第三章刚体和流体 3.1在描述刚体转动时,为什么一般都采用角量,而不采用质点力学中常采用的线量? 答:对于刚体,用角量描述方便可行,这是因为对刚体上的各点角量(△O,O,B)都相同, 若采用线量描述,由于刚体上各点线量(A,U,a)均不相同,这对其运动的描述带来麻烦,甚 至不可行。 3.2当刚体绕定轴转动时,如果角速度很大,是否作用在它上面的合外力一定很大?是否作 用在它上面的合外力矩一定很大?当合外力矩增加时,角速度和角加速度怎样变化?当合外力矩减 小时,角速度和角加速度又怎样变化? 答:(1)当刚体绕定轴转动时,如果角速度很大,作用在它上面的合外力不一定很大(它们 没有必然联系);(2)当合外力矩增加时,角加速度增大,若角加速度方向与角速度方向相同时, 角速度也增大,反之,角速度减小。(3)当合外力矩减小时,角加速度减小,但角速度同(2)中 情况。 33有人把握着哑铃的两手伸开,坐在以一定角速度转动着的(摩擦不计)凳子上,如果此人 把手缩回,使转动惯量减为原来的一半。(1)角速度增加多少?(2)转动动能会发生改变吗? 答:(1)角速度增加一倍(据角动量守恒Jω=常量) (2)由EA=Jo2知,转动动能增加一倍。 34什么是流体?流体为什么会流动? 答:具有流动性的物体叫流体。 流体之所以会流动是由于构成流体的分子间的作用很小,可以忽略,使得流体中 的各分子可以自由运动。 3.5连续性原理和伯努利方程成立的条件是什么?在推导过程中何处用过? 答:连续性方程成立的条件是理想流体作稳定流动(其核心是不可压缩性 sUΔ=S2U2M)。伯努利方程成立的条件是:理想流体,稳定流体,同一流线。在推 导中按理想稳定流体对待(未考虑粘滞力,考虑不可压缩性流线上的速度不随时间改 3.6为什么从消防栓里向天空打出来的水柱,其截面积随高度增加而变大?用水 壶向水瓶中灌水时,水柱的截面积却愈来愈小? 答:从救火筒理向天空打出来的水柱,其截面随高度增加而变大,是由于从高度 的增加,水流的速度变小,由连续性方程就决定了液面截面积要增加。同理,用水壶 向水瓶中灌水时,水柱的截面积愈来愈小(由于速度增大)。 3.7两船同向并进时,会彼此越驶越靠拢甚至导致船体相撞这是为什么? 答:这是由于在两船间,水流的截面变小,流速增大,从而据伯努利方程知压强
1 第三章 刚体和流体 3.1 在描述刚体转动时，为什么一般都采用角量，而不采用质点力学中常采用的线量? 答：对于刚体，用角量描述方便可行，这是因为对刚体上的各点角量（ ,, ）都相同， 若采用线量描述，由于刚体上各点线量（ r a ,, ）均不相同，这对其运动的描述带来麻烦，甚 至不可行。 3.2 当刚体绕定轴转动时，如果角速度很大，是否作用在它上面的合外力一定很大?是否作 用在它上面的合外力矩一定很大?当合外力矩增加时，角速度和角加速度怎样变化?当合外力矩减 小时，角速度和角加速度又怎样变化? 答：（1）当刚体绕定轴转动时，如果角速度很大，作用在它上面的合外力不一定很大（它们 没有必然联系）；（2）当合外力矩增加时，角加速度增大，若角加速度方向与角速度方向相同时， 角速度也增大，反之，角速度减小。（3）当合外力矩减小时，角加速度减小，但角速度同（2）中 情况。 3.3 有人把握着哑铃的两手伸开，坐在以一定角速度转动着的(摩擦不计)凳子上，如果此人 把手缩回，使转动惯量减为原来的一半。(1)角速度增加多少?(2)转动动能会发生改变吗? 答：（1）角速度增加一倍（据角动量守恒 J = 常量） （2）由 2 2 1 Ek = J 知，转动动能增加一倍。 3.4 什么是流体?流体为什么会流动? 答：具有流动性的物体叫流体。 流体之所以会流动是由于构成流体的分子间的作用很小，可以忽略，使得流体中 的各分子可以自由运动。 3.5 连续性原理和伯努利方程成立的条件是什么?在推导过程中何处用过? 答：连续性方程成立的条件是理想流体作稳定流动（其核心是不可压缩性 s t = s t 11 22 ）。伯努利方程成立的条件是：理想流体，稳定流体，同一流线。在推 导中按理想稳定流体对待（未考虑粘滞力，考虑不可压缩性流线上的速度不随时间改 变）。 3.6 为什么从消防栓里向天空打出来的水柱,其截面积随高度增加而变大?用水 壶向水瓶中灌水时,水柱的截面积却愈来愈小? 答：从救火筒理向天空打出来的水柱，其截面随高度增加而变大，是由于从高度 的增加，水流的速度变小，由连续性方程就决定了液面截面积要增加。同理，用水壶 向水瓶中灌水时，水柱的截面积愈来愈小（由于速度增大）。 3.7 两船同向并进时,会彼此越驶越靠拢,甚至导致船体相撞,这是为什么? 答：这是由于在两船间，水流的截面变小，流速增大，从而据伯努利方程知压强
