第七章热力学基础 7.16一摩尔单原子理想气体从27°C开始加热至77C (1)容积保持不变;(2)压强保持不变 问这两过程中各吸收了多少热量?增加了多少内能?对外做了多少功?(摩尔热容 Crm=12. 46.morK, Cpm=20.78. morK) 解(1)是等体过程,对外做功A=0。Q=MU=Cm△T=1246×(77-27)=623J (2)是等压过程,吸收的热量Q=CmAT=20.78×(77-27)=1039 △U=CnAT=1246×(77-27)=623J A=Q-△U=1039-623=416J 7.17一系统由如图所示的a状态沿acb到达状态b,有334J热量传入系统,而系统做功 126J (1)若沿ab时系统做功42J,问有多少热量传入系统? (2)当系统由状态b沿曲线ba返回态a时,外界对系统做功84J, 试问系统是吸热还是放热?传递热量是多少? (3)若态d与态a内能之差为167J,试问沿ad及db各自吸收 的热量是多少? 7.17题示图 解:已知旦=334J.A=126J据热力学第一定律得内能 增量为MUb=gab-lat=334-126=208J (1)沿曲线adb过程,系统吸收的热量 Odh =AUoh Adb= 208+42=250J (2)沿曲线ba Q=△Ub+Aba=-△Uab+Ab=-208+(-84)=-292J,即系统放热292J 42 Qu=△Ua+Aa=167+42=209 Qb=△Ub+Ab=△Uab-△Ua=208-167=41J,即在db过程中吸热4J 7188g氧在温度为27C时体积为41×10-m3,试计算下列各情形中气体所做的功。 (1)气体绝热地膨胀到411×10-3m3 (2)气体等温地膨胀到41×10-3m3;再等容地冷却到温度等于绝热膨胀最后所达到的温
1 第七章 热力学基础 7.16 一摩尔单原子理想气体从 270C 开始加热至 770C （1）容积保持不变；（2）压强保持不变； 问这两过程中各吸收了多少热量？增加了多少内能？对外做了多少功？(摩尔热容 1 1 , 1 1 , 12.46 , 20.78 − − − − CV m = J mol K CP m = J mol K ) 解（１）是等体过程，对外做功 A＝０。Q U C T J = = V ,m =12.46(77 − 27) = 623 （２）是等压过程，吸收的热量 Q C T J = p,m = 20.78 (77 − 27) =1039 U C T J = V ,m =12.46 (77 − 27) = 623 A = Q − U =1039 − 623 = 416J 7.17 一系统由如图所示的 a 状态沿 acb 到达状态 b，有 334J 热量传入系统，而系统做功 126J。 （1）若沿 adb 时系统做功 42J，问有多少热量传入系统？ （2）当系统由状态 b 沿曲线 ba 返回态 a 时，外界对系统做功 84J， 试问系统是吸热还是放热？传递热量是多少？ （3）若态 d 与态 a 内能之差为 167J，试问沿 ad 及 db 各自吸收 的热量是多少？ 解：已知 Q J A J acb = 334 . acb =126 据热力学第一定律得内能 增量为 U Q A J ab = acb − acb = 334 −126 = 208 (1) 沿曲线 adb 过程，系统吸收的热量 Q U A J adb = ab + adb = 208 + 42 = 250 (2) 沿曲线 ba Q U A U A J ba = ba + ba = − ab + ba = −208 + (−84) = −292 , 即系统放热 292J (3) A A A J db = 0 ad = adb = 42 Q U A J ad = ad + ad =167 + 42 = 209 Q U A U U J db = db + db = ab − ad = 208−167 = 41 ，即在 db 过程中吸热 41J. 7.18 8g 氧在温度为 270C 时体积为 4 3 4.1 10 m − ，试计算下列各情形中气体所做的功。 （1）气体绝热地膨胀到 3 3 4.1 10 m − ； （2）气体等温地膨胀到 3 3 4.1 10 m − ；再等容地冷却到温度等于绝热膨胀最后所达到的温 a b d c V P o 7.17 题示图
度。已知氧的Crm=5Re 解:已知T=27+273=300K,V=41×10m3,M=8=8×10-kg 由理想气体状态方程p/R得 8 B=R0/10=×831 1.52×106P 4.1×10 (1)绝热膨胀到V1=41×103m3,由绝热过程方程P=PV得 P=B而y=C=R4C==14 则气体所做功 A=P-=.ra=P-y1=1 P0IY-vo) =1-14×15×0×(410)1k41×103)-(41×0)-1=938y (4≈1 RT(T-T) (2)等容过程不做功,气体等温膨胀后等容的冷却到 A2=」Pu=Plod=Poh2=152×10×41×10h4.1×103 41×10-=1435 7.19为了测定气体的γ值,有时用下面的方法,一定量的气体,初始温度、压强和体积分 别为T、Po和V,用通有电流的铂丝加热。设两次加热相等,第一次使体积V不变,而T、 Po分别变为T1、P1:第二次使压强Po不变,而T、V分别变至T2、V2,试证明 POVo 证明:Q=vC1m(1-Q2=vCm(72-7)由题知Q=Q 有Crm(T 则y=Cm=-又五=且(等体),2=2(等压) 2
