北京大学数学科学学院：红移研究和宇宙学进展

红移研究和宇宙学进展 王晓宇,数学科学学院00级,北京大学 摘要 本文讨论了基于广义相对论和FLRW度规下的各种红移效应以及其他一些影响 光线频率的因素,并在此基础上介绍了当前宇宙学在超新星、背景辐射和类星体上 的研究。特别提到了类星体研究中关于精细结构常数α变化的观测现象。文中讨论 的影响因素不足以解释这种现象 关键字:引力场方程,FLRW度规,多普勒红移,引力红移,宇宙学红移,宇宙常数 简介 11宇宙学的发展 我们对于宇宙的观测和假设从来没有停止过。然而,宇宙学的真正兴起还是 在 Einstein提出了广义相对论以后。虽然广义相对论的提出快要一个世纪了,但是我们 对于宇宙的状态和发展还是知之甚少。一方面,关于宇宙学的理论基础一理论物理和粒 子物理不断被发展和完善,观测宇宙的方法不断被改进;另一方面,各种关于宇宙的假 设和模型被提出,其中一些由于不符合其他理论和实验结果而被否定,另外一些则能够 与已知的物理学相洽而被接受。但是即使在这些假设和模型之中,仍然有许多悬而未决 的问题,甚至这些问题比它们解决的问题还要多。 著名的 Einstein的引力场方程可以写作 8丌C D Rgp + Ag (1) 另外,如果假设宇宙是均匀的和各向同性的,我们得到FLRW( Friedmann- Lemaitre Robertson- Walker)度规 +R2(t) d 上面两个方程加上物态方程得到基本的FRW方程 R R p+3p+ R/+k

红移研究和宇宙学进展 王晓宇，数学科学学院00 级，北京大学 摘 要 本文讨论了基于广义相对论和FLRW度规下的各种红移效应以及其他一些影响 光线频率的因素，并在此基础上介绍了当前宇宙学在超新星、背景辐射和类星体上 的研究。特别提到了类星体研究中关于精细结构常数α变化的观测现象。文中讨论 的影响因素不足以解释这种现象。 关键字：引力场方程，FLRW度规，多普勒红移，引力红移，宇宙学红移，宇宙常数 一 简介 1.1 宇宙学的发展 我们对于宇宙的观测和假设从来没有停止过。然而，宇宙学的真正兴起还是 在Einstein提出了广义相对论以后。虽然广义相对论的提出快要一个世纪了，但是我们 对于宇宙的状态和发展还是知之甚少。一方面，关于宇宙学的理论基础—理论物理和粒 子物理不断被发展和完善，观测宇宙的方法不断被改进；另一方面，各种关于宇宙的假 设和模型被提出，其中一些由于不符合其他理论和实验结果而被否定，另外一些则能够 与已知的物理学相洽而被接受。但是即使在这些假设和模型之中，仍然有许多悬而未决 的问题，甚至这些问题比它们解决的问题还要多。 著名的Einstein的引力场方程可以写作 Rµν − 1 2 Rgµν = − 8πG c 4 Tµν + Λgµν (1) 另外，如果假设宇宙是均匀的和各向同性的，我们得到FLRW(Friedmann-Lemaˆitre￾Robertson-Walker)度规 ds2 = −dt2 + R 2 (t) µ dr2 1 − kr2 + r 2 dθ2 + r 2 sin2 θdϕ2 ¶ (2) 上面两个方程加上物态方程得到基本的FRW方程 R¨ R = − 4πG 3 ρ + 3p + Λ 3 Ã R˙ R !2 + k = 8πG 3 ρR2 + ΛR2 3 (3) 1

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 其中 Hubble常数Ha/a 早期的模型假设宇宙是静止的,然而不久就发现这类模型不符合 Hubble观测星 系得到的结果。上世纪50年代的时候G. Gamow提出了“大爆炸”理论( Big bang),随 后由于 Penzias和 Wilson发现宇宙背景辐射(CMB),这个理论得到了强有力的支持。此 外,大爆炸理论对于早期核合成也作出了很准确的解释。 与此同时,几种其他的宇宙模型,例如 Brans-Dicke的标量张量理论(,p159), 在式1的右侧加上了一个标量场,或者 Bondi-Gold的静态宇宙模型([14])和 Hoyle-Narlikar 的模型 也对我们宇宙的状态和发展作出了解释。此外,标准模型和大爆炸理 论并非一帆风顺,它仍旧遇到了宇宙视界和平坦性的问题和 Fine tuning的问题。