减小,而两船之外的压强几乎不变,这压强差的存在就可使两船彼此靠近,且这种现 象会继续下去。若不及时改变船向,必将发生船体相撞, 3.8转速为2940转/分的砂轮,制动后于2分20秒内停止转动。求:(1)砂轮的平均角加速 度:(2)在制动过程中砂轮转过的转数 解:已知O。=2940× 307.9rad/sO.=0,t=2×60+20=140s O-00-307.9 (1)β= 2.2rad/s 140 (2)0=001+Bt2=3079×140-×22×1402=21546ad=3429(转) 39一飞轮以n=1500转/分的转速转动,受到制动后均匀地减速,经t=508后静止。(1) 求角加速度和制动后25s时飞轮的角速度:(2)从制动到停止转动,飞轮共转了多少转?(3)若飞轮 半径为r=0.5m,求t=25s时,飞轮边缘上一点的速度和加速度。 解:已知O。=1500×=157.lrud/s,o,=0,t=50 0-157.1 =-3.14rad/s2 当t1=25s时1=00+阝1=1571-3.14×25=78.6ad/s (2)0=01+Bt2=157150--×3.14x502=3930md=625转 (3)U=rO1=0.5×786=393m/s,U2=rB=-0.5×3.14=-1.57m/s2 ro2=0.5×7862=3089m/ 3.10一砂轮的直径为20厘米,厚为b=25厘米,砂轮的密度为p=24克/厘米3。求 (1)砂轮的转动惯量:(2)当转速为2940转/分时,砂轮的转动动能(砂轮可当作实心圆盘) 解:已知P、20 →、y=10cm=01m,b=2.5cm=25×102m, =24g/cm3=24×103kg/m3 J=时=2mb=2x oR b 2 3.14×24×103×0.14×2.5×10 -=942×10-kg
2 减小，而两船之外的压强几乎不变，这压强差的存在就可使两船彼此靠近，且这种现 象会继续下去。若不及时改变船向，必将发生船体相撞。 * * * * * * 3.8 转速为 2940 转／分的砂轮，制动后于 2 分 20 秒内停止转动。求：(1)砂轮的平均角加速 度；(2)在制动过程中砂轮转过的转数。 解：已知 307.9rad /s 60 2 0 = 2940 = t = 0 ， t = 260+ 20 =140s （1） 0 2 2 2 140 307 9 rad s t . / . = − − = − = （2） 2 2 140 21546 3429 2 1 307 9 140 2 1 2 2 = 0 t + t = . − . = rad = （转） 3.9 一飞轮以 n =1500转/分 的转速转动，受到制动后均匀地减速，经 t = 50s 后静止。(1) 求角加速度和制动后 25s 时飞轮的角速度；(2)从制动到停止转动，飞轮共转了多少转?(3)若飞轮 半径为 r = 0.5m，求 t = 25s 时，飞轮边缘上一点的速度和加速度。 解：已知 157.1rad /s 60 2 0 = 1500 = ，t = 0 ，t = 50s （1） 0 2 3 14 50 0 157 1 rad s t t . / . = − − = − = 当 t 25s 1 = 时 t 157.1 3.14 25 78.6rad /s 1 = 0 + 1 = − = （2） 3 14 50 3930 625 2 1 157 1 50 2 1 2 2 = 0 t + t = . − . = rad = 转 （3） r 0.5 78.6 39.3m/s = 1 = = ， 2 2 = r = −0.53.14 = −1.57m/s 2 2 2 1 2 r 0.5 78.6 3089m/s r an = = = = 3.10 一砂轮的直径为 20 厘米，厚为 b = 2.5 厘米，砂轮的密度为ρ= 2.4 克／厘米 3。求： (1)砂轮的转动惯量；(2)当转速为 2940 转／分 时，砂轮的转动动能(砂轮可当作实心圆盘)。 解：已知 R 10cm 0.1m 2 20 = = = ，b cm m 2 2.5 2.5 10− = = ， 3 3 3 = 2.4g / cm = 2.410 kg / m （1） = = = = = R R R b J r dm r d r rdrb b 0 4 4 2 2 2 4 2 V 2 2 3 2 3 4 2 9 42 10 2 3 14 2 4 10 0 1 2 5 10 = k g m = − − . . . .