2 度。已知氧的 CV m 2 R 5 , = 。 解：已知 T0 = 27 + 273 = 300K , 4 3 V0 4.1 10 m − = , M g kg 3 8 8 10− = = 由理想气体状态方程 RT M pV = 得 RT V Pa M P 6 0 0 0 4 1.52 10 4.1 10 300 8.31 32 8 / = = = − (1) 绝热膨胀到 3 3 1 V 4.1 10 m − = ， 由绝热过程方程 PV = P0V0 得 V P P V 1 = 0 0 而 1.4 , , , , = + = = V m V m m p m C R C C C 则气体所做功 − = = = − 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 V V V V V V V dV PV V A PdV PV ( ) 1 1 1 0 1 0 0 1 − − − − = P V V V 1.52 10 (4.1 10 ) (4.1 10 ) (4.1 10 ) 938J 1 1.4 1 6 4 1.4 3 0.4 4 0.4 − = − = − − − − − ( ( ) RT T2 T1 M A = − ) （2）等容过程不做功，气体等温膨胀后等容的冷却到 = = = = = − − − 2 0 2 0 1435 4.1 10 4.1 10 ln 1.52 10 4.1 10 ln 1 4 3 6 4 0 2 2 0 0 0 0 V V V V J V V dV PV V A PdV PV 7.19 为了测定气体的值，有时用下面的方法，一定量的气体，初始温度、压强和体积分 别为 T0、P0和 V0，用通有电流的铂丝加热。设两次加热相等，第一次使体积 V0 不变，而 T0、 P0 分别变为 T1、P1；第二次使压强 P0 不变，而 T0、V0 分别变至 T2、V2，试证明 2 0 0 1 0 0 ( ) ( ) V V P P P V − − = 证明： ( ), ( ) Q1 = CV ,m T1 −T0 Q2 = CP,m T2 −T0 由题知 Q1 = Q2 ( ) ( ) 有 CV,m T1 −T0 = CP,m T2 −T0 则 2 0 1 0 , , T T T T C C V m P m − − = = 又 2 1 2 1 P P T T = （等体）， 0 2 0 2 V V T T = （等压）
有y=(70-70A2270-70)= (P1-P (V2-10)P 720如图表示理想气体的某一过程曲线,当气体自态1过渡到态2时气体的P、T如何 随V变化?在此过程中气体的摩尔热容Cm怎样计算? 解:由图知,P=kV(k是常数,此过程也是n=-1的多方过程) 由理想气体状态方程可得 Py k T (1摩尔气体) RR c.a=Cn2m,U=c.am=Cc212题图 d4=Pd=kd由热力学第一定律得: Cnk2=CmD2d+kH由此得Cn=fm R 2/R (也可由公式Cn 721一用绝热壁做成的圆柱形容器,在容器中间放置一无摩擦的绝热可动活塞,活塞两 侧各有v摩尔理想气体,开始状态均为Po、V、To,今将一通电线圈放到活塞左侧气体中,对 气体缓慢加热,左侧气体膨胀,同时右侧气体被压缩,最后使右方气体的压强增加为-P 设气体的定容摩尔热容Cvm为常数,y=1.5。求 )对活塞右侧气体做了多少功:(2)右侧气体的终温是多少:(3)左侧气体的终温是 多少:(4)左侧气体吸收了多少热量 解:两边压强相等为P=P2=QB (1)右侧是一绝热压缩过程,满足P=PV 1 +1 由此得V=(0)V,d=-- P/Vop dp 对活塞右侧气体所做的功 =-fPa=," P dP=Pivol-PIA Yo-Po Po) PV )-7-1=P (2)由绝热过程方程TP=TPb得 3
