第五章稳恒磁场 5.1在定义磁感应强度B的方向时,为什么不将运动电荷受力的方向规定为磁感 应强度B的方向? 答:由于运动电荷在磁场中的受力方向与电荷运动方向有关,则不能用来描述磁 场的性质,故不能规定该方向为磁感应强度的方向 5.2一无限长载流导线所载电流为I,当它形成如图5.27所示的三种形状时, 则Bp,B,B之间的关系为 (1)Bp>Bo>Bo: (2)B >B>B B。>B (4)B2>BO≥Bp 解:B Bo (1+-) 图5.27题5.2图 B (1+ Bo>Ba>Bp,故选(4)。 5.3在同一根磁感应线上的各点,磁感应强度B的大小是否处处相同 答:同一磁感应线上的各点,磁感应强度B的大小不一定处处相等。 54磁场的高斯定理B·=0表示的重要性质是什么? 答:千B·=0表示的重要性质是磁场是无源场,磁感应线是无头无尾的闭合线 5.5如图5.28所示,两导线中的电流l1,2均为5A,对图中所示的三条闭合曲 线a,b,c分别写出安培环路定理式等号右边电流的代数和,并说明: (1)在各条闭合曲线上,各点的磁感应强度B的大小是否相等? 2)在闭合曲线c上各点的磁感应强度B是否为零?为什么? 答:电流代数和依次为l2,-1,l2-l1 (1)不相等。 (2)不为零,这是因为与曲线C环绕的电流代数和 图528题5.5图
1 第五章 稳恒磁场 5.1 在定义磁感应强度 B 的方向时，为什么不将运动电荷受力的方向规定为磁感 应强度 B 的方向？ 答：由于运动电荷在磁场中的受力方向与电荷运动方向有关，则不能用来描述磁 场的性质，故不能规定该方向为磁感应强度的方向。 5.2 一无限长载流导线所载电流为 I，当它形成如图 5.27 所示的三种形状时， 则 BP BQ Bo , , 之间的关系为 (1) BP BQ Bo ； (2) BQ BP Bo ； (3) BQ Bo BP ； (4) Bo BQ BP。 解： a I BP = 2 0 ( ) 2 2 1 2 0 + = a I BQ ( ) 2 1 2 0 0 + = a I B B0 BQ BP ，故选（4）。 5.3 在同一根磁感应线上的各点，磁感应强度 B 的大小是否处处相同？ 答：同一磁感应线上的各点，磁感应强度 B 的大小不一定处处相等。 5.4 磁场的高斯定理 B ds = 0 表示的重要性质是什么？ 答： B ds = 0 表示的重要性质是磁场是无源场，磁感应线是无头无尾的闭合线。 5.5 如图 5.28 所示 ，两导线中的电流 1 2 I ,I 均为 5A，对图中所示的三条闭合曲 线 a，b，c 分别写出安培环路定理式等号右边电流的代数和，并说明： (1) 在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度 B 的大小是否相等？ (2) 在闭合曲线 c 上各点的磁感应强度 B 是否为零？为什么？ 答：电流代数和依次为 2 1 2 1 I ,−I ,I − I （1）不相等。 （2）不为零，这是因为与曲线 C 环绕的电流代数和 I I I P I Q O a a a a a a 图 5.27 题 5.2 图 图 5.28 题 5.5 图
为零,只能给出B沿C的环量为零,C上各点的磁感应强度是所有电流在相应点产生 的,一般不为零。 5.6在安培定律的数学表示dF=M×B中,哪两个矢量始终是正交的?哪两个 矢量之间可以有任意角? 答:dF⊥M,dF⊥BM与B之间可以有任意的夹角。 5.7如图5.29在磁感应强度B为均匀的磁场中,与磁场方向共面的放置两个单匝 线圈,一个为圆形,另一个为三角形。两线圈的面积 相同,且电流的大小和方向也相同,则下述说法中正 B 确的是(M代表磁力矩,F代表磁力) (1)M1=M2,F1=F2;(2)M1=M2,F1≠F2; 图5.29题5.7图 (3)M1≠M2,F=F2;(4)M1≠M2,F≠F2 答:在均匀磁场中,任何闭合载流线圈整体都不受力,所以F=F2=0 由M=历×B而m=s对两线也都相同。∴M1=M2故选(1) 5.8在如图5.30所示的三种情况中,标出带正电粒子受到的磁力方向 答:(a)不受磁力 (b)垂直纸面向里。(c)垂直纸面向外 B 图5.30题58图 5.9一电子和一质子同时在匀强磁场中绕磁感应线作螺旋线运动,设初始时刻的 速度相同,则 的螺距大 的旋转频率大。 答:质子的螺距大;电子的旋转频率大。 5.10如图5.31所示,将一待测的半导体薄片置于 均匀磁场中。当B和I的方向如图时,测得霍尔电压为 正。问待测样品是n型半导体还是p型半导体(有两种图531题510图 半导体,一种是电子导电,称为n型半导体:另一种是 带正电的空穴导电,称为p型半导体)? 答:是n型半导体
