16 第十二章数项级数 习 题 1.应用比较原则判别下列级数的敛散性： ωnai (2）y2”sin 3n (4)1 点(nn) (5)y(1-日)月 (6)1 (7)y(a-1)(a>1); 会 (9)S(a+a片-2)(a>0). 2.用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性： y32-卫： (2)n+1!」 10n 3)s(2m); (4)n 》: (6)83n; n” )(”( 其中an→a(n→o∞)；an,b,a>0,且a≠b). 3.设un和vn为正项级数，且存在正数No,对一切n>No,有 4出≤山 un 证明：若级数vn收敛，则级数∑un也收敛；若∑un发散，则∑℃n也发散 4.设正项级数∑an收敛，证明∑a亦收敛；试问反之是否成立？ 5.设an≥0，n=1,2,….且{nan}有界，证明a收敛。 6.设级数公a收敛，证明》马(a,>0)也收敛. n 7.设正项级数∑un收敛，证明级数∑√unn+1也收敛. 8.利用级数收敛的必要条件，证明下列等式： )四=0： (2)im2nl=0(a>1). n-oo gn! 9.用积分判别法讨论下列级数的敛散性： 1)2+i 2)n4 8)g而dn 4) 1 台n(lnn)P(nlnn)9 10.设a为递减正项数列，证明：级数∑0.与∑2”02同时收敛或同时发救
§3一般项级数 17 11.用拉贝判别法判别下列级数的敛散性： 0g=,1 n! 24…(2n)2n+1 (2)2(x+1)(x+2)(x+n (x>0). 12.用根式判别法证明级数∑2m(-1)“收敛，并说明比式判别法对此级数无效. 13.求下列极限（其中p>1): 回[ata2t+2a] 1. 2)画(+*+，) 1 14.设an>0,证明数列{(1+a1)(1+a2小(1+an)}与级数少an同时收敛或同时发散。 §3一般项级数 上节我们讨论了正项级数的收敛性问题，关于一般数项级数的收敛性判别 问题要比正项级数复杂，本节只讨论某些特殊类型的级数的收敛性问题， 一 交错级数 若级数的各项符号正负相间，即 u1-u2+3-u4+…+(-1)m+'un+…(un>0,n=1,2,…）,(l) 则称(1)为交错级数， 定理12.11（莱布尼茨判别法）若交错级数(1)满足下述两个条件： (i)数列un}单调递减： (ii)limun=0, 月物00 则级数(1)收敛 证考察交错级数(1)的部分和数列{Sn},它的奇数项和偶数项分别为 S2m-1=u1-（u2-u3）-…-（42m-2-42m-1）, S2m=(u1-u2）+（u3-u4）+…+（u2m-1-u2m）. 由条件(i),上述两式中各个括号内的数都是非负的，从而数列{S2m-1}是递减 的，而数列{S2m}是递增的.又由条件(ii)知道 0<S2m-f-S2m=u2m→0(m→∞）， 从而{[S2m,S2m-1]}是一个区间套.由区间套定理，存在推一的一个数S,使得 lim S2m-1 lim S2m S. 所以数列{Sn}收敛，即级数(1)收敛. 0 推论若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数(1)的余项估汁 式为 |Rn|≤un+i 对于下列交错级数应用莱布尼茨判别法检验，容易检验它们都是收敛的
18 第十二章数项级数 +号+…+(-1)1 1、1 n+1+…; (2) 1-京+分7+…+(-10200+…， (3) 品忌+品音++(0+… (4) 二 绝对收敛级数及其性质 若级数 u1+u2+…+un+… (5) 各项绝对值所组成的级数 |u1l+u2+…+|un|+… (6) 收敛，则称原级数(5)为绝对收敛， 定理12.12绝对收敛的级数一定收敛， 证由于级数(6)收敛，根据级数的柯西收敛准则，对任意正数ε，总存在正 数N,使得对n>N和任意正整数r,有 |um+1l+4m+2+…+um+r|<e: 由于 |4m+1+4m+2+…+m+r|≤|4m+1l+m+2+…+14n+r}<e, 因此由柯西准则知级数(5)也收敛， 0 对于级数(5)是否绝对收敛，可引用正项级数的各种判别法对级数(6)进行 考察 例1级数 +…++… 的各项绝对值所组成的级数是 2=1a+g+…+l 十… 2！ n！ 应用比式判别法，对于任何实数α都有 unti n+1=0, lim- 因此，所考察的级数对任何实数α都绝对收敛， 0 若级数(5)收敛，但级数(6)不收敛，则称级数(5)为条件收敛. 例如级数(2)是条件收敛，而级数(3)、(4)则是绝对收敛 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级数两大类 下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质， 1.级数的重排