3 2 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 ( ) ( ) ( )/( ) V V P P P V T T V V T T P P − − 有 = − − = 7.20 如图表示理想气体的某一过程曲线，当气体自态 1 过渡到态 2 时气体的 P、T 如何 随 V 变化？在此过程中气体的摩尔热容 Cm怎样计算？ 解：由图知，P=kV (k 是常数,此过程也是 n = −1 的多方过程) 由理想气体状态方程可得 2 V R k R PV T = = （1 摩尔气体） VdV R k dQm = Cm dT = Cm 2 ， VdV R k dU = CV ,m dT = CV ,m 2 dA = PdV = kVdV 由热力学第一定律得： VdV kVdV R k VdV C R k Cm 2 = V ,m 2 + 由此得 2 / 2 1 2 , , R C R C R C V m V m m = + + = (也可由公式 m CV m n n C , −1 − = ) 7.21 一用绝热壁做成的圆柱形容器，在容器中间放置一无摩擦的绝热可动活塞，活塞两 侧各有摩尔理想气体，开始状态均为 P0、V0、T0，今将一通电线圈放到活塞左侧气体中，对 气体缓慢加热，左侧气体膨胀，同时右侧气体被压缩，最后使右方气体的压强增加为 0 8 27 P 。 设气体的定容摩尔热容 Cv，m为常数，=1.5。求 （1）对活塞右侧气体做了多少功；（2）右侧气体的终温是多少；（3）左侧气体的终温是 多少；（4）左侧气体吸收了多少热量。 解：两边压强相等为 1 2 0 8 27 P = P = P （1）右侧是一绝热压缩过程，满足 PV = P0V0 由此得 0 1 0 ( ) V P P V = ， dV P V P dP 1) 1 ( 0 1 0 1 − + = − 对活塞右侧气体所做的功 − − − = − = = 2 0 2 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1/ 1 1 1 P P P P A PdV P V P dP P V P 0 0 1 1/ 0 0 1 1/ 0 1 1/ 0 1/ 0 0 ) 1 8 27 ( 1 1 ) 8 27 ( 1 1 V P P P PV = PV − − = − − = − − − （2）由绝热过程方程 − − = 1 0 0 1 T2 P2 T P 得 V P o 7.20 题示图 1 2
右侧气体的终温72=()70=(27)7=150 (3)由(1)中V=()15V得右侧终态体积为n2=a=/8) P2 则左侧终态体积H=+(n-V2)=20-V2=1o 由理想气体状态方程=%1得 Pk 714 21 70=8×g=470 4)由(1)知A=P0V0 AU=vCrm(t-To=v CraTo 由热力学第一定律得左侧气体所吸收的热量 Q=40+A≈17 vCm0+6h≈1 v CenTo+VRTo 4 CPm=v Cr, m=1.5Cv, m CPm-Crm =0.5Cem= r C=2R 19 0=V RTo+V RTo2 V RT 722如图所示的是一理想气体循环过程图,其中a→b和c→d 为绝热过程,b→C为等压过程,d→a为等容过程,已知Ta、Tb T和I及气体的热容比γ,求循环过程的效率 解:在该理想气体循环过程的ab和cd分过程是绝热过程,与外 界不交换热量,而在bc过程中放热Q2=vCPm(Tb-T) 722题示图 在d过程吸热=vCrm(-7a) 则此循环过程的效率为 4=9-92=1-9=1-Cem(b- 1-0 v Crmtta-ldTa-ld 723设有以理想气体为工质的热机,其循环如图所示,试证明其效率。 7=1-y 证明:在等体过程ab中,从外界吸收热量 7.23题示图
4 右侧气体的终温 0 0 (1 1.5)/1.5 0 (1 )/ 2 0 2 ) 1.5 27 8 ( ) T ( T T P P T = = = − − （3）由（1）中 0 0 1/1.5 ( ) V P P V = 得右侧终态体积为 0 0 1/1.5 0 1/ 2 0 2 9 4 27 8 V V V P P V = = = 则左侧终态体积 1 0 0 2 0 2 0 9 14 V = V + (V −V ) = 2V −V = V 由理想气体状态方程 1 1 1 0 0 0 T PV T PV = 得 0 0 0 0 0 1 1 1 4 21 9 14 8 27 T T T PV PV T = = = （4）由（1）知 A = P0V0 , 1 0 , 0 4 17 U = CV m (T −T ) = CV mT 由热力学第一定律得左侧气体所吸收的热量 , 0 0 0 , 0 0 4 17 4 17 Q = U + A = CV mT + P V = CV mT + RT CP,m CV ,m 5CV ,m = = 1. CP,m −CV ,m = 0.5CV ,m = R CV ,m = 2R 0 0 0 2 19 2 17 Q = RT + RT = RT 7.22 如图所示的是一理想气体循环过程图，其中 a →b和c → d 为绝热过程， b →c 为等压过程， d → a 为等容过程，已知 Ta、Tb、 Tc和 Td 及气体的热容比，求循环过程的效率。 