第4章线性方程组 41齐次线性方程组
第4章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组
4.2齐次线性方程组解的结构
4.2 齐次线性方程组解的结构
若x 为41.1)的 解,则称 II 921 SnI 性质2若 为方程组(41.1)的解向量,也是(412)的解 齐次线性方程组的解具有以下两个重要性质 性质1若5是(412)的解,k为任意实数,则 k5也是(412)的解 性质2若552是(412)的解,则5+5也是 (412)的解
若 为(4.1.1)的一个 解，则称 为方程组(4.1.1)的解向量，也是(4.1.2)的解． 齐次线性方程组的解具有以下两个重要性质． 性质1 若 是(4.1.2)的解， 为任意实数，则 也是(4.1.2)的解． 性质2 若 是(4.1.2)的解，则 也是 (4.1.2)的解． 1 11 2 21 1 , , , n n x x x = = = 11 21 1 n1 = k k 性质2 若 1 2 , 是(4.1.2)的解，则 1 2 + 也是(4.1.2)的解．
若将齐次线性方程组41.1)的全体解向量所组 成的集合记做S,则性质1、2即为 (1)若∈S,k∈R,则k∈S; (2)若5∈S52∈S,则5+22∈S ■同时说明集合S对向量的线性运算是封闭的, 所以集合S是一个向量空间,称为齐次线性方 程组(41.1)的解空间 定义1方程组(411)的解空间S的一个基称为 (41.1)的一个基础解系 与定义1等价之定义为:齐次线性方程组(411) 的解集合S的一个极大线性无关组称为方程组
若将齐次线性方程组(4.1.1)的全体解向量所组 成的集合记做 ，则性质1、2即为 （1）若 ， ，则 ； （2）若 ，则 ． 同时说明集合 对向量的线性运算是封闭的， 所以集合 是一个向量空间，称为齐次线性方 程组(4.1.1)的解空间． 定义1 方程组(4.1.1)的解空间 的一个基称为 (4.1.1)的一个基础解系． 与定义1等价之定义为：齐次线性方程组(4.1.1) 的解集合 的一个极大线性无关组称为方程组 S S k R k S 1 2 S S , 1 2 + S S S S S
(41.1)的一个基础解系 定理2若齐次线性方程组(41.1)的系数矩阵的 秩小于未知数个数,即R(A)=r<n,则方程组 (411)必存在含有n-r个解向量552…,5n 的一个基础解系,且其通解(全部解)可表示为 x=k51+k252+…+kn5n(k k 15~25 k.∈R 7 n-1 其解空间S可表示为 S={x=k5+k2+…+kn5nk,k2,,kn∈R} 由此可见,方程组(41.1)有非零解兮R(A)<n 当R(A)=n时,(41.1)只有零解,此时解空间S 含一个零向量,为0维向量空间,没有基础解系
(4.1.1)的一个基础解系． 定理2 若齐次线性方程组(4.1.1)的系数矩阵的 秩小于未知数个数，即 ，则方程组 (4.1.1)必存在含有 个解向量 的一个基础解系，且其通解(全部解)可表示为 其解空间 可表示为 由此可见，方程组(4.1.1)有非零解 当 时，(4.1.1)只有零解，此时解空间 只 含一个零向量，为 维向量空间，没有基础解系 . R A r n ( ) = n r − 1 2 , , , n r − 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) n r n r n r x k k k k k k R = + + + − − − S 1 1 2 2 1 2 { , , , } n r n r n r S x k k k k k k R = = + + + − − − R A n ( ) ． R A n ( ) = S 0