第二章力学中的守恒定律 2.1在下面两种情况中,合外力对物体作的功是否相同?(1)使物体匀速铅直地升高h(2)使 物体匀速地在水平面上移动h。如果物体是在人的作用下运动的,问在两种情况中对物体作的功 是否相同? 答:合外力对物体做功不同 22A和B是两个质量相同的小球,以相同的初速度分别沿着摩擦系数不同的平面滚动。其中 A球先停止下来,B球再过了一些时间才停止下来,并且走过的路程也较长,问摩擦力对这两个 球所作的功是否相同? 答:摩檫力对两球做功相同。 23有两个大小形状相同的弹簧:一个是铁做成的,另一个是铜做成的,已知铁制弹簧的倔 强系数比铜大。 (1)把它们拉长同样的距离,拉哪一个做功较大? (2)用同样的力来拉,拉哪一个做功较大? 答:(1)拉铁的所做功较大;(2)拉铜的做功较大。 2.4当你用双手去接住对方猛掷过来的球时,你用什么方法缓和球的冲力。 答:手往回收,延长接球时间。 2.5要把钉子钉在木板上,用手挥动铁锤对钉打击,钉就容易打进去。如果用铁锤紧压着钉, 钉就很难被压进去,这现象如何解释? 答:前者动量变化大,从而冲量大,平均冲力也大。 2.6"有两个球相向运动,碰撞后两球变为静止,在碰撞前两球各以一定的速度运动,即各 具有一定的动量。由此可知,由这两个球组成的系统,在碰撞前的总动量不为零,但在碰撞后 两球的动量都为零,整个系统的总动量也为零。这样的结果不是和动量守恒相矛盾吗? 指出上述讨论中的错误。 答:上述说法是错误的,动能守恒是成立的。虽然碰前各自以一定的速度不为零,相应的动 量也不为零,但动量是矢量,系统的总动量在碰前为0,满足动量守恒定律 27试问:(1)一个质点的动量等于零,其角动量是否一定等于零?一个质点的角动量等于零 其动量是否一定等于零? (2)一个系统对某惯性系来说动量守恒,这是否意味着其角动量也守恒? 答:(1)一个质点的动量等于零,其角动量也一定为零;一个质点的角动量等于零,其动量 不一定为零 (2)一个系统对某惯性系来说动量守恒,这并不意味其角动量也守恒。 2.8一蓄水池,面积为S=50m,所蓄的水面比地面低50m,水深d=1.5m。用抽水机把这 池里的水全部抽到地面上,问至少要作多少功? 解:池中水的重力为F=mg=pg=1.0×103×50×1.5×10=7.5×103 将水全部抽到地面,其发生的平均位移为l=h+d=5+2575m 抽水机所做的功即克服重力所做的功,所以A=F=75×103×575=43×10°(J 29以45牛顿的力作用在一质量为15千克的物体上,物体最初处于静止状态。试计算在第
1 第二章 力学中的守恒定律 2.1 在下面两种情况中，合外力对物体作的功是否相同?(1)使物体匀速铅直地升高 h 。(2) 使 物体匀速地在水平面上移动 h。如果物体是在人的作用下运动的，问在两种情况中对物体作的功 是否相同? 答：合外力对物体做功不同。 2.2 A 和 B 是两个质量相同的小球，以相同的初速度分别沿着摩擦系数不同的平面滚动。其中 A 球先停止下来，B 球再过了一些时间才停止下来，并且走过的路程也较长，问摩擦力对这两个 球所作的功是否相同? 答：摩檫力对两球做功相同。 2.3 有两个大小形状相同的弹簧：一个是铁做成的，另一个是铜做成的，已知铁制弹簧的倔 强系数比铜大。 (1) 把它们拉长同样的距离，拉哪一个做功较大？ (2) 用同样的力来拉，拉哪一个做功较大？ 答：（1）拉铁的所做功较大； （2）拉铜的做功较大。 2.4 当你用双手去接住对方猛掷过来的球时，你用什么方法缓和球的冲力。 答：手往回收，延长接球时间。 2.5 要把钉子钉在木板上，用手挥动铁锤对钉打击，钉就容易打进去。如果用铁锤紧压着钉， 钉就很难被压进去，这现象如何解释? 答：前者动量变化大，从而冲量大，平均冲力也大。 2.6 "有两个球相向运动，碰撞后两球变为静止，在碰撞前两球各以一定的速度运动，即各 具有一定的动量。