数 理 着考处 242、线性相位FR数字滤波器零点分布特征 考虑到线性相位FIR数字滤波器满足条件 h(n)=±h(N-1-n) 2.8 式中,正号对应偶对称,负号对应奇对称。 若为实序列,对式(82.8)两边分别取双边Z变换,可得 H(x)=±xH(x-) 讨论:(1)若on≠0,n≠z,并且rn<1 则z=remm位于Z平面单位圆内且不在实轴上 因为h(n)般都是实序列,因此,H(=)复数零点应当成对出现 若是H()的复数零点,则二也是H()零点考虑到式(829),则1 及1zn也是H(z)零点显然,zn与1=m对单位圆周镜像对称,zn与1/ 对单位圆周镜像对称。由于这四个零点同时存在,因此, 可由它们可以构成一个四阶系统,记为H,(=),即 H1(二)=( 1-z1/zn)(1-z/zn)(82.10
2、线性相位FIR数字滤波器零点分布特征 ( 1) 1 ( ) ( 1 ) (8.2.8) 8.2.8 ( ) ( ) N hn hN n Z Hz z Hz −− − =± − − = ± 考虑到线性相位 数字滤波器满足条件 FIR 式中，正号对应偶对称，负号对应奇对称。 若为实序列，对式（ ）两边分别取双边 变换，可得 (8.2.9) 10 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , 8.2.9 , 1 1 () , 1 , 1 m mm m j m m m m m m m m m m r z re Z hn H z z Hz z Hz z z Hz z z z z ϕ ϕ ϕπ ∗ ∗ ∗ ∗ ≠≠ < = 讨论：（）若 ， ，并且 ， 则 位于 平面单位圆内且不在实轴上 因为 一般都是实序列，因此， 的复数零点应当成对出现。 若 是 的复数零点，则 也是 的零点 考虑到式（ ）则 及 也是 的零点 显然， 与 对单位圆周镜像对称 与 对 1 11 1 ( ) ( ) (1 )(1 )(1 )(1 ) (8.2.10) i i mm m m H z H z zz zz z z z z − ∗− − − ∗ =− − − − 单位圆周镜像对称。由于这四个零点同时存在，因此， 可由它们可以构成一个四阶系统，记为 ，即
数 理 着考处 (2)若n≠0,n≠z,并且rn=1, 则n=rne位于Z平面单位圆周上且不在实轴上 由于 因此,z无镜像对称零点,但有共轭零点 这两个零点可以构成一个二阶系统,记为H,(=,即 H/(z)=( 19m)=(1 -2 COS Pm4+2> (8.2.11) (3)若qn=0,gn=z,并且rn<,即zn=rne位于Z平面的实轴上 由于zm=土n,因此,二n无共轭零点,但有镜像对称零点zm=土zn, 这两个零点也可以构成一个二阶系统,记为HA(z),即 H(=)=(1-mn)(1-xrn)=1-(n+rmn)=-+2 (8.2.12)
1 1 1 2 20 1 ( ) ( ) (1 )(1 ) (1 2cos ) (8.2.11) 3 0 m m m m m mm m j m m j j mm m j j j j m mm m r z re Z ze z ze H z H z ze ze z z r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕπ ϕ ϕ ϕπ ∗ − − − − − − ≠≠ = = = = =− − =− + = = （ ）若 ， ，并且 ， 则 位于 平面单位圆周上且不在实轴上 由于 ，因此， 无镜像对称零点，但有共轭零点 ， 这两个零点可以构成一个二阶系统，记为 ，即 （ ）若 ， ，并且 1 1 1 11 1 1 2 1 ( ) ( ) (1 )(1 ) 1 ( ) (8.2.12) m j m m mm m m m k k mm m m z re Z zr z z r H z H z zr zr r r z z ϕ − − − −− − − − < = = ± = ± = − − =− + + ，即 位于 平面的实轴上 由于 ，因此， 无共轭零点，但有镜像对称零点 ， 这两个零点也可以构成一个二阶系统，记为 ，即