由 于Guth的大胆假设,暴胀理论( infation)([18)的提出以及其后一系列的发展(19],[23) 多少解决了这个问题。 标准模型遇到的另一个问题,则是宇宙间物质的构成。我们观测到的可见物质, 甚至可以计算的所有重子物质,远小于宇宙的临界质量。此外,宇宙常数也需要一个合 理的解释。因此各种关于暗物质( dark matter)和暗能量( dark energy)的理论被提出。暴 胀理论引入了一个标量场( quintessence),此后许多宇宙模型中也出现了类似的场来解 释宇宙常数,以作为对标准模型的修正。虽然这些模型和现有的物理学多少相洽,但是 它们更像是物理学家的玩具模型。 这是上世纪90年代以前的宇宙学。进入90年代以后,宇宙学的发展出现了前所未 有的进展。一方面是对于宇宙背景辐射的一系列观测:COBE1、 Boomerang(13]) Maxima i(20],(22)kI, ARCHEOPS2,WMAP3(S]),给出的结果对于我们宇宙作 出了一些限制;另一方面是S. Perlmutter et al.([26],[27],{28],[29)和A.G. Riess et al(34],[35])两个小组对Ia型超新星的观测结果,这和其他观测计划,如2FGRS计 划4,以及上面宇宙背景辐射观测得出的结果一起,对于 Hubble参数等一系列重要的宇 宙参数给出了估计。此后,围绕着“宇宙质量等于临界质量”和宇宙参数的估计,有不 断有新的模型和解释被提出,例如 Cardassian模型([17)在 Freedman方程上加上了非齐 次项;对于宇宙中物质的组成,和相应的物态方程( equation of state),也有许多解释。 这些模型并没有,至少到目前为止,为宇宙学带来实质的变化,而且它们本身也受到质 疑,如对 Cardassian的讨论([43]) 二各种红移 个始终贯穿所有测量的,无论是在对于宇宙背景辐射的测量中还是对于Ia型超新 星或者是星系和类星体的测量中的,就是红移效应,或者更加广泛地,观测频率与光源 本身频率的差别z=(b-)/。在所有这些红移效应中,由于宇宙演化而产生的红移 是主要的,也是我们决定各类常数的主要依据 COBE: Cosmic Background Explorer 2http://www.archeops.org/ 3WMAP: Wilkinson Microwave Anisotropy Probe http://www.mso.anu.edu.au/2dfgrs/

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 其中Hubble常数H , a/a ˙ 。 早期的模型假设宇宙是静止的，然而不久就发现这类模型不符合Hubble观测星 系得到的结果。上世纪50年代的时候G. Gamow提出了“大爆炸”理论(Big Bang)，随 后由于Penzias和Wilson发现宇宙背景辐射(CMB)，这个理论得到了强有力的支持。此 外，大爆炸理论对于早期核合成也作出了很准确的解释。 与此同时，几种其他的宇宙模型，例如Brans-Dicke的标量–张量理论([5], p159)， 在式1的右侧加上了一个标量场，或者Bondi-Gold的静态宇宙模型([14])和Hoyle-Narlikar 的模型([21])，也对我们宇宙的状态和发展作出了解释。此外，标准模型和大爆炸理 论并非一帆风顺，它仍旧遇到了宇宙视界和平坦性的问题和fine tuning的问题。由 于Guth的大胆假设，暴胀理论(inflation)([18])的提出以及其后一系列的发展([19], [23]) 多少解决了这个问题。 标准模型遇到的另一个问题，则是宇宙间物质的构成。我们观测到的可见物质， 甚至可以计算的所有重子物质，远小于宇宙的临界质量。此外，宇宙常数也需要一个合 理的解释。因此各种关于暗物质(dark matter)和暗能量(dark energy)的理论被提出。暴 胀理论引入了一个标量场(quintessence)，此后许多宇宙模型中也出现了类似的场来解 释宇宙常数，以作为对标准模型的修正。