§1一致收敛性 31 为函数项级数(9)的部分和函数列， 若xo∈E,数项级数 u1(x0)+u2(x0)+…+un（x0）+… (11) 收敛，即部分和S(x0)=之u4(z)当n→∞时极限存在，则称级数(9)在点 1 x收敛，xo称为级数(9)的收敛点.若级数(11)发散，则称级数(9)在点xo发 散.若级数(9)在E的某个子集D上每点都收敛，则称级数(9)在D上收敛.若 D为级数(9)全体收敛点的集合，这时则称D为级数(9)的收敛域.级数(9)在D 上每一点x与其所对应的数项级数(11)的和S(x)构成一个定义在D上的函 数，称为级数(9)的和函数，并写作 u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…=S(x),x∈D, 即 limS.(x）=S(x),x∈D. 也就是说，函数项级数(9)的收敛性就是指它的部分和函数列(10)的收敛 性」 例4定义在(-∞，+∞)上的函数项级数（几何级数） 1+x+x2+…+x”+… (12) 的部分和函数为Sn(x)=二.当x<1时， 1-x S(x）=imSa(x）=1-z 1 所以几何级数(12)在(-1,1)内收敛于和函数S(x)=当1x≥1时，几何 级数是发散的 0 函数项级数(9)的二致收敛性定义如下： 定义2设{Sn(x)}是函数项级数∑un(x)的部分和函数列.若{Sn(x)}在 数集D上一致收敛于函数S(x),则称函数项级数∑un(x)在D上一致收敛于 函数S(x),或称∑un（x)在D上一致收敛 由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以由前段 中有关函数列一致收敛的定理，都可推出相应的有关函数项级数的定理： 定理13.3（一致收敛的柯西准则）函数项级数∑un(x)在数集D上一致 收敛的充要条件为：对任给的正数e,总存在某正整数N,使得当n>N时，对 切x∈D和一切正整数力，都有 IS+p(x)-S,(x)I<e 或
32 第十三章函数列与函数项级数 |un+1(x）+un+2(x）+…+n+o(x)川<e. 此定理中当p=1时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件 推论函数项级数)un（x)在数集D上一致收敛的必要条件是函数列 {u,m（x)}在D上一致收敛于零. 设函数项级数un(x)在D上的和函数为S(x),称 R(x)=S(x)-S,(x) 为函数项级数∑un（x)的余项 定理13.4函数项级数∑u,n(x)在数集D上一致收敛于S(x)的充要条件 是 im8R.(x）=lim8ls(x）-S.(x）川=0. 我们再来看例4中的级数∑x,若仅在[-a,a](a<1)上讨论，则由 n二0 x” 9.1S.(x）-S(x川=p-'z =1一-→0 可得级数∑x”在[-a,a]上一致收敛.若在(-1,1)上讨论这个级数，则由 n+1/ S.(x）-S(x川= n+ =nni(n→o) 知道级数∑x”在(-1,1)内不一致收敛 三 函数项级数的一致收敛性判别法 判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义或定理13.4外，有些级数还可 根据级数各项的特性来判别 定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法）设函数项级数∑um（x)定义在数集D 上，Mn为收敛的正项级数，若对一切x∈D,有 |un(x)l≤Mn,n=1,2,…, (13) 则函数项级数∑um(x)在D上一致收敛 证由假设正项级数∑Mn收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数ε，存 在某正整数N,使得当n>N及任何正整数p,有 |Mn+1+…+Mn+p|=Mn+1+…+Mn+p<e. 又由(13)式对一切x∈D有
§1一致收敛性 33 |un+1（x）+…+un+b(x)川≤un+i(x)+…+|un+b(x)川 ≤Mn+l+…+Mn+p<e. 根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数)un(x)在D上一致收敛. 0 例5函数项级数 cos ne n2 在(-∞，+∞)上.一致收敛.因为对-一切x∈（-∞，+∞)有 sin nx n2 n2 ≤0 而正项级数是收敛的 0 定理13.5也称为M判别法或优级数判别法.