数 理 着考处 (4)若n=0,(n=z,并且rn=1, 即z位于Z平面的实轴与单位圆周的交点上 由于z=±1,因此,z既无共轭零点,又无镜像对称零点, 这一个零点也可以构成一个一阶系统,记为H(=),即 H(=)=1+x-1 (8.2.13) 综上所述,一个具有线性相位的FIR数字滤波器,其转移 函数可表示成上述子系统的级联,即 H()=∏H()ⅢH/()互Hk()H() (8.2.14) 由式(82.10)至(82.13)可知,式(8.2.14)中的各子系统 都有对称的系数所以它们都是线性相位系统。换言之,一个高阶 的线性相位FR数字滤波器,可以分解成多个低阶线性相位FIR 数字滤波器的级联
1 40 1 1 ( ) ( ) 1 (8.2.13 mm m m m m l l r z Z z z H z Hz z ϕ ϕ π − == = = ± = ± （ ）若 ， ，并且 ， 即 位于 平面的实轴与单位圆周的交点上 由于 ，因此， 既无共轭零点，又无镜像对称零点， 这一个零点也可以构成一个一阶系统，记为 ，即 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8.2.14) 8.2.10 8.2.13 8.2.14 , , i jkl ijkl Hz H z H z H z H z =Π Π Π Π FIR FIR 综上所述，一个具有线性相位的 数字滤波器，其转移 函数可表示成上述子系统的级联，即 由式（ ）至（ ）可知，式（ ）中的各子系统 都有对称的系数 所以它们都是线性相位系统。换言之 一个高阶 的线性相位 数字滤波器，可以分解成多个低阶线性相位FIR 数字滤波器的级联
数 理 着考处 28.3IR数字滤波器的基本结构 IR滤波器的基本结构,除卡尔曼结构外,还有级联 结构、并联结构及 Lattice结构。 1、IR滤波器的级联结构 由式(8.1.3)知道,IR滤波器的转移函数可表示为 Y( ∑b(m) H(=) (8.3.1) X(3) a()2 式中,a(i)(i=1,2,…,N)及b(m)m=0,,2,…,M)均为常数
8.3 IIR数字滤波器的基本结构 IIR滤波器的基本结构，除卡尔曼结构外，还有级联 结构、并联结构及Lattice结构。 1、IIR滤波器的级联结构 0 1 8.1.3 ( ) ( ) ( ) (8.3.1) ( ) 1 () ( ) ( 1, 2, , ) ( )( 0,1,2, , ) M m m N i i bmz Y z H z X z aiz ai i N bm m M − = − = = = − = = ∑ ∑ IIR " " 由式（ ）知道， 滤波器的转移函数可表示为 式中， 及 均为常数
24【1】对系统转移函数按零点和极点进行因式分解 数 由式(8.3.1)可知,IR滤波器转移函数的分子和分母 均是实系数多项式,按零点和极点进行因式分解时有三种 可能的形式,一是均为实根,二是既有实根又有共轭根,三是 均为共轭根。即 ∏(-vn=2) (1)H(=)=b(0)mn ∏(-v=) ∏I(-vn2) )(1 (2)H(=)=b(0)mx (-=∏(-d=2)1 式中,M1+2M2=M,N1+2N2=N
【1】对系统转移函数按零点和极点进行因式分解 1 2 1 2 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 8.3.1 , , , (1 ) 1 ( ) (0) (1 ) (1 ) (1 )(1 ) 2 ( ) (0) (1 ) M m m N i i M M m mm m m N N i i i v z Hz b v z vz cz cz Hz b v z − = − = − −∗ − = = − = = − = − − −− = − ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ 由式（ ）可知，IIR滤波器转移函数的分子和分母 均是实系数多项式，按零点和极点进行因式分解时 有三种 可能的形式 一是均为实根 二是既有实根又有共轭根，三是 均为共轭根。即 （） （ ） 1 1 1 2 12 (1 )(1 ) 2 2 i i dz d z M M MN N N − ∗− − − + = += ∏ 式中，