虽然这些模型和现有的物理学多少相洽，但是 它们更像是物理学家的玩具模型。 这是上世纪90年代以前的宇宙学。进入90年代以后，宇宙学的发展出现了前所未 有的进展。一方面是对于宇宙背景辐射的一系列观测：COBE1、BoomeRANG([13]), Maxima I ([20], [22]) & II, ARCHEOPS2 , WMAP3 ([8])，给出的结果对于我们宇宙作 出了一些限制；另一方面是S. Perlmutter et al.([26], [27] , [28], [29])和A. G. Riess et al.([34], [35])两个小组对Ia型超新星的观测结果，这和其他观测计划，如2dFGRS计 划4，以及上面宇宙背景辐射观测得出的结果一起，对于Hubble参数等一系列重要的宇 宙参数给出了估计。此后，围绕着“宇宙质量等于临界质量”和宇宙参数的估计，有不 断有新的模型和解释被提出，例如Cardassian模型([17])在Freedman方程上加上了非齐 次项；对于宇宙中物质的组成，和相应的物态方程(equation of state)，也有许多解释。 这些模型并没有，至少到目前为止，为宇宙学带来实质的变化，而且它们本身也受到质 疑，如对Cardassian的讨论([43])。 二 各种红移 一个始终贯穿所有测量的，无论是在对于宇宙背景辐射的测量中还是对于Ia型超新 星或者是星系和类星体的测量中的，就是红移效应，或者更加广泛地，观测频率与光源 本身频率的差别z = (λob − λ)/λ。在所有这些红移效应中，由于宇宙演化而产生的红移 是主要的，也是我们决定各类常数的主要依据。 1COBE: Cosmic Background Explorer 2http://www.archeops.org/ 3WMAP: Wilkinson Microwave Anisotropy Probe 4http://www.mso.anu.edu.au/2dFGRS/ 2

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 单从广义相对论来说,影响红移的有两种因素: 1.光源A和观测者B两点的坐标时和固有时的关系。当A和B都是静止的时候,这个 表现为度规的比值 2.光线运动的路 2.1多普勒红移 多普勒红移的产生是由于光源A和观测者B之间的相对运动。假设B的静止参 考系坐标为(t,x,y,z),A的静止参考系为(t,x,y,2);B的坐标为(t,0,0,0),A的两组 坐标为(t,d,0,0)和(,0,0,0),且t=0时x=d和t=0。在B的静止参考系中,光 源A以=dx/t的速度运动,总可以取适当坐标系使v2=0,且x的方向恰好沿 着BA方向。在A的静止参考系中A点固有时d=dt,而在B的参考系中,A点固有 时dr=dt-dx2=(1-2)d。对于时空中一点的固有时是 Lorentz变换下的不变量, 于是d=(1/1-n2)d 考虑A在(0,0y,0,0)和(△t,0′,0,0)发出相邻两个波前,其中△t=1/v,是光源 的频率。在B的参考系中相应的坐标则为(0,d,0,0)和(△t,d+vr△t,y△t,0),△t和△t的 关系遵从前面的公式。因此B接收到两个波前的时刻为t=d和t=d+(1+t)△t。于是 观测频率 vob (1+v)△t 当光源径向离开观测者时,有Do=(√1-v/1+)v,表现为红移;当光源径向 靠近观测者时,b=(+v/√1-v)v,表现为蓝移。 22引力红移 引力红移是广义相对论的直接推论之一。设引力场的度规是9。光线在引力场中 沿ds=0运动,即9004+2+9 nidda2+ giod.r'dt+ giidar'dr3=0,解得 dt grid z2 0190-900%y)drax7 900 取ds=0上的曲线参数:光源A(uA)和观测者B(uB)。A发出光线的时刻为t=tA,B接 收到光线的时刻为t=tB。由式5得到(参见1]) tR-t go: dri/du+V(goigoi-9009i)dai du dcs/du 对于一般的度规,式6右边表示光线从A到B的坐标时变化与空间路径有关,而空间路径 可能随时间一起变化。因此讨论引力红移的时候,总是在静态场(9和时间无关)或 者准静态场的情形下,除了简化问题以外,而且这样才有一般红移的观测意义。此时空 间路径由A和B确定。对于在一般的引力场下光线频率变化的现象本身构成了另外一个 问题,这里将不作讨论。 3