当级数>un（x)与级数∑M, 在区间[a,b]上成立关系式(13)时，则称级数∑Mn在[a,b]上优于级数 ∑un（x),或称∑Mn为un(x)的优级数 下面讨论定义在区间I上形如 2un（x)n(x)=u1(x)v1(x）+u2(x)w2(x）+… +un（x)vn(x）+… (14) 的函数项级数的一致收敛性判别法，它与数项级数一样，也是基于阿贝耳分部求 和公式（第十二章§3的引理）. 定理13.6（阿贝耳判别法）设 (i)∑un(x)在区间I上一致收剑敛： (i)对于每一个x∈I,{vn(x)}是单调的； (i){n(x)}在I上一致有界，即对一切x∈I和正整数n,存在正数M, 使得 lvn(x)≤M, 则级数(14)在I上一致收敛 证由(i),任给e>0,存在某正数N,使得当n>N及任何正整数p,对一 切x∈I,有 un+i（x)+…+un+o(x）川<e 又由(ii),()及阿贝耳引理（第十二章§3引理的推论）得到 |un+i（x)n+（x）+…+untp（x）n+p（x)l ≤(|vn+（x)l+2|n+1(x)|)e≤3Me. 于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则就得到本定理的结论 0 定理13.7（狄利克雷判别法）设 (i)∑un（x)的部分和函数列
34 第十三章函数列与函数项级数 U(x)=2(x)(n=1,2,…） 在I上一致有界； (i)对于每一个x∈I,{Un(x)}是单调的； (ii)在I上vn(x)主0(n→∞）， 则级数(14)在I上一致收敛. 证证法与定理13.6相仿.由(i),存在正数M,对一切x∈I,有Un(x)川 ≤M.因此当n,p为任何正整数时， lun+i(x)+…+un+p(x)川=|Un+b(x)-Un(x)≤2M. 对任何一个x∈I,再由()及阿贝耳引理，得到 |ur+i(x)on+i(x）+…+un+px)vn+p（x)川 ≤2M(vn+1(x)川+2n+b(x)|). 再由(ii),对任给的e>0,存在正数N,当n>N时，对一切x∈I,有 lv(x)!<e, 所以 |un+i(x)un+1(x）+…+un+p(x)on+p(x)l<2M(e+2e）=6Me. 于是由一致收敛性的柯西准则，级数(14)在I上一致收敛， 0 例6函数项级数 -1)”(x+n) niI 在0.1上-爱收敛因为记，()=少，()=1+广 时，由阿贝耳 判别法（定理13.6）就能得到结果 0 例7若数列{an}单调且收敛于零，则级数 ∑a,cos nx (15) 在[a,2x-a](0<a<x)上一致收敛 证由第十二章§3(21)式，在[a,2r-a]上有 n(a+分 2sn号 1 十 2m引 2 2sin a
§1一致收敛性 35 所以级数∑cos nx的部分和函数列在[a,2π-a]上一致有界①，于是令 u (x)=cos nx,Un (x)=an, 则由狄利克雷判别法可得级数(15)在[a,2π-α]上一致收敛 0 对于例7中的级数(15)，只要{a,}单调且收敛于零，那么级数(15)在不包含 2kπ(k=0,±1，±2，…)的任何闭区间上都一致收敛 习 题 1.讨论下列函数列在所示区间D上是否一致收敛，并说明理由： 0fx)V2+.A=1.2,D=(-1.: (2)fx)=1+开x2n=12,,D=(-o,+o) -(n+1z+l,0≤ni (3)fn(x)= 0, n<x<1,=12,…: (4)f(x)=,n=1,2,…,(i)D=0,+∞)，(i)D=[0,100]; (5)(x)=sn7,n=1,2,…,()D=[-l,l小，(iD=(-o,+o）. 2.证明：设fn(x)→f(x),x∈D,an→0(n→∞）(an>0).若对每-个正整数n有 1fn(x)-f(x)≤am,x∈D,则{fn}在D上一致收敛于f, 3.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性： ()2mz[-,]: ②号-0，+为 (3)2x>≥1 age0.: 62(,+. @(-,+ 4.设函数项级数4（x)在D上一致收敛于S(x),函数g(x)在D上有界.证明级数 g(x)un(x)在D上一致收敛于g(x)S(x). 5.若在区间1上，对任何正整数n, |un(x)|≤n(x), 证明当vn(x)在【上一致收敛时，级数un（x）在I上也一致收敛 6.设un(x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数，证明：若un(a)与un(b)都绝对收 敛，则un（x)在[a,b]上绝对且一致收敛 ①对于定义在D上函数列{fn(x)},若存在正数M,对一切x∈D,都有lfn(x)川≤M(n=1,2, …)成立，则称{fn(x)}在D上一致有界