(2)E ×942×107×(2940× =446.J 3.1一块均匀的长方形薄板,边长为a、b,中心O取为原点,坐标为OXYZ,如图3.34所 示,设薄板的质量为M,则薄板对OX轴、OY轴和Oz轴的转动惯量分别为J分Ab2, Jy=,M2,Jaz=M(a2+b2),证明此结论,并给出Jm,Jm,/m之间的关系 证明:设单位面积薄板的质量σ= gab M6 同理可得J=x如=x2o=1212 图334题311图 Joz=]/dm=(x'+y2)dm=Jo +Joy = M(a2+b2 关系为:Jz=Jm+J0正交轴定理 3.12一圆盘半径为R,装在桌子边缘上,可绕一水平中心轴转动。圆盘上绕着细线,细线 的一端系一个质量为m的重物,m距地面为h,从静止开始下落到地面,需时间为t,如图3.35 所示,用此实验来测定圆盘的转动惯量,测得当m=m时,t=1;m=m2时t=t2,证明 )g-2h( 2h( 在实验过程中,假定摩擦力不变,绳子质量可忽略不计,绳子长度不变。 解:设绳中弹力为T, 对m有:mg-T=ma (1) 对于圆盘有:TR=B (2) 由于绳子长度不变,a=RB(3) (1),(2)、(3)联立解得 J+mp2 mIg (4) 图335题312图 h
3 （2） E J J k ) 446 60 2 9.42 10 (2940 2 1 2 1 2 3 2 = = = − 3.11 一块均匀的长方形薄板，边长为 a、b，中心 O 取为原点，坐标为 OXYZ，如图 3.34 所 示，设薄板的质量为 M，则薄板对 OX 轴、 OY 轴和 OZ 轴的转动惯量分别为 2 0 12 1 J x = Mb ， 2 0 12 1 J y = Ma ， ( ) 2 2 0 2 1 J Z = M a + b ， 证明此结论，并给出 ox oy oz J , J , J 之间的关系。 证明：设单位面积薄板的质量 ab M = − = = = = 2 2 2 3 2 2 0 12 1 12 b x b Mb ab J y dm y ady 同理可得 − = = = 2 2 2 2 2 0 12 1 b J y x dm b x bdx Ma = = + = + = ( + ) 2 1 ( ) 2 2 0 0 2 2 2 J 0Z r dm x y dm J x J y M a b 关系为： Z x y J J J 0 = 0 + 0 正交轴定理 3.12 一圆盘半径为 R，装在桌子边缘上，可绕一水平中心轴转动。圆盘上绕着细线，细线 的一端系一个质量为 m 的重物， m 距地面为 h，从静止开始下落到地面，需时间为 t ，如图 3.35 所示，用此实验来测定圆盘的转动惯量，测得当 m = m1 时， 1 t = t ； m = m2 时 2 t = t ， 证明： ) 1 1 2 ( ( ) 2 ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 t t h R t m t m m m g h J − − − − = 在实验过程中，假定摩擦力不变，绳子质量可忽略不计，绳子长度不变。 解：设绳中弹力为 T， 对 m 有： mg −T = ma （1） 对于圆盘有： TR = J （2） 由于绳子长度不变， a = R （3） （1），（2）、（3）联立解得 mg J mR R a 2 2 + = （4） 由 2 2 1 h = at 得： 2 2 t h a = 图 3.34 题 3.11 图 图 3.35 题 3.12 图
Rmg 当m=m时有R2mg=2(J+mR2) (6) 当m=m2时有:R2m2g=2(J+m2R2) (7) 由(6)式减(7)整理得 (m1-m2)g-2h" J 313如图3.36所示,有质量为m1和m2的两物体,分别悬挂在两个不同半径的组合轮上, 求物体的加速度与绳之张力。两轮的转动惯量分别为J与J2,半径为r与R,轮与轴承间摩擦不 计。(m2>m1) 解:设悬挂m1和m2的绳中张力分别为71和72 对m1有:71-m1g=m1a1 (1) 对m2有:m2g-72=m2a2 (2) T2R-T=(1+J2)B (3) 图3.36题313图 (1)-(5)联立解之得 (m2 J,+J2+m,R+m,r ++m+m2R2=,(m2R-m)R J,+J+m,r+m R T=m(g+a)_J1+2+m,R(R+r) J1+y tm im p2, T2=m, (g-a)-J1+J2+m,(R+r) J1+J2+m r-+m,R 314一匀质圆盘,半径为R=0.20m,质量为M=2.50kg,可绕中心轴转动,如图337 所示,在圆盘的边缘上绕一轻绳,绳的一端挂一质量m=0.50kg的砝码。试求: (1)计算绳的张力和圆盘的角加速度;