§3一般项级数 19 我们把正整数列{1,2，…，n,…}到它自身的一一映射f:n→k(n)称为正 整数列的重排，相应地对于数列{un}按映射F:un→u(n)所得到的数列{u(n)} 称为原级数的重排.相应于此，我们也称级数∑4)是级数(5)的重排.为叙 述上的方便，记n=44,即把级数∑4m写作 n÷ 1+3+…+0n+…. (7) 定理12.13设级数(5)绝对收敛，且其和等于S,则任意重排后所得到的级 数(7)也绝对收敛亦有相同的和数. 证先假设级数(5)是正项级数，用Sn表示它的第n个部分和，现以 0m=v1+V2+…+m 表示级数(7)的第m个部分和.因为级数(7)为级数(5)的重排，所以每一4(1≤k≤m)都等 于某一“(1≤≤m).记 n=maxi1,i2,…,im, 则对任何m,都存在n,使om≤S. 由于imSn=S,所以对任何正整数m都有om≤S,即得级数(7)收敛，且其和σ≤S 由于级数(5)也可看作级数(7)的重排，所以也有S≤σ，从而推得σ=S 若级数(5)是一般项级数且绝对收敛，则由级数(6)收敛及上述证明可推得级数∑引v|也 收敛，即级数(7)是绝对收敛的 最后证明绝对收敛级数(7)的和也等于S.为此，令 ,=,g= (8) 2 2 当4n≥0时，pn=un0,9.=0;当n<0时，pn=0,gn=|4n|=-4n≥0.从而有 0≤pn≤um1,0≤qn≤|un1, (9) Pn+gn =l un l,Pn-9n un. (10) 因为级数(5)绝对收敛，故由(9)知道∑pn,qn都是正项的收敛级数.再由定理12.2可得 S=∑un=∑pn-2q 对于级数(5)重排后所得到的级数(7)，也可按(8)式的办法，把它表示为两个收敛的正项级数 之差 ∑vn=∑pn-2qn, 其中∑p,》q分别是》p,∑qn的重排，前面已经证明收敛的正项级数重排后，它的和不 变，从而有 ∑vn=pi-qa=∑pn-qn=S. 0 注意：由条件收敛级数重排后所得到的新级数，即使收敛，也不一定收敛于 原来的和数.而且条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事 先指定的数.例如级数(2)是条件收敛的，设其和为A,即
20 第十二章数项级数 (-01=1-+4+-6+号+…=A n=1 乘以常数后，有 分(-0日名子+君日+…=分 将上述两个级数相加，就得到 1+片-3+号+7-4+=2A. 2.级数的乘积 由定理12.2知道，若∑un为收敛级数，a为常数，则 a∑un=aun, 由此立刻可以推广到收敛级数 ∑“，与有限项和的乘积，即 n= (a+a++a)-2之w n=1 n=1k=1 现在讨论在什么条件下能把它推广到无穷级数之间的乘积上去？ 设有收敛级数 2un=u1+u2+…+um+…=A, (11) Vn=V1+2+…+vm+…=B. (12) 把级数(11)与(12)中每-一项所有可能的乘积列成下表： u11u12u1V3…u1Vn u2U1u22u2U3…u2vn u3U1u3v2u3v3…u3vn (13) un1un2un3…unn 这些乘积“心，可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序或按对 角线顺序（图12-1所示）依次相加，于是分别有 u1V1+u1v2+u2v2+u2v1+u1V3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1+ (14) 和 u1U1+u1v2+u2v1+u1U3+u2v2+u3v1+…. (15)