非齐次线性方程组的解 1.非齐次线性方程组有解的条件 对非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵 A=(ax2a2…an)分块 则Ax=b变为xa1+x2a2+…+x.On=b 则有, Ax=b有解分>b可由A的列向量组线性表示 即 grank(1,a2…,an,b)=ramk(ax2a2…,ar)
( , , , ) , 1 2 分块 对非齐次线性方程组 的系数矩阵 A n Ax b = = ( , , , , ) ( , , , ) , , 1 2 n 1 2 n rank b rank Ax b b A = = 即 有解 可由 的列向量组线性表示 则有 1.非齐次线性方程组有解的条件 三．非齐次线性方程组的解 则Ax = b变为 x1 1 + x2 2 ++ xn n = b
定理31.5非齐次线性方程组Ax=b有解的 充分必要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵 B(A:b)的秩相等,即R(A)=R(A,b) 推论3.6若R(4)≠R(A,b),则Ax=b无解 推论3.17方程组Ax=b有惟一解的充要条件是 R(A)=R(A,b)=n(未知量的个数 推论3.1.8设A为m阶方阵则方程组Ax=b 有惟一解的充要条件是|A|≠0,且惟一解为 x=A b
( ) , ( ) ( , ). 3.1.5 B A b R A R A b A A x b = = 的秩相等 即 充分必要条件是它的系数矩阵 与增广矩阵 定理 非齐次线性方程组 有解的 推论3.1.6若R(A) R(A,b),则Ax = b无解. ( ) ( , ) ( ). 3.1.7 未知量的个数 推论 方程组 有惟一解的充要条件是 R A R A b n Ax b = = = x A b A A n Ax b 1 | | 0, 3.1.8 , − = = 有惟一解的充要条件是 且惟一解为 推论 设 为 阶方阵 则方程组
2非齐次线性方程组解的性质 (1)设x=m1及x=m2都是4x=b的解,则x=m 72为对应的齐次方程Ax=0的解 证明:Am=b,A72=b A(n1-n2)=b-b=0 即x=m1-m2满足方程4x=0
2.非齐次线性方程组解的性质 0 . (1) , 2 1 2 1 为对应的齐次方程 的 解 设 及 都 是 的 解 则 = = = = = − Ax x x Ax b x 证明 ( ) 0. A 1 −2 = b − b = 0. 即x = 1 −2满足方程Ax = A1 = b, A2 = b
(2)设x=m是方程Ax=b的解,x=是方程 Ax=0的解则x=+仍是方程Ax=b的解 证明4(2+m)=A+Am=0+b=b 所以x=+η是方程Ax=b的解 证毕
证明 A( +) = A + A = 0 + b = b, 所以x = + 是方程 Ax = b的解. 证毕． 0 , . (2) , 的 解 则 仍是方程 的 解 设 是方程 的 解 是方程 Ax x Ax b x Ax b x = = + = = = =
3非齐次线性方程组的解的结构定理: 定理3.111若非齐次线性方程组Ax=b有 解,则其通解为 x=k1E1+…+k n-ron-I + 其中k51+…+kn5m-为对应齐次线性方程 组的通解,为非齐次线性方程组的任意一个特 解
. 1 1 x = k ++ kn−r n−r + 其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解. k1 1 ++ kn−r n−r 3.非齐次线性方程组的解的结构定理: 定理3.1.11 若非齐次线性方程组Ax=b有 解,则其通解为