3直观描述:对函数f(x),当x取负值而绝对值无限增 大时(即x→>-∞),如果∫(x无限接近某常数4,则称4是 函数f(x)当x→-∞时的极限 4函数(“M)定义设函数f(x,当x<m时有 定义.vE>0,3M>0,使得当x<-M时,f(x-A<e 恒成立则称函数f(x当x→-∞时以A为极限 记为imf(x)=A或f(x)→A(x→-∞0) 则有im-=0,lime=0, x→-00 lim arctan= 几何意义如右图
6 3.直观描述: 对函数 ƒ(x), 当x取负值而绝对值无限增 大时(即x→－∞),如果ƒ(x)无限接近某常数A, 则称A是 函数ƒ(x)当x→－∞ 时的极限. 4.函数 (“ε—M”)定义 设函数ƒ(x), 当x<–a时有 定义. 使得当x<–M时,|ƒ(x)–A|< ε 恒成立.则称函数ƒ(x)当x→－∞ 时以A为极限. 0, 0, M lim ( ) x f x A →− 记为 或 = f x A x ( ) ( ). → → − 则有 1 lim 0, lim 0, lim arctan . 2 x x x x e x x →− →− →− = = = − 几何意义如右图. o x y A+ε A–ε A –M y=ƒ(x)
问题:如果既有limf(x)=A又有Iim∫(x)=4 x 是否有mimf(x)=A呢? x→ 定理1函数y=f(x)当x-0时极限存在且为A的充要 条件是函数y=f(x)当x→+∞与x→-0时极限都 存在且等于A,.即 lim f(x)=A< lim f(x)=lim f(x)=A x→ →>+o 5精确定义(“8M”)设函数f(x),当p>a时有定义 对vE>0,M>0,使得当x>M时,|f(y)-41<e恒 成立.则称函数f(x)当x0时以4为极限.记为 limf(x)=A或∫(x)→A(x→>∞) x→0
7 问题：如果既有 lim ( ) x f x A →+ = lim ( ) x f x A →− = lim ( ) x f x A → = 定理1.函数y =ƒ(x)当x→∞ 时极限存在且为A的充要 条件是函数y =ƒ(x)当 x→＋∞ 与 x→－∞ 时极限都 存在且等于A. 即 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x f x A f x f x A → →+ →− = = = 5.精确定义(“ε—M”) 设函数ƒ(x),当|x|>a时有定义. 对 使得当|x|>M时, |ƒ(x)–A|< ε恒 成立. 则称函数ƒ(x)当 x→∞ 时以A为极限. 记为 0, 0, M lim ( ) ( ) ( ). x f x A f x A x → = → → 或 又有 是否有 呢？
几何意义如右图 =f(x) 例3用“εM”定(1)lim=0; 义证明 (2).limk=0(k>0 x-> x 3).lime=0. x→+o
8 几何意义如右图. o x y A+ε A–ε A –M M y=ƒ(x) 例3 用“ε—M ”定 义证明 1 (1).lim 0; 1 (2). lim 0 ( 0); (3). lim 0. x k x x x x k x e → →+ − →+ = = =