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 单从广义相对论来说，影响红移的有两种因素： 1. 光源A和观测者B两点的坐标时和固有时的关系。当A和B都是静止的时候，这个 表现为度规的比值 2. 光线运动的路径 2.1 多普勒红移 多普勒红移的产生是由于光源A和观测者B之间的相对运动。假设B的静止参 考系坐标为(t, x, y, z)，A的静止参考系为(t 0 , x0 , y0 , z0 )；B的坐标为(t, 0, 0, 0)，A的两组 坐标为(t, d, 0, 0)和(t 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 )，且t = 0时x = d和t 0 = 00。在B的静止参考系中，光 源A以−→v = d −→x /dt的速度运动，总可以取适当坐标系使vz = 0，且x的方向恰好沿 着 −−→BA方向。在A的静止参考系中A点固有时dτ 0 = dt0，而在B的参考系中，A点固有 时dτ = dt − d −→x 2 = (1 − v 2 )dt。对于时-空中一点的固有时是Lorentz变换下的不变量， 于是dt = ³ 1/ √ 1 − v 2 ´ dt0。 考虑A在(00 , 0 0 , 0 0 , 0 0 )和(∆t 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 )发出相邻两个波前，其中∆t 0 = 1/ν，ν 是光源 的频率。在B的参考系中相应的坐标则为(0, d, 0, 0)和(∆t, d+vr∆t, vy∆t, 0)，∆t和∆t 0的 关系遵从前面的公式。因此B接收到两个波前的时刻为t = d和t = d + (1 + vr)∆t。于是 观测频率 νob = 1 (1 + vr)∆t = √ 1 − v 2 1 + vr ν (4) 当光源径向离开观测者时，有νob = ¡√ 1 − v/√ 1 + v ¢ ν，表现为红移；当光源径向 靠近观测者时，νob = ¡√ 1 + v/√ 1 − v ¢ ν，表现为蓝移。 2.2 引力红移 引力红移是广义相对论的直接推论之一。设引力场的度规是gµν。光线在引力场中 沿ds = 0运动，即g00dt2 + g0idtdxi + gi0dxidt + gijdxidxj = 0，解得 dt = − g0idxi + p (g0ig0j − g00gij )dxidxj g00 (5) 取ds = 0上的曲线参数：光源A(uA)和观测者B(uB)。A发出光线的时刻为t = tA，B接 收到光线的时刻为t = tB。由式5得到（参见[1]） tB − tA = Z uB uA dt dudu = Z uB uA − g0idxi/du + p (g0ig0j − g00gij )dxi/du dxj/du g00 du (6) 对于一般的度规，式6右边表示光线从A到B的坐标时变化与空间路径有关，而空间路径 可能随时间一起变化。因此讨论引力红移的时候，总是在静态场（gµν和时间无关）或 者准静态场的情形下，除了简化问题以外，而且这样才有一般红移的观测意义。此时空 间路径由A和B确定。对于在一般的引力场下光线频率变化的现象本身构成了另外一个 问题，这里将不作讨论。 3

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 设光源A在坐标时t=tA和t=tA4=tA+△A发出两个相邻波前。在A点的局部惯性 系中,度规是n,光的相邻两个波前的时间间隔△t4=1/v,v是光源的频率,这个由 具体的物理过程决定;固有时dr′=△tA。在A点的带有引力场的度规下,固有时 dr =-guudr""=-goodt 和狭义相对论类似,一点的固有时是度规变换下的不变量,于是 △tA=d=(1/√=9(4)dr=(1/√-9o(4)dr=(1/y-9o(4)△A 由式6B点接受到两个波前的坐标时t=tB和t=t满足t-t4=tB-tA,从而 △tB=tB-tB=t4-tA=△tA B点的静止观测者处在B点的局部惯性系当中,类似A点的变换他测得的时间间隔应该 为△t 900(B)△tB。