由此可知，由这两个球组成的系统，在碰撞前的总动量不为零，但在碰撞后， 两球的动量都为零，整个系统的总动量也为零。这样的结果不是和动量守恒相矛盾吗?" 指出上述讨论中的错误。 答：上述说法是错误的，动能守恒是成立的。虽然碰前各自以一定的速度不为零，相应的动 量也不为零，但动量是矢量，系统的总动量在碰前为 0，满足动量守恒定律。 2.7 试问：(1) 一个质点的动量等于零，其角动量是否一定等于零?一个质点的角动量等于零， 其动量是否一定等于零? (2) 一个系统对某惯性系来说动量守恒，这是否意味着其角动量也守恒? 答：（1）一个质点的动量等于零，其角动量也一定为零；一个质点的角动量等于零，其动量 不一定为零。 （2）一个系统对某惯性系来说动量守恒，这并不意味其角动量也守恒。 * * * * * * 2.8 一蓄水池，面积为 2 S = 50m ，所蓄的水面比地面低 5.0m，水深 d=1.5m。用抽水机把这 池里的水全部抽到地面上，问至少要作多少功？ 解：池中水的重力为 3 5 F = mg = sdg =1.010 501.510 = 7.510 将水全部抽到地面，其发生的平均位移为 m d l h 5.75 2 1.5 5 2 = + = + = 抽水机所做的功即克服重力所做的功，所以 7.5 10 5.75 4.3 10 ( ) 5 6 A = Fl = = J 2.9 以 45 牛顿的力作用在一质量为 15 千克的物体上，物体最初处于静止状态。试计算在第
与第三秒内所作的功,以及第三秒末的瞬时功率 解:已知F=45N,m=15kg 据牛顿第二定律得物体的加速度 F a=2=45/15=3m/s2 s￥22=×3=1.5m(1秒内的位移) at= 6m S3=a2=×3×32=13.5m(3秒内的位移) 3秒末速率U3=a2=3×3=pm/s 第1秒内所做功为A1=FS1=45×1.5=675() 第3秒内所做功为A3=F(S3-S2)=45×(13.5-6)=337.() 3秒末的功率P=FU=45×9=405W 2.10一质量为的小石块从点自静止开始下滑,到达点时速率为,再沿滑行后停止。已知滑 行轨道是圆周的14,圆周半径为,为水平面(如图220所示)。试求 (1)在AB段,摩擦力所作的功 (2)水平轨道BC与石块间的摩擦系数。 已知,m=20.0g=0.02k 3m/s Bc= 3m. R=1.On (1)从A到B机械能的减少量为W=mgh-m2=0.02×(9.8×1-×32)=0.106() 此即摩檫力在AB段所做的功 (2)在BC段,摩檫力对物体做负功,其量值等于小石块在B点的功能,则摩檫力 b2×0.02×32 =003N 摩察系数μBC= 0.03 mg0.02×980.15 21一质量为2×103kg的子弹,在枪筒中前进时所受到的合力为F=400 8000 以N为单位,x以m为单位。子弹出枪口速度为300m·s-1。试计算枪筒的长度 解:设枪筒的长度为L,则子弹飞出枪口时合外力所做的功为 A=Fk=(40890 4000 9)dx=400L 据功能原理得1
2 一与第三秒内所作的功，以及第三秒末的瞬时功率。 解：已知 F = 45N, m =15kg 0 = 0 据牛顿第二定律得物体的加速度 2 45/15 3m /s m F a = = = s at 3 1.5m 2 1 2 1 2 1 = 1 = = （1 秒内的位移） s at 6m 2 1 2 2 = 2 = s at 3 3 13.5m 2 1 2 1 2 2 3 = 3 = = （3 秒内的位移） 3 秒末速率 at 3 3 m/s 3 = 3 = = 第 1 秒内所做功为 45 1.5 67.5( ) 1 1 A = Fs = = J 第 3 秒内所做功为 A F(s s ) 45 (13.5 6) 337.5(J ) 3 = 3 − 2 = − = 3 秒末的功率 P = F = 459 = 405W 2.10 一质量为的小石块从点自静止开始下滑，到达点时速率为，再沿滑行后停止。