4.1.3不定积分的几何意义： f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 f(x)dx的图形 f(x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族 Xo 机动 返回
f (x)的原函数的图形称为 f (x) f (x)dx 的图形 f (x) 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. y o x0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线
例1.设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程 解： y=2x y=∫2xdr=x2+C 所求曲线过点(1,2)，故有 (1,2) 2=12+C C=1 因此所求曲线为y=x2+1 机动 下贞 返回
且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: y 2x y 2xdx x C 2 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 C 2 2 1 C 1 因此所求曲线为 1 2 y x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x (1, 2)
例2.质点在距地面xo处以初速垂直上抛，不计阻 力，求它的运动规律 解：取质点运动轨迹为坐标轴，原点在地面，指向朝上， 质点抛出时刻为t=0,此时质点位置为x,初速为o· 设时刻t质点所在位置为x=x(t),则 dx =v(t) (运动速度) dt x=x(t) 再由此求x() d2x dv d 12 dt =-9 (加速度) x0=x(0) 先由此求v(t) 机动
o x 0x 处以初速 0v 力, 求它的运动规律. 解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 , (0) 0x x x x(t) 质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 x x(t), 则 ( ) d d v t t x (运动速度) t v t x d d d d 2 2 g (加速度) . 0v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直上抛 , 不计阻 先由此求 v(t) 再由此求 x(t)
先求v(t).由 d=-g,知 x (0=∫(-g)d1=-g1+C x=x(t) 由(0)=0，得C1=o,故 x=x(0) v(t)=-gt+vo 再求0占 g1+o,知 x)=∫(-g1+odt=-92+o1+C2 由x(0)=x0,得C2=x0,于是所求运动规律为 x(t)=-3gt2+vot+xo 机动 下贞 返回
v(t). , d d g t v 由 知 v(t) ( g)dt C1 gt (0) , 0 由v v , 1 0 得C v 0 v(t) gt v 再求 x(t). x(t) ( t v )dt 0 g 0 2 2 2 1 gt v t C (0) , 0 由x x , 2 0 得C x 于是所求运动规律为 0 0 2 2 1 x(t) gt v t x 由 ( ) d d v t t x , 0 gt v 知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 o x (0) 0x x x x(t)
4.1.4不定积分的简单性质 性质1一个函数积分后导数或微分等于这个函数。 女h-e暖arh-ja 性质2一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。 「f'(x=f(x)+C或∫f(x)=f(x)+C
性质1 一个函数积分后导数或微分等于这个函数。 性质2 一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。 f x dx f x d f x dx f x dx dx d ( ) ( ) ( ) ( ) 或 f x dx f x C df x f x C ( ) ( ) 或 ( ) ( ) 4.1.4 不定积分的简单性质