北京大学物理学院：《数学物理方法》课程教学资源（电子教案）第二部分 数学物理方程 第十九章 积分变换的应用

§19.2 Fourier变换 第5页 19.2 Fourier变换 Fourier变换可对空间变量进行.根据空间变量的变化区间,可以选用 ★ Fourier变换对于无界区间(-∞,∞)上的函数f(x),如果在任意有限区间上只有有限个 极大极小和有限个第一类间断点,且 积分/f(x)dx绝对收敛,则它的 Fourier变换存在 F(k) f(a) dr, 而逆变换(反演)是 F(k) dk 这里的Fomr变換和逆变换的形式可能和读者熟悉的形式略有不同.形式更加对 称,更多地为物理学家所采用 ★正弦变换和余弦变换如果f(x)是定义在半无界区间[0,∞)上,则可根据x=0端边界条 件的不同类型,选用正弦变换 ()=V()如hbd F(k)sin k rdk 或余弦变换 F(k) f(a)cos krde f(x)= F(l)cos k rdk. ★有限正弦、余弦变换如果∫(x)是定义在有界区间上,则应釆用有限正弦或余弦变换 本节介绍无界空间上的 Fourier变换 为了将 Fourier变换应用于求解偏微分方程定解问题,必然涉及函数的 阶导数 的 Fourier变换.设∫(x)的 ourier变换存在,并且引进记号 F(k) f(are dr= 3f(ar) 于是, =f(x) 一ik工 x

§19.2 Fourier C† 1 5  §19.2 Fourier C† FourierC†ŒémCþ?1©ŠâmCþCz«m§Œ±À^ F FourierC† éuÃ.«m(−∞, ∞)þ¼êf(x)§XJ3?¿k«mþkk‡ 4Œ4Úk‡1amä:§… È© Z ∞ −∞ f(x)dxýéÂñ§K§FourierC†3§ F(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(x)e−ikxdx, _C†(‡ü)´ f(x) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k)eikxdk. ùpFourierC†Ú_C†/ªŒUÚÖöÙG/ªÑkØÓ©/ª\é ¡§õ/ÔnÆ[¤æ^© F uC†Ú{uC† XJf(x)´½Â3ŒÃ.«m[0, ∞)þ§KŒŠâx = 0à>.^ ‡ØÓa.§À^uC† F(k) = r 2 π Z ∞ 0 f(x) sin kxdx, f(x) = r 2 π Z ∞ 0 F(k) sin kxdk, ½{uC† F(k) = r 2 π Z ∞ 0 f(x) cos kxdx, f(x) = r 2 π Z ∞ 0 F(k) cos kxdk.. F ku!{uC† XJf(x)´½Â3k.«mþ§KAæ^ku½{uC†© !0Ã.mþFourierC†©  òFourierC†A^u¦) ‡©§½)¯K§7,9¼ê!ê FourierC†©f(x)FourierC†3§¿…Ú?PÒ F(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(x)e−ikxdx = F[f(x)], u´§ 1 √ 2π Z ∞ −∞ f 0 (x)e−ikxdx = 1 √ 2π f(x)e−ikx ¯ ¯ ¯ ∞ −∞ + ik √ 2π Z ∞ −∞ f(x)e−ikxdx,

§19.2 Fourier变换 第6页 由于积分/f(x)d绝对收敛,就一定有limf(x)=0,所以 3f(x) f(x)-kdx=√2 f(r)e ik F(k)=ik3 f(a) 更进一步,当然就有 [f(a)=-k 3f(a) 用 Fourier变换来求解上一节的例1和例2 ★对于例1,即无界杆的热传导问题 -KBx2=f(x,1,-∞<x<∞,t>0 u ∞<x<∞. 可以假设a(x,t)的 Fourier变换存在, U(k 并设 F(k, t) f(a, t) dr 这样,在作 Fourier变换后,定解问题就变为 dU(k, t) +rkU(k, t)=F(k, t) (k,t) 用常数变易法求解这个一阶常微分方程的初值问题,就得到 F(k, T)e" dT. 再求反演, U T F(k,r)e-kk(t-r)eikz dk dr 利用第四章中的结果, e cos 2zt dt= VTe 可以算出 cos rdk 2(-4k(t-7)

