第一节复数项级数 1.复数列的极限 设{an}(n=1,2,…)为幂复数列,其中an=an+ibn又 设α=a+i为幂确定的复数.如果v>0,彐N(=)>0,使得当n>N 时,有 Jan -al 那么称a是复数列{an}当n→∞时的极限,记作 lim an=a
1! Eê?ê 1. Eê4 {αn}(n = 1, 2, · · · ) ǑEê, Ù¥ αn = an + ibn. q α = a + ib Ǒ(½Eê. XJ ∀ε > 0, ∃N(ε) > 0, n > N , k |αn − α| < ε, o¡ α ´Eê {αn} n → ∞ 4, P limn→∞ αn = α. 3/54
定理一复数列{an}(n=1,2,……)收敛于a的充要条件是 lim an a, lim bn= b n→。 证(略)
½n Eê {αn}(n = 1, 2, · · · ) Âñu α ¿^´ limn→∞ an = a, limn→∞ bn = b. y (Ñ) 4/54
例1判别数列an=(2)的收敛性
~ 1 Oê αn = 1 + i 2 n Âñ5. ) Äk©) αn = an + bni, ,©O an Ú bn 4, 2( ½ αn ñÑ5. ÏǑ 1 + i 2 n = "√ 2 2 cos π 4 + isinπ 4 #n = 1 2 n/2 cos nπ 4 + isinnπ 4 . ¿ limn→∞ 1 2 n/2 cos nπ 4 = 0, limn→∞ 1 2 n/2 sin nπ 4 = 0. ¤± αn = 1 + i 2 n Âñ". 5/54
例1判别数列an= 2 的收敛性. 解首先分解αn=an+bni,然后分別考察an和bn的极限,再确 定cn的敛散性
~ 1 Oê αn = 1 + i 2 n Âñ5. ) Äk©) αn = an + bni, ,©O an Ú bn 4, 2( ½ αn ñÑ5. ÏǑ 1 + i 2 n = "√ 2 2 cos π 4 + isinπ 4 #n = 1 2 n/2 cos nπ 4 + isinnπ 4 . ¿ limn→∞ 1 2 n/2 cos nπ 4 = 0, limn→∞ 1 2 n/2 sin nπ 4 = 0. ¤± αn = 1 + i 2 n Âñ". 5/54
例1判别数列an= 2 的收敛性 解首先分解αn=αn+bni,然后分别考察an和bn的极限,再确 定cn的敛散性 因为 cos-+isin. 2n/2(Cos+ising
~ 1 Oê αn = 1 + i 2 n Âñ5. ) Äk©) αn = an + bni, ,©O an Ú bn 4, 2( ½ αn ñÑ5. ÏǑ 1 + i 2 n = "√ 2 2 cos π 4 + isinπ 4 #n = 1 2 n/2 cos nπ 4 + isinnπ 4 . ¿ limn→∞ 1 2 n/2 cos nπ 4 = 0, limn→∞ 1 2 n/2 sin nπ 4 = 0. ¤± αn = 1 + i 2 n Âñ". 5/54