齐次方程组 对齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵 A=(ax,a2,…,an)分块,则Ax=0变为 xC1+x2O2+…+xncn=0 显然齐次方程组总有解x1=x =0 所以齐次方程组总是相容的 1下面讨论齐次方程组在什么条件下存在非零解?
1.下面讨论齐次方程组在什么条件下存在非零解? x1 = x2 == xn = 0 所以齐次方程组总是相容的. 显然齐次方程组总有解 0 ( , , , ) , 0 0 1 1 2 2 1 2 + + + = = = = n n n x x x A Ax Ax 分块 则 变为 对齐次线性方程组 的系数矩阵 二.齐次方程组
Ax=oeX,a,+x,a,++x,an=o 则齐次方程组有非零解的充要条件是: ai, a 线性相关 即R(A)=romk(ax,2a2,…,an)<n 定理311设A是mXm矩阵,则齐次线性方程组Ax=0 有非零解的充要条件是R(A)<n 推论3.1.2齐次线性方程组Ax=0只有零解的充要条件 是R(A)=n=A的列数 特别地当A为方阵时,Ax=0只有零解(有非零解) A≠(Ap圆
Ax = 0 x1 1 + x2 2 ++ xn n = 0 则齐次方程组有非零解的充要条件是: , , , . 1 2 n 线性相关 即R(A) = rank(1 ,2 , ,n ) n 定理3.1.1 设A是mn矩阵,则齐次线性方程组Ax=0 有非零解的充要条件是R(A)<n. 推论3.1.2 齐次线性方程组Ax=0只有零解的充要条件 是R(A)=n=A的列数. 特别地,当A为方阵时, Ax=0只有零解(有非零解) |A|0 (|A|=0)
2.齐次线性方程组解的性质 (1)若x=5,x=2为Ax=0的解,则 51+22 也是Ax=0的解 证明:A51=0,A52=0 A(1+2)=A51+A2=0 故x=51+2也是4x=0的解
２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 x = 1 ,x = 2 为 Ax = 0 的解，则 x = 1 + 2 也是 Ax = 0 的解. 证明 A( 1 + 2 ) = A 1 + A 2 = 0 A 1 = 0, A 2 = 0 故 x 也是Ax 0的解. = 1 + 2 =
(2)若x=1为Ax=0的解,k为实数,则 =k51也是Ax=0的解 证明Ak51)=k4(1)=k0=0 证毕 由以上两个性质可知,方程组的全体解向量 所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次线 性方程组Ax=0的解空间S
（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解． x = 1 Ax = 0 k x = k 1 Ax = 0 证明 A(k ) kA( ) k0 0. 1 = 1 = = 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax = 0 的解空间S． 证毕
因此若可求出S的一个基51252,…,, 则方程组AX=0的通解可以表示为 x=k1+k252+…+k 其中k,k2,…,k,为任意常数
因此,若可求出S的一个基 , , , , 1 2 t 则方程组AX=0的通解可以表示为 , 1 1 2 2 t t x = k + k ++ k , , , . 其中k1 k2 kt 为任意常数