于是 静态球对称引力场下引力源外部的 Schwarzschild度规为 2mG dt2+ 2MG)d2+2d2+r2si2d2(8) 其中M为引力源的质量,G为引力常数 在这个度规下,根据引力红移的公式7,得到在 Schwarzschild度规下B点一个物理 过程发光的频率和接收到A点相同过程发光的频率的差别为 1-2GM 在rA》GM,B》GM时上式近似为 △ob-GMGM TA 这意味着当光线的传播满足rA>TB时我们将观测到蓝移({32])。 23宇宙学红移 设宇宙的几何性质用FLRW度规来描述,其中选取观测者B为原点: 同样光线沿=0运动,由坐标系的选取,即-d2+(R2(1)/(1-kr2)dr2=0 取ds=0上的曲线参数为r:光源A(r)和观测者B(0)。A发出光线的时刻为t=tA,B接 收到光线的时刻为t=tB,则 R-

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 设光源A在坐标时t = tA和t = t 0 A = tA + ∆A发出两个相邻波前。在A点的局部惯性 系中，度规是ηµν，光的相邻两个波前的时间间隔∆t 0 A = 1/ν，ν是光源的频率，这个由 具体的物理过程决定；固有时dτ 0 = ∆t 0 A。在A点的带有引力场的度规下，固有时 dτ 2 = −gµνdxµ dxν = −g00dt2 和狭义相对论类似，一点的固有时是度规变换下的不变量，于是 ∆tA = dt = ³ 1/ p −g00(A) ´ dτ = ³ 1/ p −g00(A) ´ dτ 0 = ³ 1/ p −g00(A) ´ ∆t 0 A 由式6 B点接受到两个波前的坐标时t = tB和t = t 0 B满足t 0 B − t 0 A = tB − tA，从而 ∆tB = t 0 B − tB = t 0 A − tA = ∆tA B点的静止观测者处在B点的局部惯性系当中，类似A点的变换他测得的时间间隔应该 为∆t 0 B = p −g00(B) ∆tB。于是 νob ν = ∆t 0 A ∆t 0 B = p −g00(A) p −g00(B) (7) 静态球对称引力场下引力源外部的Schwarzschild度规为 ds2 = − µ 1 − 2MG r ¶ dt2 + µ 1 − 2MG r ¶−1 dr2 + r 2 dθ2 + r 2 sin2 θdϕ2 (8) 其中M为引力源的质量，G为引力常数。 在这个度规下，根据引力红移的公式7，得到在Schwarzschild 度规下B点一个物理 过程发光的频率和接收到A点相同过程发光的频率的差别为 νob ν = p 1 − 2GM/rA p 1 − 2GM/rB 在rA À GM,rB À GM时上式近似为 ∆ν ν = νob − ν ν = GM rB − GM rA 这意味着当光线的传播满足rA > rB时我们将观测到蓝移([32])。 2.3 宇宙学红移 设宇宙的几何性质用FLRW度规来描述，其中选取观测者B为原点： 同样光线沿ds = 0运动，由坐标系的选取，即−dt2 + ¡ R2 (t)/(1 − kr2 ) ¢ dr2 = 0。 取ds = 0 上的曲线参数为r：光源A(r)和观测者B(0)。A发出光线的时刻为t = tA，B接 收到光线的时刻为t = tB，则 Z tB tA dt R(t) = Z 0 r dr √ 1 − kr2 (9) 4