已知滑 行轨道是圆周的 1/4，圆周半径为， 为水平面(如图 2.20 所示)。试求： (1) 在 AB 段，摩擦力所作的功； (2) 水平轨道 BC 与石块间的摩擦系数。 解：已知， m = 20.0g = 0.02k g, b = 3m/s Bc = 3m, R =1.0m （1）从 A 到 B 机械能的减少量为 mgh m . ( . ) . (J ) B 3 0 106 2 1 0 02 9 8 1 2 1 W 2 2 = − = − = 此即摩檫力在 AB 段所做的功。 （2）在 BC 段，摩檫力对物体做负功，其量值等于小石块在 B 点的功能，则摩檫力 N Bc m f B 0.03 3 0.02 3 2 1 2 1 2 2 = = = 摩察系数 0 15 0 02 9 8 0 03 . . . . = = = mg f Bc 2.11 一质量为 2 10 kg −3 的子弹，在枪筒中前进时所受到的合力为 F 9 8000 F = 400 − x, ， 以 N 为单位，x 以 m 为单位。子弹出枪口速度为 1 300m s − 。试计算枪筒的长度。 解：设枪筒的长度为 L，则子弹飞出枪口时合外力所做的功为 = = − = − L L A Fdx x dx L L 0 0 2 9 4000 ) 400 9 8000 (400 据功能原理得 2 2 1 A = m
即400L 40002=1×2×10×3002=90 整理得:4002-360L+81=0 解之得L=045m,即枪筒的长度为045m 212用50米/秒的初速度竖直向上抛出一物体 (1)在什么高度它的动能和势能相等? (2)在什么高度势能等于动能的一半? (3)在什么高度动能等于势能的一半? 解(1)E0=mU2=×m×502=1250m 若动能等于势能,据机械能守恒便得 1250m E=Ek=Eo 625m= mgh 62 由此得h1= 62.5(m) 10 (2)若势能等于动能的一半,则由机械能守恒便得 ngh,=Eo h2=20=1230m=41.7m) 3mx (3)若动能等于势能的一半,据机械能守恒得 E,=mgh, =Eo =2E=2×1250m 3m83m×10=83.3(m) 213一个质量为m的物体,从一光滑斜面上自高h由静止滑下,冲入一静止的装着砂子的 小车,问小车将以多大速度运动?小车和砂子的总质量为M,不计小车与地面的摩擦 解:先由机械能守恒得mgh=mU2 由此得物体冲入装着砂子的小车前瞬间的速度U=√2gh 再用动量守恒得mU=(m+M)U 从而得小车运动速度υ=M+mM+m 2.14质量为m的小物体可沿翻圈装置无摩擦地滑行,如图2.21所示,该物体从A点由静止 开始运动,A点比圈底高H=3R (1)当物体到达该翻圈的水平直径的末端B B C 图221习题214用图
3 即 2 10 300 90 2 1 9 4000 400 2 3 2 − = = − L L 整理得： 400 360 81 0 2 L − L + = 解之得 L = 0.45m，即枪筒的长度为 0.45m 2.12 用 50 米／秒的初速度竖直向上抛出一物体。 (1) 在什么高度它的动能和势能相等？ (2) 在什么高度势能等于动能的一半？ (3) 在什么高度动能等于势能的一半？ 解（1） E m m 50 1250m 2 1 2 1 2 2 0 = 0 = = 若动能等于势能，据机械能守恒便得 0 625 h1 2 1250 2 1 m mg m Ep = Ek = E = = = 由此得 62.5( ) 10 625 625 1 m mg m h = = = （2）若势能等于动能的一半，则由机械能守恒便得 2 0 3 1 E p = mgh = E 41.7( ) 3 10 1250 3 0 2 m m m mg E h = = = （3）若动能等于势能的一半，据机械能守恒得 3 0 3 2 E p = mgh = E 83.3( ) 3 10 2 1250 3 2 0 3 m m m mg E h = = = 2.13 一个质量为 m 的物体，从一光滑斜面上自高 h 由静止滑下，冲入一静止的装着砂子的 小车，问小车将以多大速度运动?