解：在该理想气体循环过程的 ab 和 cd 分过程是绝热过程，与外 界不交换热量，而在 bc 过程中放热 ( ) Q2 = CP,m Tb −Tc 在 da 过程吸热 ( ) Q1 = CV ,m Ta −Td 则此循环过程的效率为 a d b c V m a d P m b c T T T T C T T C T T Q Q Q Q Q Q A − − = − − − = − = − − = = 1 ( ) ( ) 1 1 , , 1 2 1 1 2 1 7.23 设有以理想气体为工质的热机，其循环如图所示，试证明其效率。 − =1− −1 / 1 2 1 2 1 P P V V 证明：在等体过程 ab 中，从外界吸收热量 a b d c V P o 7.22 题示图 a b c V P o 7.23 题示图 绝热 P2 P1 V2 V1
Q=AU=vCrm(Tb -To)=Cym(PV2-P2v2) 在绝热过程b中与外界不交换热量。在等压过程ca中放出热量 0,=vCP.(T-T)=C I P2(1-12) 则效率 O2 P2 CPm (I-V2) P2(1-12=1-x1-D-1 O CrV2(P-P2) V2(1-P) 7.24理想气体做卡诺循环,设热源温度为100°C,冷却器温度为0C时,每一循环做净 功8kJ,今维持冷凝器温度不变,提高热源温度,使净功增为10kJ,若两个循环都工作于相 同的两条绝热线之间,求(1)此时热源温度应为多少?(2)这时效率为多少? 解:(1)在两个等温线间的绝热过程做功大小相等,故在卡诺循环过程中系统对外所做 的功等于两等温过程系统对外所做的功即: A=vRT, In-T,hn-3) 由绝热过程方程可得 vv A=1R(7-7)h2 由题知-7 T1-728 T1-72=xx(T1-72)=125K T1=T,+125=275+125=398K (2) 273=31.4 725从锅炉进入蒸汽机的蒸气温度1=210°C,冷却器温度l2=40°C,问消耗4.18k 的热以产生蒸气,可得到的最大功为多少? 解:在相同的高温热源的低温热源间的所有热机以卡诺热机的效率最大为 72 则A≤nQ=352%×418=147J。即得到的最大功为147kJ 7.26(1)在夏季为使室内保持凉爽,须将热量以2000J/s的散热率排至室外,此冷却 用致冷机完成,设室温为27C,室外为37C,求致冷机所需要的最小功率。 (2)冬天将上述致冷机用做热泵,使它从室外取热传至室内,而保持室内温度。设冬 5
5 ( ) 1 ( ) 1 , C , P1V2 P2V2 R Q = U = CV m Tb −Ta = V m − 在绝热过程 bc 中与外界不交换热量。在等压过程 ca 中放出热量 ( ) 1 ( ) 2 , , P2 V1 V2 R Q = CP m Tc −Ta = CP m − 则效率 1 ( 1)/( 1) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 , 2 1 2 2 , 1 2 1 2 = − − − − − = − − − = − = − P P V V V P P P V V C V P P R P C V V R Q Q V m P m 7.24 理想气体做卡诺循环，设热源温度为 1000C，冷却器温度为０0C 时，每一循环做净 功 8kJ，今维持冷凝器温度不变，提高热源温度，使净功增为 10kJ，若两个循环都工作于相 同的两条绝热线之间，求（１）此时热源温度应为多少？（２）这时效率为多少？ 解：（1）在两个等温线间的绝热过程做功大小相等，故在卡诺循环过程中系统对外所做 的功等于两等温过程系统对外所做的功即： ( ln ln ) 4 3 2 1 2 1 V V T V V A = R T − 由绝热过程方程可得 4 3 1 2 V V V V = 4 3 1 2 ( )ln V V A =R T −T 由题知 8 10 1 2 2 ' 1 = − − T T T T ( ) 125 8 10 2 1 2 ' T1 −T = T −T = K 2 125 275 125 398 ' T1 =T + = + = K （2） 31.4% 398 273 1 1 1 ' 1 2 ' 1 2 = − = − = − = T T Q Q 7.25 从锅炉进入蒸汽机的蒸气温度 t C 0 1 = 210 ，冷却器温度 t C 0 2 = 40 ，问消耗 4.18kJ 的热以产生蒸气，可得到的最大功为多少？ 解：在相同的高温热源的低温热源间的所有热机以卡诺热机的效率最大为 35.2% 483 313 1 1 1 2 = − = − = T T 则 A Q 35.2% 4.18 1.47kJ 1 = = 。即得到的最大功为 1.47kJ 7.26（１）在夏季为使室内保持凉爽，须将热量以 2000J /s 的散热率排至室外，此冷却 用致冷机完成，设室温为 270C，室外为 370C，求致冷机所需要的最小功率。 （２）冬天将上述致冷机用做热泵，使它从室外取热传至室内，而保持室内温度。设冬