对表6.3的说明: (n) n n n i=0 3.当系数cm)中有负数出现时,舍入误差被扩大 因此一般只采用n≤7时的牛顿一柯特斯公式
对表6.3的说明： 1. ( ) ( ) n n i n i c c = − 2. 0 1 ( ) n n i i c = = 3. 当系数 ci ( ) n 中有负数出现时，舍入误差被扩大 因此一般只采用n≤7时的牛顿－柯特斯公式
例2用n=6的牛顿一柯特斯公式计算定积分值Ⅰ 1+x 解:将积分区间0,们划分为n份,得到节点列为 0+-i,i=0,l,2,…,6 6 在这些节点处的函数值为 1+x16+d=0,1 则n=6的牛顿一柯特斯公式为
例2 用n=6的牛顿－柯特斯公式计算定积分值 1 0 1 . dx I x = + 解：将积分区间[0,1]划分为n份，得到节点列为 1 0 0 1 2 6 6 , , , , , i x i i = + = 在这些节点处的函数值为 1 6 0 1 2 6 1 6 ( ) , , , , , i i f x i x i = = = + + 则n=6的牛顿－柯特斯公式为
41 34 ≈(1-0)×|。∫(x)+f(x)+f(x2)+f(x3) 840 280 105 41 +。f(x)+f(x1)+f(x2) 840 35 280 41696963464169696 Ⅹ-十 Ⅹ-+—X-+—X-+—X—+—Ⅹ—+— 8406357280810598401035 28012 =0.6931
0 1 2 3 0 1 2 41 9 9 34 1 0 840 35 280 105 41 9 9 840 35 280 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] I f x f x f x f x f x f x f x − + + + + + + 41 6 9 6 9 6 34 6 41 6 9 6 9 6 840 6 35 7 280 8 105 9 840 10 35 11 280 12 = + + + + + + = 0 6931
b 牛顿一柯特斯公式的误差: (n+1) ∫R(xlk=J ( Im(rdc (n+1) 梯形公式(n=1)R=-hf(4) 12 Simpson公式(n=2)R=-h3f() 90 3 3/8公式(n=3)R hf(4) 80 柯特斯公式(n=4)R=-8 hf6(5) 945
牛顿－柯特斯公式的误差： 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )! n b b n n a a f R x dx x dx n + = + + 梯形公式（n=1） 1 3 2 12 ( ) R h f = − ( ) Simpson公式（n=2） 1 5 4 90 ( ) R h f = − ( ) 3/8公式（n=3） 3 5 4 80 ( ) R h f = − ( ) 柯特斯公式（n=4） 8 7 6 945 ( ) R h f = − ( ) b a h n − =
牛顿一柯特斯公式的代数精度: ∫(x)dcs(b-a2ef(x) (n+1) ∫R(xlk= (5) (n+1)!(x)tr ∏ 定理牛顿一柯特斯公式至少具有n次代数精度;其中, 当n为偶数时,牛顿一柯特斯公式至少具有n+次 代数精度
牛顿－柯特斯公式的代数精度： 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n b n i i a i f x dx b a c f x = − 定理 牛顿－柯特斯公式至少具有n次代数精度；其中， 当n为偶数时，牛顿－柯特斯公式至少具有n+1次 代数精度。 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )! n b b n n a a f R x dx x dx n + = + +