§19.2 Fourier C† 1 6  duÈ© Z ∞ −∞ f(x)dxýéÂñ§Ò½k lim x→±∞ f(x) = 0§¤± F[f 0 (x)] = 1 √ 2π Z ∞ −∞ f 0 (x)e−ikxdx = ik √ 2π Z ∞ −∞ f(x)e−ikxdx = ikF(k) = ikF[f(x)]. ?Ú§,Òk F[f 00(x)] = −k 2F[f(x)]. ^FourierC†5¦)þ!~1Ú~2© F éu~1§=Ã.\9D¯K ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), − ∞ < x < ∞, t > 0; u ¯ ¯ t=0 = 0, − ∞ < x < ∞. Œ±bu(x, t)FourierC†3§ U(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ u(x, t)e−ikxdx, ¿ F(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(x, t)e−ikxdx, ù§3ŠFourierC†￾§½)¯KÒC dU(k, t) dt + κk2U(k, t) = F(k, t), U(k, t) ¯ ¯ t=0 = 0, ^~êC´{¦)ù‡~‡©§Њ¯K§Ò U(k, t) = e−κk2 t Z t 0 F(k, τ )eκk2τ dτ. 2¦‡ü§ u(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ U(k, t)eikxdk = Z t 0 · 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k, τ )e−κk2 (t−τ) e ikxdk ¸ dτ. |^1oÙ¥(J§ Z ∞ 0 e −t 2 cos 2xt dt = 1 2 √ πe −x 2 , Œ±ŽÑ 1 √ 2π Z ∞ −∞ e −κk2 (t−τ) e ikxdk = 1 √ 2π Z ∞ −∞ e −κk2 (t−τ) cos kxdk = 1 p 2κ(t − τ ) exp · − x 2 4κ(t − τ ) ¸ ,

§19.2 Fourier变换 第7页 再利用 f(a, t)= F(h, t)edk 根据 Fourier变换的卷积公式 3[f1(x)3[f2(x)]=3 f1()f2(x-)d 就能最后得到 u(r, t) 2√丌 f( T)exp 和上一节中得到的解式完全一样 从解法上看, Fourier变换的反演问题似乎要比 Laplace变换简单一些,因为往往 不需要用留数定理来计算反演中出现的定积分.就本例而言,两种方法都要用到 卷积公式 ★再来解例2,无界弦上的自由振动问题, 02u202 ∞<x<∞,t>0; ul=0=叭(x), =p(x}∞<x<∞ dt lt=o 仍设u(x,t)的 Fourier变换存在 U(k, t)= 1 u(a, t)e da, 开 (k) p(a)e wl(ar)edr, 于是,在作 Fourier变换后,定解问题就变为 dt2+kaU(k, t)=0, (k,)=0=(k),U(k,t)1=0=(k 这是一个二阶常微分方程的初值问题,解之即得 U(k,t)=更(k) cos kat+业(k) sin kat

§19.2 Fourier C† 1 7  2|^ f(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k, t)eikxdk, ŠâFourierC†òÈúª§ F[f1(x)] F[f2(x)] = F · 1 √ 2π Z ∞ −∞ f1(ξ)f2(x − ξ)dξ ¸ , ÒU￾ u(x, t) = Z t 0 ( 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(ξ, τ ) p 2κ(t − τ ) exp · − (x − ξ) 2 4κ(t − τ ) ¸ dξ ) dτ = 1 2 √ κπ Z t 0 ½Z ∞ −∞ f(ξ, τ ) exp · − (x − ξ) 2 4κ(t − τ ) ¸ dξ ¾ dτ √ t − τ . Úþ!¥)ª© l){þw§FourierC†‡ü¯Kq‡'LaplaceC†{ü §Ï ØI‡^3ê½n5OŽ‡ü¥Ñy½È©©Ò~ ó§ü«{ч^ òÈúª© F 25)~2§Ã.uþgdįK§ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, − ∞ < x < ∞, t > 0; u ¯ ¯ t=0 = φ(x), ∂u ∂t ¯ ¯ ¯ t=0 = ψ(x)− ∞, < x < ∞. Eu(x, t)FourierC†3§ U(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ u(x, t)e−ikxdx, ¿ Φ(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ φ(x)e−ikxdx, Ψ(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ ψ(x)e−ikxdx, u´§3ŠFourierC†￾§½)¯KÒC d 2U(k, t) dt 2 + k 2 a 2U(k, t) = 0, U(k, t) ¯ ¯ t=0 = Φ(k), U(k, t) ¯ ¯ t=0 = Ψ(k). ù´‡~‡©§Њ¯K§)ƒ= U(k, t) = Φ(k) cos kat + Ψ(k) sin kat ka .