2 为零，只能给出 B 沿 C 的环量为零，C 上各点的磁感应强度是所有电流在相应点产生 的，一般不为零。 5.6 在安培定律的数学表示 dF Idl B = 中，哪两个矢量始终是正交的？哪两个 矢量之间可以有任意角？ 答： dF Idl dF B ⊥ , ⊥ Idl 与 B 之间可以有任意的夹角。 5.7 如图 5.29 在磁感应强度 B 为均匀的磁场中，与磁场方向共面的放置两个单匝 线圈，一个为圆形，另一个为三角形。两线圈的面积 相同，且电流的大小和方向也相同，则下述说法中正 确的是(M 代表磁力矩，F 代表磁力) (1) M1 M2 F1 F2 = , = ；(2) M1 M2 F1 F2 = , ； (3) M1 M2 F1 F2 , = ；(4) M1 M2 F1 F2 , 。 答：在均匀磁场中，任何闭合载流线圈整体都不受力，所以 F1 = F2 = 0 由 M m B = 而 m sn = 对两线也都相同。 M1 M2 = 故选（1） 5.8 在如图 5.30 所示的三种情况中，标出带正电粒子受到的磁力方向： 答：（a）不受磁力。 （b）垂直纸面向里。 （c）垂直纸面向外。 5.9 一电子和一质子同时在匀强磁场中绕磁感应线作螺旋线运动，设初始时刻的 速度相同，则_______的螺距大；______的旋转频率大。 答：质子的螺距大；电子的旋转频率大。 5.10 如图 5.31 所示，将一待测的半导体薄片置于 均匀磁场中。当 B 和 I 的方向如图时，测得霍尔电压为 正。问待测样品是 n 型半导体还是 p 型半导体(有两种 半导体，一种是电子导电，称为 n 型半导体；另一种是 带正电的空穴导电，称为 p 型半导体)？ 答：是 n 型半导体。 （a） （b） （c） 图 5.30 题 5.8 图 B B B 图 5.29 题 5.7 图 图 5.31 题 5.10 图
5.11两种磁介质的磁化曲线a,c如图5.32所示(图中b线代表B=μ0H关系 曲线),则a线代表 的磁化曲线,c线代表 的磁化曲线。 答:a线代表顺磁质的磁化曲线,c线代表抗磁质的磁化曲B 线 5.12下列说法中,正确的是 (1)H的大小仅与传导电流有关 图532题511图 (2)不论在什么介质中,B总是与H同向的; (3)若闭合回路不包围电流,则回路上各点的H必定为零; (4)若闭合回路上各点的H为零,则回路包围的传导电流的代数和必定为零。 答:(4) 5.13为什么永久磁铁由高处掉到地上时磁性会减弱?为什么不能用电磁铁去吊 运赤红的钢碇? 答:这是由于铁磁质的磁畴结构,在髙温或强烈振荡下会被破坏。 * * 5.14如图5.33所示,两根导线沿半径方向引到铁环上的A、B两点,并在很远 处与电源相连.求环中心的磁感应强度。 解:两直导线部分在0点的磁感应强度都为零(0是其延长线),则0点的B是由 如图的电流和2产生的。电流l1在0点产生的磁场为: B1 4,(方向垂直纸面向内) 4 电流L在0点产生的磁场为 图5.3题514图 B2 (方向垂直纸面向外) 又因是均匀铁环,则有:2=R=4 即有l2l2=11 那么有:B1=B2 所以有:B0=B1+B2=0 图534题5.15图 5.15如图5.34所示,在半径R=1.0cm的“无限长”半圆柱形金属薄片中,有 电流Ⅰ=5.0A自下而上的通过,试求圆柱轴线上任一点P处的磁感应强度。 解:此问题可看成是在半圆柱面上分布的许多无限长载流直线的磁场的叠加。如
3 5.11 两种磁介质的磁化曲线 a，c 如图 5.32 所示(图中 b 线代表 B = 0H 关系 曲线)，则 a 线代表_______的磁化曲线，c 线代表_______的磁化曲线。 答：a 线代表顺磁质的磁化曲线，c 线代表抗磁质的磁化曲 线。 5.12 下列说法中，正确的是： (1) H 的大小仅与传导电流有关； (2) 不论在什么介质中，B 总是与 H 同向的； (3) 若闭合回路不包围电流，则回路上各点的 H 必定为零； (4) 若闭合回路上各点的 H 为零，则回路包围的传导电流的代数和必定为零。 答：（4） 5.13 为什么永久磁铁由高处掉到地上时磁性会减弱？为什么不能用电磁铁去吊 运赤红的钢碇？ 答：这是由于铁磁质的磁畴结构，在高温或强烈振荡下会被破坏。 * * * * * * * * 5.14 如图 5.33 所示，两根导线沿半径方向引到铁环上的 A、B 两点， 并在很远 处与电源相连．