§2正项级数 11 (ii)若对一切n>No,成立不等式 un≥1， (12) 则级数∑un发散. 证由(11)式有 un≤l" 因为等比级数∑m当0<I<1时收敛，故由比较原则，这时级数∑un也收敛，对 于情形()，由(12)式可推得 um≥1n=1. 当n→∞时，显然“。不可能以零为极限，因而由级数收敛的必要条件可知，级数 ∑un是发散的 0 推论1（根式判别法的极限形式）设u为正项级数，且 lim√Wun=l, (13) 则 (i)当l<1时，级数∑un收敛； (i)当l>1时，级数un发散 证由(13)式，当取e<|1-l时，存在某正数N,对一切n>N,有 1-E<Ju I +e. 于是由定理12.8就能得到这个推论所要证明的结论 0 例7研究级数Σ2+1严的敛散性. 27 解由于 lim u=lim n2+正=2， 2 所以级数是收敛的 0 若在(13)式中L=1,则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判断.例如， 对品和，都有 un→1(n→∞). 但》是收敛的，而乃却是发散的。 若(13)式的极限不存在，则可根据根式u的上极限来判断， 推论2设∑un为正项级数，且 lim un=l, 则当 (i)l<1时级数收敛； ()L>1时级数发散
12 第十二章数项级数 本推论的证明可仿照推论1的证法进行， 例8考察级数 b+c+b2+c2+…+bm+c”+…, 其中0<b<c<1 解由于 %=a, (m→o) (6m+1)2m→√ 及 lim yu =ve<1, 分产Q 因此级数是收敛的.但若应用比式判别法，则由于 lim=lim 67+1 典2= cA=0<1, 则无法应用定理12.7推论2判断其收敛性 0 读者已从第二章总练习题4(7)知道，若 lim untl =g, un 则必有 lim u =q. 2 这说明凡能由比式判别法鉴别收敛性的级数，它也能由根式判别法来判断，而且 可以说，根式判别法较之比式判别法更有效.例如，级数2+1)”.由于 2n 3 22m lim u2m=lim m+∞认2m-1 m-+*00 1 2 22m1 1 认2mt1=lim 22m+1 m+0∞ 3 6 22 故由比式判别法无法鉴别此级数的收敛性，但应用根式判别法来考察这个级数 (例7)，可知此级数是收敛的. 三积分判别法 积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对 象来判断正项级数的敛散性， 定理12.9设f为[1，+∞)上非负诚函数，那么正项级数∑f(n)与反常
§2正项级数 13 积分，f(x)dx同时收敛或同时发散。 证由假设f为[1，+∞)上非负减函数，对任何正数A,∫在[1，A]上可 积，从而有 f(n)≤fx)dx≤f(n-1),n=2,3… 依次相加可得 r)≤fxa≤rm-)=rm). (14) 若反常积分收敛，则由(14)式左边，对任何正整数m,有 sn=2f(n)≤f1)+f(z)dx≤f)+月f(x)dx 根据定理12.5，级数∑f(n)收敛. 反之，若∑f(n)为收敛级数，则由(14)式右边，对任一正整数m(>1)有 J1f(x)dz≤Sm-1≤f(n)=S. (15) 因为f(x)为非负减函数，故对任何正数A,都有 0≤fx)ar≤s.<S,n≤A≤n+1. 联系(15)式及定理11.2得反常积分f(x)dx收敛 用同样方法，读者可以证明∑f(n)与，f(x)dx是同时发散的. 0 例9讨论p级数∑的敛散性. 解 函数八x)=,当p>0时在[1，+o)上是非负减函数.由第十一章 S2例3知道反常积分】竖在p>1时收敛，≤1时发散故由定理12.9得 记当p>1时收敛，当0<≤1时发散：至于0的情形，则可由定理12 推论知道它也是发散的 0 例10讨论下列级数 ) n(I n)i =3 n(In n)(Inin n) 的敛散性， 解研究反常积分 dx 2x(nxp,由于
14 第十二章数项级数 当p>1时收敛，p≤1时发散.根据定理12.9知级数(i)在p>1时收敛，p≤1 时发散。 dx 对于()，考察反常积分」)cn)%n)p,同样可推得级数()在力>1 时收敛，在p≤1时发散， 0 *四拉贝判别法 比式判别法和根式判别法是基于把所要判断的级数与某一等比级数相比较的想法而得 到的，也就是说，只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一等比级数收敛速度快的级数，这 两方法才能鉴定出它的收敛性.如果级数的通项收敛速度较慢，它们就无能为力了.因此为了 获得判别范围更大的一类级数，就必须寻找级数的通项收敛于零较慢的级数作为比较标准. 以p级数为比较标准，得到拉贝(Raabe)判别法，现介绍如下： 定理12,10（拉贝判别法）设∑u.为正项级数，且存在某正整数N。及常数r, (i)若对一切n>No,成立不等式 -r>1 则级数∑un收敛； (i)若对一切n>No,成立不等式 1-1, 则级数∑un发散. 正(0由-≥，可得<1-斤选p俊1K<由于 1-4- -1上业=-，=2<1， rx 因此，存在正数N,使对任意n>N, 斤>1-(1-尸 这样 <1-(1-(1-)=(1-'=(2m2）” 于是，当n>N时就有 41=%…%1w 认nn-1 ≤(nyP(》…(Nyw
§2正项级数 15 -(N1.w n 当p>1时，收敛，故级数公，是收敛的 由-1可得“-=于是 41=1.42…2.w2 un un-1 u2 >n-1.n-2 z·2二i、··2·u2 =1w2 因为2片发散，故公“，是发散的： ◇ 推论（拉贝判别法的极限形式） 设∑un为正项级数，且极限 lingn(1- u+1 un 存在，则 (i)当r>1时，级数∑un收敛； (i)当r<1时，级数∑um发散， 例11讨论级数 ] (16) 当5=1,2,3时的敛散性 解无论s=1,2,3哪一值，对级数(16)的比式极限，都有 =1 所以用比式判别法无法判别级数(16)的敛散性.现在应用拉贝判别法来讨论，当s=1时，由 必 -）1-2+》=22 (n→∞)， 所以级数(16)是发散的.当s=2时，由于 -）=1-(贸+]+》别 +1(n→∞)， 这时拉贝判别法也无法对级数(16)作出判断.当s=3时，由于 1-）=1-(+》门-a2++2》-多 (2n+2)3 (n→oo), 所以级数(16)收敛 0 从上面看到，比式判别法有其局限性，拉贝判别法虽然判别的范围比它更广泛些，但当r= 1时仍无法判别.我们还可以建立比拉贝判别法更为有效的方法，但这个过程是无限的.虽然每 次都能得到新的、判别范围更广泛的判别法，但这些判别法也更加复杂.这里就不再介绍了