第十二章 数项级数 §1级数的收敛性 读者已经在初等数学中知道：有限个实数u1,u2,…,un相加，其结果是一 个实数.本章将讨论“无限个实数相加”所可能出现的情形及其特征.例如，在第 二章提到〈庄子·天下篇》“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的例中，把每天截下那 一部分的长度“加”起来： +是+员+…++… 这就是“无限个数相加”的一个例子.从直观上可以看到，它的和是1.再如下面 由“无限个数相加”的表达式 1+(-1)+1+(-1)+ 中，如果将它写作 (1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+…, 其结果无疑是0，如写作 1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+…=1+0+0+0+…, 其结果则是1，因此两个结果完全不同.由此提出这样的问题：“无限个数相加” 是否存在“和”；如果存在，“和”等于什么？可见，“无限个数相加”不能简单地引 用有限个数相加的概念，而需建立它本身严格的理论. 定义1给定一个数列{un},对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 u1+u2+…+un+… (1) 称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中un称为数项级数(1)的通项， 数项级数(1)也常写作：∑4，或简单写作u 数项级数(1)的前n项之和，记为 Sn=4=41+2+…+, (2) 2= 称它为数项级数(1)的第n个部分和，也简称部分和。 定义2若数项级数(1)的部分和数列{Sn}收敛于S(即lim S=S),则称
第十二章数项级数 数项级数(1)收敛，称S为数项级数(1)的和，记作 S=u1+u2+…+un+…或S=∑un 若{Sn}是发散数列，则称数项级数(1)发散， 例1讨论等比级数（也称为几何级数） a+ag+ag2+…+aq”+… (3) 的收敛性(a≠0). 解q≠1时，级数(3)的第n个部分和 S=a+ag+…+ag-1=a.1-g 1-q 因此， (i)当q<1时，lim Sn=lima' 1-g=,a.此时级数(3)收敛，其和为 1-q1-9 1-q (i)当|q|>1时，lim S=oo,级数(3)发散. (ii)当q=1时，Sn=na,级数发散.。 当q=-1时，S2k=0,S2k+1=a,k=0,1,2,…,级数发散。 总之，|q|<1时，级数(3)收敛；q≥1时，级数(3)发散. 0 例2讨论数项级数 1 12+2:3+…+n(m++ (4) 的收敛性 解级数(4)的第n个部分和 .=2+23+++ 1 =(1-2)+(分-+…+(0-m+） 1-n+1 由于 照s。=m(1-n十i)=1, 因此级数(4)收敛，且 12+23+…+n(n+D+…=1. 0 由于级数(1)的收敛或发散（简称敛散性），是由它的部分和数列{S}来确 4
§1级数的收敛性 3 定，因而也可把级数(1)作为数列{Sn}的另一种表现形式.反之，任给一个数列 {an},如果把它看作某一数项级数的部分和数列，则这个数项级数就是 之，=a1+(a2-a1+(a-ag）+…+(an-a)+. (5) 这时数列{an}与级数(5)具有相同的敛散性，且当{an}收敛时，其极限值就是级 数(5)的和. 基于级数与数列的这种关系，读者不难根据数列极限的性质推出下面有关 级数的一些定理 定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数(1)收敛的充要条件是：任给正数 e,总存在正整数N,使得当m>N以及对任意的正整数p,都有 um+l+um+2++umtp<e. (6) 根据定理12.1，我们立刻可写出级数(1)发散的充要条件：存在某正数e0, 对任何正整数N,总存在正整数mo(>N)和po,有 um,+1+umn+2+…+um,+p。≥e0 (7) 由定理12.1立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件 推论若级数(1)收敛，则 limu =0. 例3讨论调和级数 1+分+}+…++… 的敛散性， 解这里调和级数显然满足推论的结论，即 limu lim 1=0. 但令p=m时，有 =2 因此，取0=，对任何正整数N,只要m>N和力=m就有(7)式成立.所以 调和级数是发散的 例4应用级数收敛的柯西准则证明级数1收敛。 n
第十二章数项级数 证由于 um+1+m+2+…+m+p 1 1 1 =(m+1y+(m+2+…+ (m+p)2 <m(m(m1m2(mtp( 1 =1-1 mm+p 因此，对任给正数e,取N=[],使当m>N及对任意正整数力，由上式就有 |um++un+2+…+u+p<<e. m 依定理12.1推得级数3是收敛的。 0 定理12.2若级数∑un与∑vn都收敛，则对任意常数c,d,级数∑(cun十 dvn)亦收敛，且 ∑(cun+dvn）=c∑un+d∑un· 由定理12.1，级数∑u,的敛散性取决于：对任给正数€，是否存在充分大的 正数N,使得当n>N及对任意正整数p恒有(6)式成立.由此可见，一个级数 是否收敛与级数前面有限项的取值无关.从而我们可得到以下定理！ 定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性. 由此定理知道，若级数∑un收敛，其和为S,则级数 un+1+u+2+ (8) 也收敛，且其和Rn=S-S.·(8)式称为级数∑un的第n个余项（或简称余项）， 它表示以部分和S,n代替S时所产生的误差 定理12.4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不 改变它的和， 证设∑un为收敛级数，其和为S.记 v1=u1+…+儿m,2=n,t1+…+un2’…, g=%-1+1+…+n’… 现在证明公4，加括号后的级数习(“，1+…+“)=∑也收敛，且其和 b1 也是S.事实上，设{Sn}为收敛级数∑um的部分和数列，则级数∑vk的部分和
§1级数的收敛性 5 数列{Sm,}是{Sn}的一个子列.由于{Sn}收敛，且1imSn=S.故由子列性质， {S%,}也收敛，且imS,=S,即级数∑uk收敛，且它的和也等于S 0 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛.例如 (1-1)+（1-1)+…+(1-1)+…=0+0+0+…=0 收敛，但级数 1-1+1-1+… 却是发散的， 习 题 1.证明下列级数的收敛性，并求其和数： ()6+6+6+…+5m-45m+n+…, 2)(分+号）+（空+）++（品+）+… (3)aa+ia+2 (④ga*2-2/+1+a: 5)822 2.证明：若级数∑un发散，c≠0，则∑cun也发散. 3.设级数∑un与∑vn都发散，试问∑(wn+a)一定发散吗？又若n与(n=1,2, …)都是非负数，则能得出什么结论？ 4.证明：若数列1a,}收敛于，则级数∑(a。-a+1)=a1-a. 5.证明：若数列{bn}有1imbn=o,则 (1)级数∑(b+1-bn)发散； (2)当6,0时，级数（合6）= 6.应用第4,5题的结果求下列级数的和： (a会a+-a+n: 1 2)(-10+12a品 n(n+1) (3)含+aD+ 2n+1 7.应用柯西准则判别下列级数的敛散性： 0架， (2)2”-'a 2n2+1: (3)-1 (4)2 √n+m