小车和砂子的总质量为 M，不计小车与地面的摩擦。 解：先由机械能守恒得 2 0 2 1 mgh = m 由此得物体冲入装着砂子的小车前瞬间的速度 0 = 2gh 再用动量守恒得 m0 = (m + M ) 从而得小车运动速度 gh M m m M m m 0 2 + = + = 2.14 质量为 m 的小物体可沿翻圈装置无摩擦地滑行，如图 2.21 所示，该物体从 A 点由静止 开始运动，A 点比圈底高 H=3R。 (1) 当物体到达该翻圈的水平直径的末端 B
点时,求其切向加速度和法向加速度以及对轨道的正压力 (2)求该物体在任一位置时对轨道的正压力,此位置用图中所示的θ角表示。在所得的结果中, 令θ=3π/2,对B点的正压力进行验算。 (3)为什么使物体完成翻圈运动,要求H有足够的值 解已知m,H=3R (1)据能量守恒得mg3R=mU2+mgR 由此得U=√4Rg 则法向加速度anR 向心力F心=man=4mg,它是靠轨道对物体的压力来提供的,据牛顿第三定律便知物体对 轨道的压力大小为4mg,方向向左。 物体在B点的切向加速度a2=RB dodo de do 而β= dt de dt de 为此先确定在任一点(极角为θ)速率随O的变化关系,同时据能量守恒得 rMg +mg(r-rcose) 由此得U=√4k+2 Rg cos6,O=UR=128(2+cos0) do -1 r in e de 2 6) R de B点处,日=丌,则B= g RB=g (2)在任一位置(用O标记),由(1)已得U=√2Rg(2+cos) 则向心力F=mR=R2kg(2+o0)=2mg(2+0s) 向心力由轨道对物体的压力(f)及物体重力的分力共同来充当,因此有 6=F 则∫= mg cose+2mg(2+cosb)=mg(4+3cos6)
4 点时，求其切向加速度和法向加速度以及对轨道的正压力； (2) 求该物体在任一位置时对轨道的正压力，此位置用图中所示的角表示。在所得的结果中， 令 = 3/ 2，对 B 点的正压力进行验算。 (3) 为什么使物体完成翻圈运动，要求 H 有足够的值 解已知 m，H=3R （1）据能量守恒得 mg R = m B + mgR 2 2 1 3 由此得 B = 4Rg 则法向加速度 g R a B n 4 2 = = 向心力 F心 = man = 4mg ，它是靠轨道对物体的压力来提供的，据牛顿第三定律便知物体对 轨道的压力大小为 4mg，方向向左。 物体在 B 点的切向加速度 a = R 而 = = = d d dt d d d dt d 为此先确定在任一点（极角为 ）速率随 的变化关系，同时据能量守恒得 ( cos ) 2 1 3 2 Rmg = m + mg R − R 由此得 = 4Rg + 2Rg cos ， (2 cos ) 2 = / = + R g R (2 cos ) 2 sin 2 2 1 + − = R g R g d d B 点处， 2 3 = ，则 R g d d = = = 2 3 a = R = g （2）在任一位置（用 标记），由（1）已得 = 2Rg(2 + cos) 则向心力 = ( + ) = ( + cos) = 2 2 cos 2 2 2 Rg mg R m R F心 m 向心力由轨道对物体的压力（f）及物体重力的分力共同来充当，因此有 f − mg cos = F心 则 f = mg cos + 2mg(2 + cos ) = mg(4 + 3cos )
