第十二章数项级数 8.证明级数∑un收敛的充要条件是：任给正数e,存在某正整数N,对一切n>N总有 4w+uN+l+…+wa<e. 9.举例说明：若级数∑“n对每个固定的p满足条件 lim(ua+1+…+4ntp）=0, 此级数仍可能不收敛 《n 号中的“4+1,42+2，…，私n,符号相同，证明∑4亦收敛， §2正项级数 正项级数收敛性的一般判别原则 若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数.对于同号级数，只须研 究各项都是由正数组成的级数一称为正项级数.如果级数的各项都是负数，则 它乘以一1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性 定理12.5正项级数∑4n收敛的充要条件是：部分和数列{Sn}有界，即存 在某正数M,对一切正整数n有Sn<M 证由于u:>0(i=1,2,…),所以{Sn}是递增数列.而单调数列收敛的充 要条件是该数列有界（单调有界定理（定理2.9）).这就证得本定理的结论.口 定理12.6（比较原则）设》un和∑vn是两个正项级数，如果存在某正数 N,对一切n>N都有 un≤vn, (1) 则 (i)若级数∑vn收敛，则级数∑un也收敛； ()若级数∑u,发散，则级数∑vn也发散， 证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性，因此不妨设不等 式(1)对一切正整数都成立。 现分别以S和S记级数∑um与∑vn的部分和.由(1)式推得，对一切正 整数n,都有 S0≤S% (2) 若∑vn收敛，即limS%存在，则由(2)式对一切n有S%≤limS%,即正项级数 分00 ∑un的部分和数列{S”}有界，由定理12.5级数∑un收敛.这就证明了(i);(ii) 为()的逆否命题，自然成立· 0
§2正项级数 例1考察之 一的收敛性。 解 由于当n≥2时，有 1 1一 n2-n+1≤2-n=n(m-)≤(m- 因为正项级数 1 台(n-12 收敛（§1例4），故由定理12.6和12.3，级数 ∑n2-n+1 也收敛。 0 在实际使用上，比较原则的下述极限形式通常更为方便. 推论设 u1+u2十…十4n+“, (3) V1+V2+…+Vn+… (4) 是两个正项级数，若 lim 认E=l, (5) 则 ()当0<1<+∞时，级数(3)、(4)同时收敛或同时发散； (i)当l=0且级数(4)收敛时，级数(3)也收敛； (i)当l=+∞且级数(4)发散时，级数(3)也发散， 证由(5)，对任给正数e,存在某正数N,当n>N时，恒有 <e 或 (l-e)Un<un<(l+e)Un (6) 由定理12.6及(6)式推得，当0<1<+∞（这里设e<l)时，级数(3）与(4)同时 收敛或同时发散.这就证得() 对于(i),当l=0时，由(6)式右半部分及比较原则可得：若级数(4)收敛，则 级数(3)也收敛. 对于(ii),若l=+∞，即对任给的正数M,存在相应的正数N,当n>N 时，都有 un>M Vn 或 un>Mu
第十二章数项级数 于是由比较原则知道，若级数(4)发散，则级数(3)也发散 0 例2级数 是收敛的，因为 1 2”-n=lim 2n lim lim-1 2n-n- =1 1 2n 以及等比级数二收敛，所以根据推论，级数乙2。n也收敛。 例3级数 ∑s血=n1+sm2++si如}+… n 是发散的.因为 1 sin n1， 2 根据推论以及调和级数∑上发散，所以级数∑sinI也发散 0 二比式判别法和根式判别法 根据比较原则，可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他 级数的敛散性.本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的. 定理12.7（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设∑u,为正项级数，且存 在某正整数No及常数g(0<g<1). (i)若对一切n>No,成立不等式 un+1≤q, (7) un 则级数un收敛. (ii)若对一切n>No,成立不等式 m+1≥1， (8) nn 则级数un发散 证(i)不妨设不等式(7)对一切n≥1成立，于是有 2≤，≤1≤q 把前n-1个不等式按项相乘后，得到
§2正项级数 9 42.“3..41≤q-l ul u2 un-1 或者 wn≤u1g”-l. 由于当0<q<1时，等比级数∑g1收敛，根据比较原则及上述不等式可推得 分三1 级数un收敛 (i)由于n>No时成立不等式(8)，即有 un+1≥n≥uN。 于是当n→∞时，un的极限不可能为零.由定理12.1推论知级数∑u是发散 的 0 推论1（比式判别法的极限形式）若∑un为正项级数，且 un+1二q, (9) 则 (i)当q<1时，级数∑un收敛； (i)当q>1或q=+o∞时，级数∑un发散. 证由(9)式，对任意取定的正数e(<|1-q),存在正数N,当n>N时， 都有 g-e<“au<gte. un 当q<1时，取e使g+e<1,由上述不等式的右半部分及定理12.7的(i),推得 级数un是收敛的， 若q>1,则取e使q-e>1,由上述不等式的左半部分及定理12.7的(i), 推得级数∑un是发散的 若q=+o∞，则存在N,当n>N时有 n+1>1, nn 所以这时级数∑un是发散的. 0 例4级数 层+23+：8…+8别+ 由于 画“=4=<1
10 第十二章数项级数 根据推论1级数是收敛的， 0 例5讨论级数∑nxn-1(x>0)的敛散性. 解因为 4出l=(n+1)x=工.”+1→x(n→o), 认n 九x1 根据推论1，当0<x<1时级数收敛；当x>1时级数发散；而当x=1时，所考 察的级数是∑n,它显然也是发散的 0 若(9)中q=1,这时用比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可 能是收敛的，也可能是发散的.例如级数公和公，它们的比式极限都是 un+1→1 （n→oo), un 但∑12是收敛的(S1例4)，而∑却是发散的（§1例3）. 若某级数的(9)式的极限不存在，则可应用上、下极限来判别 推论2设∑un为正项级数 ()若m“,1=q<1,则级数收敛； n*om认n ()若四1=q>1,则级数发散 n 对本推论读者可仿照推论1的方法证明 例6研究级数 1+b+bc+b2c+b2c2+…+bc"-1+bc+… (10) 的敛散性，其中0<b<c. 解由于 n1= b,n为奇数， c,n为偶数， 故有 lim 1=c,盟un n+1=b, un 于是，当c<1时，级数(10)收敛：当b>1时，级数(10)发散：但当b<1<c时，比式判别法无 法判断级数(0)的敛散性， 0 定理12.8（柯西判别法，或称根式判别法）设∑un为正项级数，且存在某 正数No及正常数L, (i)若对一切n>N0,成立不等式 un≤l<1, (11) 则级数∑un收敛；