第十三章 函数列与函数项级数 §1一致收敛性 我们已经知道可以用收敛数列（或数项级数）来表示或定义一个数.本章将 讨论怎样用函数列（或函数项级数）来表示（或定义）一个函数，并研究这个函数 所具有的性质 一 函数列及其一致收敛性 设 fi,f2,…,fn, (1) 是一列定义在同-一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列.（1)也可简单 地写作： {fn}或fn,n=1,2,…. 设xo∈E,以xo代入(1)可得数列 f1（x0),f2(x0),…,fn（x0）,…. (2) 若数列(2)收敛，则称函数列(1)在点x。收敛，xo称为函数列(1)的收敛点.若数 列(2)发散，则称函数列(1)在点x。发散.若函数列(1)在数集DCE上每一点 都收敛，则称(1)在数集D上收敛.这时D上每一点x,都有数列{fn(x)}的一 个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数列(1)的 极限函数.若把此极限函数记作f,则有 limf((x)=f(x),x∈D 或 fn(x)→f(x)(n→o),x∈D 函数列极限的e-N定义是：对每一固定的x∈D,任给正数e,恒存在正数 N(注意：一般说来N值的确定与e和x的值都有关，所以也用N(e,x)表示它 们之间的依赖关系)，使得当n>N时，总有 If (x)-f(x)<e. 使函数列{fn}收敛的全体收敛点集合，称为函数列{∫}的收敛域 例1设fn(x)=x”,n=1,2,…为定义在(-∞，o)上的函数列，证明它的
§1一致收敛性 27 收敛域是(-1,1]，且有极限函数 f(x)= 0,1x1<1, (3) 1,x=1. 证任给e>0(不妨设e<1),当0<x|<1时，由于 |fn(x)-f(x)川=|x|m, 只要项Ne,2)=,当n>N(e,x时，就有 If (x)-f(x)I<e. 当x=0和x=1时，则对任何正整数n,都有 fn(0)-f(0)l=0<e,lfn(1)-f(1)川=0<e. 这就证得fn}在(-1,1]上收敛，且有(3)式所表示的极限函数、 当引x|>1时，则有|x→+∞(n→∞)，当x=一1时，对应的数列为 -1,1,-1,1,… 它显然是发散的.所以函数列{x"}在区间(-1,1]外都是发散的. 0 例2定义在(-0，+0)上的函数列f(x)=sin匹，n=1,2,.由于对 任何实数x,都有 Sir n 故对任给的ε>0，只要n>N=1,就有 sin nx 所以函数列 sin nx 的收敛域为无限区间(-∞，+∞)，极限函数f(x)=0.口 对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限 函数所具有的解析性质.比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连 续性.又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限. 对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D上的收敛是不够的，必须对它在D 上的收敛性提出更高的要求才行，这就是以下所要讨论的一致收敛性问题， 定义1设函数列{fn}与函数f定义在同一数集D上，若对任给的正数e, 总存在某一正整数N,使得当n>N时，对一切x∈D,都有 |fn(x)-f(x)川<e, 则称函数列{fn}在D上一致收敛于f,记作 fn(x)f(x)(n→o),x∈D. 由定义看到，如果函数列fn}在D上一致收敛，那么对于所给的e,不管D