物体对轨道的正压力大小等于∫,方向与轨道对物体的压力相反(牛三)指离圆心。 在 f∫=mg(4+0)=4mg与(1)中结果相同 (3)因为只有当H有足够的值,才能保证在圈顶时,物体具有一定的速度(动能),使得所 需向心力大于物体的重力,而不致使物体掉下来 215如图222所示,一质量为m=0.10kg的小球,系在绳的一端,放在倾角a=30°的光 滑斜面上,绳的另一端固定在斜面上的O点,绳长0.2m, 当小球在最低点A处,若在垂直于绳的方向给小球初速 度υ0(即υ与斜面的水平底边平行),使小球可以完成圆 周运动 (1)U0至少等于多大? M 图222习题215用图 (2)在最高点B处,小球的速度和加速度多大 (3)如何求出小球在任一位置C时绳子的张力TC?(小球位置用∠AOC=表示) (4)如将一根同样长度的细棒(不计重量)替代绳子,其它条件都仍如上述,υ。至少多大方能使小 球刚好完成圆周运动? 解:1)据机械能守恒得 mmu=-m+2 sin am 球在最高点不掉下来,应用TB+ mgsina (2) 而TB≥0则由(1),(2)可得U0的最小值为 U0=5 alsina=5×9.×0.2×=2.2m/ 2)由式(2)中TB=0得UB= alsina=198×0.2×=0.99m/s 法向加速度an=2=098 =49m/s2 10.2 由于B点处合力方向为竖直方向,在B点an=0a=an=0.99m/s2 3)在任一位置C,应用机械能守恒定律得 m =-mu +mgllsina-Icos sina 由此得 u2=02-2glsina(1-cos 0)=5glsin a-2glsina + 2glsin a cos0=alsina(3+2 0)
5 物体对轨道的正压力大小等于 f ，方向与轨道对物体的压力相反（牛三）指离圆心。 在 B 点， 2 = ， f = mg(4 + 0) = 4mg 与（1）中结果相同。 （3）因为只有当 H 有足够的值，才能保证在圈顶时，物体具有一定的速度（动能），使得所 需向心力大于物体的重力，而不致使物体掉下来。 2.15 如图 2.22 所示，一质量为 m = 0.10kg 的小球，系在绳的一端，放在倾角 o = 30 的光 滑斜面上，绳的另一端固定在斜面上的 O 点，绳长 0.2m， 当小球在最低点 A 处，若在垂直于绳的方向给小球初速 度 0 (即 0 与斜面的水平底边平行)，使小球可以完成圆 周运动。 (1) 0 至少等于多大? (2) 在最高点 B 处，小球的速度和加速度多大? (3) 如何求出小球在任一位置 C 时绳子的张力 TC ?(小球位置用 AOC = 表示) (4) 如将一根同样长度的细棒(不计重量)替代绳子，其它条件都仍如上述，0 至少多大方能使小 球刚好完成圆周运动？ 解：1）据机械能守恒得 m = mB + 2lsinmg 2 1 2 1 2 2 0 （1） 球在最高点不掉下来，应用 l T mg m B B 2 + sin = （2） 而 TB 0 则由（1），（2）可得 0 的最小值为 glsin . . 2.2m/s 2 1 0 = 5 = 59 8 0 2 = 2）由式（2）中 TB = 0 得 gl m s B sin . . 0.99 / 2 1 = = 9 80 2 = 法向加速度 2 2 4.9 / 0.2 0.98 m s l a B n = = = 由于 B 点处合力方向为竖直方向，在 B 点 a = 0 2 a a 0.99m /s = n = 3） 在任一位置 C，应用机械能守恒定律得 m = m + mglsin − l cossin 2 C 2 0 2 1 2 1 由此得 = − 2 sin(1− cos) = 5 sin − 2 sin + 2 sincos = sin(3 + 2cos) 2 0 2 C gl gl gl gl gl