容积卡尔曼滤波|CaiYuan-Li式中，U,=(seR"s's=1)（球面).α()为U,的面积单元。令S(r)= [f(rs)do(s)U.(13)式(12）可表示为I(f)= [s(r)r"-l exp(-r°)dr(14)该式称为径向积分。10/74
容积卡尔曼滤波 | Cai Yuan-Li 式中， { 1} n T U s ss n =∈ = （球面），σ ( ) 为 Un 的面积单元。 令 () ( ) () Un Sr r d = σ ∫ fs s (13) 式(12)可表示为 1 2 0 ( ) ( ) exp( ) n I S r r r dr ∞ − = − ∫ f (14) 该式称为径向积分。 10 / 74
容积卡尔曼滤波|CaiYuan-Li式(13)的球形积分可使用基于球形容积原则的数值积分方法可近似为S(r)=[ f(rs)do(s)=Zb,f(rs)0j=l(15)式中：m.为积分点数，若使用三阶球形容积原则，式中的相关参数选取为：2元"A.其中AI(n/2)=[x"-"exp(-x)dx ;m,=2nT(n/2)2ns,=[1],j=1,,2n，[1],为积分点，其按照下列方式产生的：记n,维单位向量11/74
容积卡尔曼滤波 | Cai Yuan-Li 式(13)的球形积分可使用基于球形容积原则的数值积分方法可近似为 1 () ( ) () ( ) s n m j j j Sr f r d b r σ = = ∫ = ∑ U s s fs (15) 式中： ms 为积分点数，若使用三阶球形容积原则，式中的相关参数选取为： 2 m n s x = ， 2 n j A b n = ，其中 2 ( / 2) n An n π = Γ ， 1 0 ( / 2) exp( ) n n x x dx ∞ − Γ= − ∫ ； [1] , 1, ,2 j j s = =j n ，[1]j 为积分点，其按照下列方式产生的：记 x n 维单位向量 11 / 74
容积卡尔曼滤波ICaiYuan-Li为e=[1,0,….0]"，使用[1]表示对e的元素进行全排列和改变元素符号产生的点集，称为完整全对称点集，[1],表示点集中[1]的第j个点。以n，=3为例，[1],表示如下所示点集中的第i个元素，即-10P式(14)的径向积分使用基于高斯积分原则的数值积分方法来近似计算，表示为12/74
容积卡尔曼滤波 | Cai Yuan-Li 为 T e = [1,0, 0] ，使用[1]表示对e 的元素进行全排列和改变元素符号产生的点 集，称为完整全对称点集，[1]j 表示点集中[1]的第 j 个点。以 3 x n = 为例，[1]i 表 示如下所示点集中的第i 个元素，即 100 1 0 0 0,1,0, 0 , 1, 0 001 0 0 1 − − − 式(14)的径向积分使用基于高斯积分原则的数值积分方法来近似计算，表示 为 12 / 74
容积卡尔曼滤波CaiYuan-LiI(f)=[ s(r)r"- exp(-r:)dr = Za,S(r)(16)式中：m,为积分点数，使用一阶高斯-塞德尔积分可参数选取为：m,=1，ai=(n/2)/2，r=/n/2。使用式(15)和式(16)可获得式(12)的3阶球形-径向数值积分近似表示为27元"mmf(x)exp(-x'x)dx~n./2[1],2ni=l(17)使用式(17)可求得以标准正态分布的非线性函数的3阶球形-径向数值积分13/74
容积卡尔曼滤波 | Cai Yuan-Li 1 2 0 1 ( ) ( ) exp( ) ( ) mr n i i i I S r r r dr a S r ∞ − = f = −= ∫ ∑ (16) 式中： mr 为积分点数，使用一阶高斯-塞德尔积分可参数选取为： 1 mr = ， 1 a n = Γ( / 2) / 2 ， 1 r n = / 2 。使用式(15)和式(16)可获得式(12)的 3 阶球形-径向 数值积分近似表示为 2 1 ( )exp( ) ( 2[1] ) 2 x x nx n n T x i i x d n n π = ∫ fx xx x f − ≈ ∑ (17) 使用式(17)可求得以标准正态分布的非线性函数的 3 阶球形-径向数值积分 13 / 74
容积卡尔曼滤波CaiYuan-Li为Ix(f)= [ f(x)N(x; 0, I)dx=Zo,f(s,)i=R"(18)式中：，为基本容积点，の,为容积点对应的权值。，和の,的取值分别为1.i=12,...m=2n0=m(19)若式(18)中，权值为标准正态分布。对于一个非标准正态分布函数14/74
容积卡尔曼滤波 | Cai Yuan-Li 为 1 () () (;,) ( ) nx m i i i I d ω = f f x x0I x f = ∫ = ∑ ξ (18) 式中： i ξ 为基本容积点，ωi 为容积点对应的权值。 i ξ 和ωi 的取值分别为 1 [1] , , 1, 2, 2 2 i ii x m i mn m ξ = ω = = = (19) 若 式(18)中，权值为标准正态分布。对于一个非标准正态分布函数 14 / 74