求环中心的磁感应强度。 解：两直导线部分在 O 点的磁感应强度都为零（O 是其延长线），则 O 点的 B 是由 如图的电流 1 I 和 2 I 产生的。电流 1 I 在 O 点产生的磁场为： 2 1 0 1 1 4 l r I B = （方向垂直纸面向内） 电流 2 I 在 O 点产生的磁场为： 2 2 0 2 2 4 l r I B = （方向垂直纸面向外） 又因是均匀铁环，则有： 2 1 2 1 1 2 l l R R I I = = 即有 2 2 1 1 I l = I l 那么有： B1 = B2 所以有： B0 = B1 + B2 = 0 5.15 如图 5.34 所示，在半径 R=1.0cm 的“无限长”半圆柱形金属薄片中，有 电流 I = 5.0A 自下而上的通过，试求圆柱轴线上任一点 P 处的磁感应强度。 解：此问题可看成是在半圆柱面上分布的许多无限长载流直线的磁场的叠加。如 图 5.32 题 5.11 图 图 5.34 题 5.15 图 图 5.33 题 5.14 图
图弧元d1对应的电流为:dl=-dl 它在轴线上(如图P点)产生的磁场为 其方向如图,据对称性分析知,总的磁感应强度只有X方向分量,则有: Hol-dlcos6=2/_Ho/ 0 2x R2 COS ORde=Ho/ Isin 013/2 =1=4×10x-5=6.37×10°T,方向沿水平向右 π2R3.14 1×10 5.16如图5.35所示,用一无限长的载流导线弯成直角,并与一圆形载流导线处 于同一平面内,已知1=5A,l2=10A,a=0.05m,R=002m,求圆线圈中心处的磁感应 强度。 解:0点的磁感应强度是电流l1和l2在0点产生磁感强度的矢量和,l1在0点的 磁感强度方向垂直于纸面向内,l2在0点的磁场方向垂直纸面向外,取向内为正,则 B=均0 (cos45-cos180)+ 4a(cos30-cos135°)=201(1+) B 2R B=B,+B2 2R 2×107×5 22×10-7×10 28×10-(7) 图535题516图 负号代表示磁场方向垂直纸面向外 5.17如图5.36所示,两线圈半径同为R,且平行共 轴放置,所载电流为I,并同方向,设两线圈圆心之间的 距离为a。 O PiRX (1)求轴线上距两圆心连线中点0为x远处的P点 的磁感应强度 (2)证明当a=R(这样的线圈称为亥姆霍兹线圈) 图5.36题5.17图
4 图弧元 dl 对应的电流为： dl R dl 1 = 它在轴线上（如图 P 点）产生的磁场为： dl R R I dB 2 0 = 其方向如图，据对称性分析知，总的磁感应强度只有 X 方向分量，则有： = = = = 2 0 2 2 0 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 / cos cos [sin ] R I Rd R I dl R I B dBx T R I 5 2 7 2 0 6 37 10 1 10 5 10 3 14 4 − − − = = = . . ，方向沿水平向右。 5.16 如图 5.35 所示，用一无限长的载流导线弯成直角，并与一圆形载流导线处 于同一平面内，已知 I 1 = 5A,I 2 =10A,a = 0.05m,R = 0.02m，求圆线圈中心处的磁感应 强度。 解：O 点的磁感应强度是电流 1 I 和 2 I 在 O 点产生磁感强度的矢量和， 1 I 在 O 点的 磁感强度方向垂直于纸面向内， 2 I 在 O 点的磁场方向垂直纸面向外，取向内为正，则 有 ) 2 2 (1 4 (cos 30 cos135 ) 4 (cos 45 cos180 ) 4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 = − + − = + a I a I a I B R I B 2 0 2 2 = − R I a I B B B 2 2 2 1 2 0 1 0 2 1 2 + − = + = ( ) . ( ) . ( ) . T 4 7 7 2 8 10 0 02 2 10 10 2 2 1 0 05 2 10 5 − − = − + − = 负号代表示磁场方向垂直纸面向外。 5.17 如图 5.36 所示，两线圈半径同为 R，且平行共 轴放置，所载电流为 I，并同方向，设两线圈圆心之间的 距离为 a。 (1) 求轴线上距两圆心连线中点O为 x 远处的 P 点 的磁感应强度； (2) 证明当 a = R (这样的线圈称为亥姆霍兹线圈) a a R 2 I 1 I 图 5.35 题 5.16 图 图 5.36 题 5.17 图 O1 O2 a R X R I I O P x
