荷 q = 2.0×10 -11 C ，悬于 一丝线下面，线与一块很大的均匀带电平面成θ= 30o 角。求此带电平面的电荷密度。 解：设带电平面的电荷密度为 ，它在平面附近产生的电场大小为 2 0 E = ，则点电荷 q 所 受水平方向的电场力为 2 0 q F电 = 由受力平衡可得 = = = cos ( ) sin ( ) 2 1 2 0 T mg q T F电 由（1）/（2）得 mg q 2 0 tan = 图 4.25 题 4.23 图