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 设A在t=tA和t=tA+△tA发出两个相邻波前,B在t=tB和t=tB+△tB接收到 它们。由式9得到 tB+△tBdt tA+△tAdt R 于是(△tB和△tA都很小) △n Rt 由于FLRW度规下900=-1,于是A和B的局部惯性系下的坐标时和FLRW度规下的坐 标时大小相同,于是 t4△tAR (10) 这具体表现为在膨胀的宇宙中,由于R(tA)<R(tB),因此观测到的光线将出现红移现 2.4误差来源 这里讨论一下不同频率对宇宙学红移的影响。这个体现在式9中积分区间长度不 同。不直接去掉积分号,我们假设在Δ很小的时间内,R(t)=R(to)+R(to)(t-to R(to)(1+H(to)(t-to)。那么,积分式9就得到 ln(1+H(tA)△tA)ln(1+H(tB)△tB) R(tAH(tA) R(tB)H(tB) 将l展开,如果忽略二次以上的项,那么就是式10。如果不忽略二次项,那么 △tA-(H(t)/2)△t24△tB-(H(tB)/2)△t R(tA) R(tB) 对于可见光入~10-6m,二次项前系数<10-13,完全可以忽略。对于微波λ<1m,这 个系数<10-7。 其次,在实际观测远处光源时,清楚地区分三种情形下的红移并不可能。通常假 设两种红移只在光源处和接近观测者的时候才起作用(这里只计算近端的效应),于 是∽=(1+z)(1+x),其中z是宇宙学红移,z是其他两种红移。实际观测中通过 这样的方法对观测数据作出修正。 25其他改变光线频率的因素 在广义相对论和标准模型的框架下,如果不考虑光子在传播过程中与其他粒子发 生反应的话,那么改变光线频率的只能由上面两个因素。有两点需要指出 1.关于引力透镜效应从引力红移的讨论可以看到,影响观测频率和实际频率之比的 只是光源和观测者处的度规,而与传播的具体路径无关。然而引力红移的假设基 于静态或者准静态的引力场,变化的引力场能够引起第二种因素的变化,从而使 光线的观测频率发生变化。因此虽然通常只讨论引力透镜效应引起的光线偏折, 在特殊情况下对于红移这个效应也不能忽视; 5

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 设A在t = tA和t = tA + ∆tA发出两个相邻波前，B在t = tB和t = tB + ∆tB接收到 它们。由式9得到 Z tB+∆tB tB dt R(t) = Z tA+∆tA tA dt R(t) 于是（∆tB和∆tA都很小） ∆tB ∆tA = RtB RtA 由于FLRW度规下g00 = −1，于是A和B的局部惯性系下的坐标时和FLRW度规下的坐 标时大小相同，于是 νob ν = ∆t 0 A ∆t 0 B = ∆tA ∆tB = RtA RtB (10) 这具体表现为在膨胀的宇宙中，由于R(tA) < R(tB)，因此观测到的光线将出现红移现 象。 2.4 误差来源 这里讨论一下不同频率对宇宙学红移的影响。这个体现在式9中积分区间长度不 同。不直接去掉积分号，我们假设在∆t很小的时间内，R(t) = R(t0) + R˙(t0)(t − t0) = R(t0) (1 + H(t0)(t − t0))。那么，积分式9就得到 ln(1 + H(tA)∆tA) R(tA)H(tA) = ln(1 + H(tB)∆tB) R(tB)H(tB) 将ln展开，如果忽略二次以上的项，那么就是式10。如果不忽略二次项，那么 ∆tA − (H(tA)/2)∆t 2 A R(tA) = ∆tB − (H(tB)/2)∆t 2 B R(tB) 对于可见光λ ∼ 10−6m，二次项前系数< 10−13，完全可以忽略。对于微波λ < 1m，这 个系数< 10−7。 其次，在实际观测远处光源时，清楚地区分三种情形下的红移并不可能。通常假 设两种红移只在光源处和接近观测者的时候才起作用（这里只计算近端的效应），于 是νob = (1 + zo)(1 + zc)ν，其中zc是宇宙学红移，zo是其他两种红移。实际观测中通过 这样的方法对观测数据作出修正。 2.5 其他改变光线频率的因素 在广义相对论和标准模型的框架下，如果不考虑光子在传播过程中与其他粒子发 生反应的话，那么改变光线频率的只能由上面两个因素。有两点需要指出： 1. 关于引力透镜效应从引力红移的讨论可以看到，影响观测频率和实际频率之比的 只是光源和观测者处的度规，而与传播的具体路径无关。然而引力红移的假设基 于静态或者准静态的引力场，变化的引力场能够引起第二种因素的变化，从而使 光线的观测频率发生变化。因此虽然通常只讨论引力透镜效应引起的光线偏折， 在特殊情况下对于红移这个效应也不能忽视； 5