§26连续函数 连续函数是非常重要的一类函数也是函数的一种 重要的性态.然界中的许多变量都是连续变化着的,即 在很短的时间内,们的变化都是很微小的.这种现象反 映在函数关系上,就是函数的连续性;对函数曲线来说 就是从起点开始到终点都不间断 函数增量(改变量) 设函数y=f(x,、当x从x变到x1时,自变量的改变 量(x在x处的增量)记为△x=x1-x2,相应的函数从fx0) 变到f(x1)时,其函数值之差 4y=∫(x1)-f(x0) 叫做函数的增量改变量Ax,y可正可负,4y还可为0.1
1 § 2.6 连续函数 连续函数是非常重要的一类函数.也是函数的一种 重要的性态. 然界中的许多变量都是连续变化着的, 即 在很短的时间内, 们的变化都是很微小的. 这种现象反 映在函数关系上, 就是函数的连续性; 对函数曲线来说 就是从起点开始到终点都不间断. 设函数 y =ƒ(x), 当 x从 x0变到 x1时,自变量的改变 量(x在 x0 处的增量)记为 ∆x=x1–x2 . 相应的函数从f(x0 ) 变到f(x1 )时,其函数值之差 1 0 = − y f x f x ( ) ( ) 一.函数增量(改变量) 叫做函数的增量.改变量 Δ x,Δy 可正可负, Δy还可为0
连续函数的定义 图1中的函数曲线(连续)而不间断.即 当△x→>0时,△→>0 y=f(x) 而图2中的函数曲线却间断.即 图1 当Ax→>0时,Δ不一定趋于0 y=f(x) 图2
2 二. 连续函数的定义 图1中的函数曲线 (连续)而不间断. 即 当 → → x y 0 , 0. 时 而图2中的函数曲线却间断. 即 当 → x y 0 , 0. 时 不一定趋于 o x y 0 x y=ƒ(x) }Δy o x y ° }Δy 0 x y=ƒ(x) Δx Δx 图1 图2 1 x 1 x
定义1设函数f(x)在x的某邻域内有定义,在x0处给 x一个增量Ax,当△x→0时,有4y→0.即 lim Ay= limf(xo +Ar)-f(xo)=0. △r→0 △x→0 则称函数f(x)在x处连续.称x为连续点 y=f( 例22证明函数y=sinx在x处连续 证在x处给x一个增量x,则相应的函数增量为 △y=sin(x0+△x)-simx0=2sin4 -cos(ro
3 定义1 设函数ƒ(x)在 x0的某邻域内有定义,在 x0 处给 x一个增量Δ x, 当 → → x y 0 , 0. 时 有 即 例22 证明函数 y = sin x 在 x0 处连续. 0 0 0 sin( ) sin 2sin cos( ) 2 2 x x y x x x x = + − = + o x y y=ƒ(x) Δx }Δy 0 x 0 x x + 则称函数ƒ(x)在 x0 处连续. 称 x0 为连续点. 0 0 0 0 lim lim[ ( ) ( )] 0. x x y f x x f x → → = + − = 证 在 x0 处给 x 一个增量Δx,则相应的函数增量为
=0</=2sin cos(<0+5)<2sin 21 △→>0 →如iA=0则函数y=simx在x处连续 注:因limf(x0+△x)-f(x)=0<imf(x0+△x)=∫(x0) 令x=x+Ax,当△x→0时,有x→>x,从而 im4y=0limf(x)=∫(x) x→x 从而有函数在一点连续的等价定义 定义2设函数f(x)在x0的某邻域内有定义,若 lim f(x)=f(ro) x→x0 则称函数f(x)在x处连续.称x0为连续点
4 则函数 y = sin x 在 x0 处连续. 0 0 2sin cos( ) 2sin 0 2 2 2 x x x y x x = + → 0 lim 0 x y → = 注: 0 0 0 0 0 0 lim[ ( ) ( )] 0 lim ( ) ( ); x x f x x f x f x x f x → → 因 + − = + = 从而有函数在一点连续的等价定义 0 0 令 , 0 x x x x x x = + → → 当 时,有 ，从而 0 0 0 lim 0 lim ( ) ( ). x x x y f x f x → → = = 定义2 设函数ƒ(x)在 x0 的某邻域内有定义, 若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 则称函数ƒ(x)在 x0 处连续. 称 x0为连续点
4 lim f(x)=A<> lim f(x)=lim f(x)=A 则有imf(x)=f(x)<>limf(x)=limf(x)=f(x0) x→0 对应有左、右连续的概念. 定义3若lim∫(x)=f(x) x→>x0 则称函数f(x)在x处左连续;记为 lim f(x)=f(o )=f(o) 若limf(x)=f(x),则称函数f(x)在x处右连续.记为 x→x0 lim f(x)=f(xo=f(xo) x→x
5 0 lim ( ) x x f x A → = 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x A → → − + 因 = = 则有 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) x x x x f x f x f x → → − + = = 对应有左、右连续的概念. 则称函数ƒ(x)在x0处左连续; 记为 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → − = 0 0 lim ( ) ( ), x x f x f x → + 若 = 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ) x x f x f x f x − − → = = 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ) x x f x f x f x + + → = = 则称函数 ƒ(x)在 x0 处右连续. 记为 定义3 若