§24极限存在准则与两个重要极限 本节先介绍极限存在准则利用它们来导出两个重 要极限. 极限存在准则 准则I(夹逼定理)若∈U(x0,6)(或x|>M), 均有g(x)≤f(x)≤h(x)且limg(x)=liml(ax)=A 则有limf(xy)=A
1 §2.4 极限存在准则与两个重要极限 本节先介绍极限存在准则利用它们来导出两个重 要极限. 一.极限存在准则 准则І (夹逼定理) 若 , 均有 0 0 x U x x M ( , ) ( ) 或 则有 lim ƒ(x) = A. g(x) ≤ ƒ(x) ≤ h(x) 且 lim g(x) = lim h(x) = A
证明由limg(ax)=limh(x)=A,对E>0,则总存 在那么一个时刻在此时刻以后,同时有 lg(x)-A|<ε与|h(x)-4<E成立,即 A-E<8(x)<A+e A-e< h(x)<A+& 而g(x)≤f(x)≤h(x), 则A-E<g(x)≤f(x)≤h(x)<A+E 从而在此时刻以后,就有|f(x-A|<ε,故 lim f(x=a 对于此定理的理解关键在于“夹”、“逼”二字对 于数列,定理仍成立
2 证明 由lim g(x) = lim h(x ) = A, 对 则总存 在那么一个时刻,在此时刻以后, 同时有 0, | g(x) – A| < ε 与 | h(x) – A| < ε 成立, 即 A – ε < g(x) < A + ε 与 A – ε < h(x) < A + ε 从而在此时刻以后, 就有 | ƒ(x) – A|< ε , 故 lim ƒ(x) = A. 而 g(x) ≤ ƒ(x) ≤ h(x), 则 A – ε < g(x) ≤ƒ(x) ≤ h(x) < A + ε 对于此定理的理解关键在于“夹”、“逼”二字.对 于数列, 定理仍成立
例15.利用夹逼定理证明 1).Iima=1;(2),im_n=0 →n! 证(1)令巛n=1+x,则n=(+xn)"; n 而n=1+nx.+ 2xn2+…+x>如h (n-1) 2 →0<x →limx.=0 n →lim巛n=lim(1+xn)=1. n→0 证(2)m≤n!≤m"→sn,s n n 而Iim-=0,lim 0 n→0n n→Q n I
3 例15. 利用夹逼定理证明 1 (1).lim 1; (2).lim 0 ! n n n n n → → n = = 1). 1 , (1 ) n n 证 n x n x = + = + n n ( 令 则 ； 2 2 ( 1) ( 1) 1 2! 2 n n n n n n n n n n nx x x x − − 而 = + + + + 2 2 2 0 lim 0 1 1 n n n n x x x n n → = − − lim lim(1 ) 1. n n n n n x → → = + = (2). ! n n 证 n n n 1 1 1 ! n n n n 1 1 lim 0, lim 0 n n → → n n 而 = = 1 lim 0 ! n n → n =
准则I(单调有界准则)若数列{an}单调有界,则iman n→0 存在 其理论证明(略).从几何上说明: 若an单增,an有两种可能,即移向无穷远或无限接 近某一定点A,因an有上界M,则ma存在且不超过M A 若{an}单减,{an}有两种可能,即移向负无穷远或无 限接近某一定点A,因{an}有下界M,则 lim a存在且不 n→0 小于M
4 若{an } 单减,{an }有两种可能, 即移向负无穷远或无 限接近某一定点A, 因 {an }有下界M, 则 存在且不 小于M. M A • • • • • • • • • • 准则ІІ (单调有界准则) 若数列 {an } 单调有界, 则 lim n n a → 若 an 单增, an 有两种可能, 即移向无穷远或无限接 近某一定点A, 因 an 有上界M, 则 存在且不超过M. lim n n a → o 1 a 2 a A lim n n a → 1 a 2 a o M 其理论证明(略).从几何上说明: 存在
如数列{}及{"}分别是单调减少且下界 n+1 为1及单调增加且上界为1的数列, 由准则I知mm及im 存在.实际上 n-)oo n n-0n+1 lim n+I l。Iim n+1
5 如数列 1 { } n n + { } 1 n n + 由准则ІІ 知 1 lim lim n n 1 n n → → n n + + 及 1 lim 1, lim 1. n n 1 n n → → n n + = = + 及 分别是单调减少且下界 为1及单调增加且上界为1的数列, 存在. 实际上