28 第十三章函数列与函数项级数 上哪一点x,总存在公共的N(ε)（即N的选取仅与e有关，与x的取值无关）， 只要n>N,都有 If(x)-f(x)<e. 由此看到函数列{fn}在D上一致收敛，必在D上每一点都收敛.反之，在D上 每一点都收敛的函数列{fn},在D上不一定一致收敛， 如上述例2中函数列m”,对任给正数，不管x取(-0，+0)上什 么值，都可取N=是（它仅依赖于e的值），当n>N时，恒有sn匹 <e,所以 7 函数列严在(-0，+如)止一致收敛于函数(x)=0. 函数列{fn}在D上不一致收敛于函数f,是指它们不满足定义1的条件.但 也可以根据定义1对不一致收敛给予正面的陈述.即函数列(1)在D上不一致 收敛于f的充要条件是：存在某正数εo,对任何正数N,都有D上某一点x'与 正整数n'>N(注意：x'与n'的取值与N有关)，使得 |fn(x)-f(x')≥e. 从前面例1中知道，函数列{x”}在(0,1)上收敛于f(x)=0.我们证明它在 (0,1)上不一致收敛事实上，令0=2，对任何正数N,取正整数n>N+1及 x=(1-)产c0,1),则有 1x-01=1-7≥2 函数列(1)一致收敛于f,从几何意义上讲：对任何正数e,存在正整数N, 对于一切序号大于N的曲线y=f(x),都落在以曲线y=f(x)+e与y= f(x)-e为边（即以曲线y=f(x)为“中心线”，宽度为2ε）的带形区域内（如图 13-1所示). 函数列{x”}在区间(0,1)内不一致收敛，从几何意义上讲：存在某个事先给 定的e(<1),无论N多么大，总有曲线y=x(n>N)不能全部地落在以y=e 与y=-€为边的带形区域内，如图13-2所示，若函数列{x”}只限于在区间 (0,6)6<1)内讨论，容易看到，只要n>品8（其中0<e<1),曲线y=x就全 部落在以y=e和y=-e为上下边的带形区域内.所以{x”}在(0，b)内是一致 收敛的 定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列{fn}在数集D上一致收 敛的充要条件是：对任给正数e,总存在正数N,使得当n,m>N时，对一切x ∈D,都有
§1一致收敛性 29 f(x)+E (x) f(x-E 图13-1 图13-2 1fn(x)-fm（x)l<e. (4) 证[必要性]设fn(x)三f(x)(n→o),x∈D,即对任给e>0,存在 正数N,使得当n>N时，对一切x∈D,都有 lf(x)-f(x)川<号 (5) 于是当n,m>N,由(5)就有 |fn(x)-fm(x)≤Ifn(x)-f(x)l+|f(x)-fm(x)川 <+=e. [充分性]若条件(4)成立，由数列收敛的柯西准则，{fn}在D上任一点都 收敛，记其极限函数为f(x),x∈D.现固定(4)式中的n,让m→∞，于是当 n>N时，对一切x∈D都有 fn(x)-f(x)l≤e. 由定义1，fn(x)f(x）(n→∞)，x∈D. 0 根据一致收敛定义可推出下述定理： 定理13.2函数列{fn}在区间D上一致收敛于f的充要条件是： i8fn(x）-f(x)=0. (6) 证[必要性]若fn(x)三f(x)（n→o),x∈D.则对任给的正数e, 存在不依赖于x的正整数N,当n>N时，有 |fn(x)-f(x)川<e,x∈D 由上确界的定义，亦有 8f.(x)-fxl≤e. 这就证得(6)式成立. [充分性]由假设，对任给ε>0，存在正整数N,使得当n>N时，有 8fa(x）-f(x川<e. (7)
30 第十三章函数列与函数项级数 因为对一切x∈D,总有 Ifn(x)-fx)川≤s8lfn(x)-f(x)I. 故由(7)式得 If (x)-f(x)i<e. 于是{fn}在D上一致收敛于f. 0 在判断函数列是否一致收敛上定理13.2更为方便一些（其缺点是必须事先 知道它的极限函数)，如例2，由于 lim sup sin na 0 n-*∞x∈(-0，+∞） 个 1=0, 所以在(-o,+o)上，n匹0(n→o∞). 例3定义在[0,1]上的函数列 2n2x, 0≤x≤2 fn(x）=2n-2n2x, 1 2n <≤， n=1,2,…, (8) 0, 1<x≤1， 其中n=1,2,3的图象如图13-3所示， y 由于fn(0)=0,故f(0)=limf元(0)=0.当 R- 0<x≤1时，只要n>1,就有n(x）=0,故在 (0,1]上有f(x)=imfn(x)=0.于是函数列(8)在 [0,1]上的极限函数f(x)=0.又由于 ,fn(x)-f(x)川 =f()=n+四(a+0). 6432 图13-3 所以函数列(8)在[0,1]上不-一致收敛， 0 二 函数项级数及其一致收敛性 设{un(x)}是定义在数集E上的一个函数列， 表达式 u1(x）+u2(x）+…+un（x)+…,x∈E (9) 称为定义在E上的函数项级数，简记为∑un(x)或∑un(x).称 。1 S(x）=启(x,x∈E,n=1,2. (10)