4 ( ) 2 2 2 2 J mR t h R mg = + （5） 当 m = m1 时有 ( ) 2 2 2 1 1 1 2 J m R t h R m g = + （6） 当 m = m2 时有： ( ) 2 2 2 2 2 2 2 J m R t h R m g = + （7） 由（6）式减（7）整理得 ) 1 1 2 ( ( ) 2 ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 t t h R t m t m m m g h J − − − − = 3.13 如图 3.36 所示，有质量为 m1和m2 的两物体，分别悬挂在两个不同半径的组合轮上， 求物体的加速度与绳之张力。两轮的转动惯量分别为 1 2 J 与J ，半径为 r 与 R，轮与轴承间摩擦不 计。（ m2 m1 ） 解：设悬挂 m1 和 m2 的绳中张力分别为 T1 和 T2 对 m1 有： T1 − m1g = m1a1 （1） 对 m2 有： m2 g −T2 = m2a2 （2） T2R −T1 r = (J1 + J 2 ) （3） a1 = r （4） a2 = R (5) (1)----(5)联立解之得 2 1 2 1 2 2 2 1 ( ) J J m R m r m R m r g + + + − = ， 2 2 2 1 2 1 2 1 1 ( ) J J m r m R m R m r gr a + + + − = ， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) J J m r m R m R m r gR a + + + − = 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) J J m r m R J J m R R r T m g a + + + + + + = + = ， 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 J J m r m R J J m r R r T m g a + + + + + + = − = ( ) ( ) 3.14 一匀质圆盘，半径为 R = 0.20m，质量为 M = 2.50kg ，可绕中心轴转动，如图 3.37 所示，在圆盘的边缘上绕一轻绳，绳的一端挂一质量 m = 0.50kg 的砝码。试求： （1）计算绳的张力和圆盘的角加速度； 图 3.36 题 3.13 图
(2)作用在圆盘上的力矩在20s内所作的功以及圆盘所增加的动能。 解:mg-T=ma(1) TR=JB RB 联立解得: R J+mR J+mR2"8(4) 图337题314图 而J=「r2dm=「or22rrbh= R MR 2 MR ×2.5 mg= 0.5×98=3.5N J+mr MR-+mR 2.5+0.5 0.5×98 brad MR+mR-×2.5×0.2+0.5×0.2 2 (2)作用在圆盘上的力矩在20s内所作的功 A=MO=TR=TR·Bt2=×3.5×0.2×14×22=19.6J 圆盘所增加的功能等于作用在盘上的力矩所作的功 3.15如图3.38所示,在质量为M,半径为R可绕一水平光滑轴OO转动的匀质圆柱形鼓轮 上绕有细绳,绳的一端挂有质量为m的物体,m从高h处由静止下降。设绳子不在鼓轮上滑动 绳子长度不变,绳的质量可略去不计。试求:(1)m下降的加速度a;(2)绳的张力T:(3) 达到地面时的速度U:(4)m达到地面所需的时间t 解:J=-MR (1) 对m:mg-T=ma(2) 对盘:TR=JB(3) (4) 联立(1)--(4)解得 M 图3.38题3.15图 (1) g M+m 1+2m
5 （2）作用在圆盘上的力矩在 2.0s 内所作的功以及圆盘所增加的动能。 解： mg −T = ma （1） TR = J （2） a = R 联立解得： 2 J mR mgR + = （3） mg J mR J T 2 + = （4） 而 = = = = R R MR R M J r dm r rdr 0 4 2 2 2 2 2 1 4 1 2 2 (1) mg N MR mR MR mg J mR J T 0.5 9.8 3.5 2.5 0.5 2 1 2.5 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 = + = + = + = 2 14 / 2.5 0.2 0.5 0.2 2 1 0.5 9.8 2 1 rad s MR mR mg = + = + = (2) 作用在圆盘上的力矩在 2.0s 内所作的功 A M TR TR t 3 5 0 2 14 2 19 6J 2 1 2 1 2 2 = = = = . . = . 圆盘所增加的功能等于作用在盘上的力矩所作的功。 3.15 如图 3.38 所示，在质量为 M，半径为 R 可绕一水平光滑轴 OO'转动的匀质圆柱形鼓轮 上绕有细绳，绳的一端挂有质量为 m 的物体， m 从高 h 处由静止下降。设绳子不在鼓轮上滑动， 绳子长度不变，绳的质量可略去不计。试求：（1）m 下降的加速度 a ；（2）绳的张力 T ；（3）m 达到地面时的速度；（4）m 达到地面所需的时间 t。 解： 2 2 1 J = MR （1） 对 m： mg −T = ma （2） 对盘： TR = J （3） a = R （4） 联立（1）---（4）解得： （1） g M m m g M m M a 2 2 2 1 + = + = 图 3.37 题 3.14 图 图 3.38 题 3.15 图