时,0点附近的磁场最均匀(B线与x轴平行)。 解:(1)圆电流在轴线上任一点P(距圆电流中心为x)的磁感应强度为 2(R2+x2) 方向沿轴与电流成右手螺旋关系。 利用场的叠加原理得本题距两圆电流中心连线中点0为x远处P点的磁感应强度 为 B= 2R29+)2R2+(-2个 μo 2+x)“+1R2+(-x)33 方向沿轴线向右 (2)当a=R时,并考虑在0点附近(x为小量),上结果可近似为(仅保留x的 一阶项) B- loIR +x+x)-312 +(1+2-x)3/2]= μ5 x++=x 2 2R424 4R 即当a=R时,0点附近的磁场最均匀 5.18半径为R的薄圆盘上均匀带电,总电荷为q,令此盘绕通过盘心且垂直 盘面的轴线匀速转动,角速度为ω。求轴线上距盘心x处的磁感应强度。 解:均匀带电薄圆盘绕轴以ω转动时,就形成在薄盘上的面电流分布。电流线是 绕盘轴的同心圆环,把圆环划分为宽度为dr的一系列环带,环带的电流为 πr 它在轴上距盘心为x处的磁场为: 3=o dB Ho go r 2 R(r+x) 方向沿轴向,那么所有这些环带电流在该点的磁场为: rsdr 2兀R2 22 5.19氢原子处在基态(正常状态)时它的电子可看作是在半径为 a=0.53×10-cm的轨道作匀速圆周运动,速率为22×10°cms,那么在轨道中心 的大小为 (A)8.5×10-6T;(B)13T;(C)8.5×10-T
5 时，O 点附近的磁场最均匀(B 线与 x 轴平行)。 解：（1）圆电流在轴线上任一点 P（距圆电流中心为 x）的磁感应强度为 2 2 3 / 2 2 0 2(R x ) IR B + = 方向沿轴与电流成右手螺旋关系。 利用场的叠加原理得本题距两圆电流中心连线中点 O 为 x 远处 P 点的磁感应强度 为： {[ ( ) ] [ ( ) ] } [ ( ) ] [ ( ) ] / / / / 2 2 3 2 2 2 3 2 2 0 2 2 3 2 2 0 2 2 3 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 − − + + + + − = + − + + + = x a x R a R IR x a R IR x a R IR B 方向沿轴线向右。 （2）当 a = R 时，并考虑在 O 点附近（x 为小量），上结果可近似为（仅保留 x 的 —阶项） R I x x R I R x x IR B 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 4 2 1 1 4 1 1 2 3 3 2 3 2 0 0 2 0 − + + + + + + − = = − − − [( ) ( ) ] [ ] / / 即当 a = R 时，O 点附近的磁场最均匀。 5.18 半径为 R 的薄圆盘上均匀带电，总电荷为 q ，令此盘绕通过盘心且垂直 盘面的轴线匀速转动，角速度为ω。求轴线上距盘心 x 处的磁感应强度。 解：均匀带电薄圆盘绕轴以ω转动时，就形成在薄盘上的面电流分布。电流线是 绕盘轴的同心圆环，把圆环划分为宽度为 dr 的一系列环带，环带的电流为： = 2 2 2 / R q dI rdr 它在轴上距盘心为 x 处的磁场为： 2 2 3/ 2 3 2 0 2 2 3/ 2 2 0 2 ( ) 2 (r x ) r dr R q r x r dI dB + = + = 方向沿轴向，那么所有这些环带电流在该点的磁场为： ] ( ) ( ) [ ( ) / / / + − + = + = R R R r x dr x r x dr R q r x r dr R q B 0 2 2 3 2 2 0 2 0 2 2 1 2 2 2 0 2 2 3 2 3 2 0 2 1 2 2 [ x] R x R x R q 2 2 2 2 2 2 2 2 0 − + + = 5.19 氢 原 子 处 在 基 态 ( 正 常 状 态 ) 时 它 的 电 子 可 看 作 是 在 半 径 为 0 53 10 cm −8 a = . 的轨道作匀速圆周运动，速率为 2 2 10 cm/s 8 . ，那么在轨道中心 B 的大小为 (A) 8 5 10 T −6 . ； (B) 13T ； (C) 8 5 10 T −4 .