根据(1)、(2)、(3）式可以得到：6Mgd二y"(x) =xY-b-a32据所讨论问题的性质有边界条件：y(O)=0，y(0)=0，解上面的微分方程得到：3Mg(dr_1x)y(x) =Y.b.a(23将x-d/2，代入上式，得右端点的y值：Mg·d3y=4y.b.a此时的y值对应横梁的下降量，即y=△Z，所以，杨氏模量为d3.MgY =(4)4a.b.△Z本实验利用公式(4)，通过测量d、M、a、b、△Z各量，计算杨氏模量Y。这些量中，△Z较小，如何测准是提高测量精度的关键，本实验中，我们采用读数显微镜对其测量。读数显微镜与螺旋测微器一样，都是利用螺旋放大法进行精密测量的：将与被测物关联的测量尺面与螺杆连在一起，螺杆尾端加上一个圆盘，称为鼓轮，其边缘等分刻成50格，鼓轮每转一圈，恰好使测量尺面移动0.5mm，那么鼓轮转动一小格，尺面移动了0.01mm。若鼓轮外径为16mm，，则周长约为50mm，鼓轮上每一格弧长相当于1mm的长度，也就是说，尺面则移动0.01mm时，反映在鼓轮上变化了1mm，于是微小位移被放大了100倍，测量精度也就是提高了100倍三、霍尔位移传感器霍尔元件置于磁感强度为B的磁场中，在垂直于磁场方向通以电流I，则与这二者垂直的方向上将产生霍尔电势差Un:(5)UH=K-I-B（1）式中K为元件的霍尔灵敏度。如果保持霍尔元件的电流「不变，而使其在一个均匀梯度的磁场中移动时，则输出的霍尔电势差变化量为：dBAUH=K.1.9.△Z(6)1ZdzN(6）式中△Z为位移量，此式说明若dBIdZ为常数时，△U与△ZN成正比。为实现均匀梯度的磁场，可以如图3所示两块相同的磁铁（磁铁截面积及表面感应强度相同）相对位置，即N极与N图3霍尔位移传感器极相对，两磁铁之间留一等间距间隙，霍尔元件平行于磁铁，放在该间隙的中轴上。间隙大小要根据测量范围和测量灵敏度要求而定，间隙越小，磁场梯度就越大，灵敏度就越高。磁铁截面要远大于霍尔元件，以尽可能的减小边缘效应的影响，提高测量精23
23 根据 (1)、(2)、(3) 式可以得到： ) 2 ( 6 " ( ) 3 x d Y b a Mg y x 据所讨论问题的性质有边界条件：y(0)=0，y′(0)=0，解上面的微分方程得到： ) 3 1 2 ( 3 ( ) 2 3 3 x x d Y b a Mg y x 将 x=d/2，代入上式，得右端点的 y值： 3 3 4Y b a Mg d y 此时的 y 值对应横梁的下降量，即 y = ΔZ，所以，杨氏模量为 a b Z d Mg Y 3 3 4 (4) 本实验利用公式(4)，通过测量 d、M、a、b、△Z 各量，计算杨氏模量 Y。这些量中，△Z 较 小，如何测准是提高测量精度的关键，本实验中，我们采用读数显微镜对其测量。读数显微镜与 螺旋测微器一样，都是利用螺旋放大法进行精密测量的：将与被测物关联的测量尺面与螺杆连在 一起，螺杆尾端加上一个圆盘，称为鼓轮，其边缘等分刻成 50 格，鼓轮每转一圈，恰好使测量尺 面移动 0.5mm，那么鼓轮转动一小格,尺面移动了 0.01mm。若鼓轮外径为 16mm，,则周长约为 50mm， 鼓轮上每一格弧长相当于 1mm 的长度，也就是说，尺面则移动 0.01mm 时，反映在鼓轮上变化了 1mm，于是微小位移被放大了 100 倍,测量精度也就是提高了 100 倍 三、霍尔位移传感器 霍尔元件置于磁感强度为 B 的磁场中，在垂直于磁场方向通以电流 I，则与这二者垂直的方 向上将产生霍尔电势差 UH： U K I B H (5) (1) 式中 K 为元件的霍尔灵敏度。如果保持霍尔元件的电流 I 不变，而使其在一个均匀梯度的磁 场中移动时，则输出的霍尔电势差变化量为： Z dZ dB U K I H (6) (6) 式中△Z 为位移量，此式说明若 dB/dZ 为常数时，△UH与△Z 成正比。为实现均匀梯度的磁场，可以如图 3 所示两块相同的磁 铁（磁铁截面积及表面感应强度相同）相对位置，即 N 极与 N 极相对，两磁铁之间留一等间距间隙，霍尔元件平行于磁铁，放 在该间隙的中轴上。间隙大小要根据测量范围和测量灵敏度要求而定，间隙越小，磁场梯度就越 大，灵敏度就越高。磁铁截面要远大于霍尔元件，以尽可能的减小边缘效应的影响，提高测量精 图 3 霍尔位移传感器
确度。若磁铁间隙内中心截面处的磁感应强度为零，霍尔元件处于该处时，输出的霍尔电势差应该为零。当霍尔元件偏离中心沿2轴发生位移时，由手磁感应强度不再为零，霍尔元件也就产生相应的电势差输出，其大小可以用数字电压表测量。由此可以将霍尔电势差为零时元件所处的位置作为位移参考零点。霍尔电势差与位移量之间存在一一对应关系，当位移量较小（<2mm），这一一对应关系具有良好的线性。【实验仪器】图4实验装置说明霍尔位置传感器测杨氏模量装置包括读数显微镜、a.铜刀口上的基线b.读数显微镜：c.刀口d.横梁e.铜杠杆（顶端装有SS495ASS495A型集成霍尔位置传感器、磁铁两块、支架、砖码型集成霍尔传感器）f.磁铁盒g.磁铁（N盘、码等，见图4。极相对放置）h.三维调节架i.砖码1.读数显微镜本实验所用读数显微镜为JC-10型，其放大倍数为20倍，分度值为0.01mm，测量范围0～6mm。读数显微镜的使用可以参考“实验三十二杨氏双缝干涉实验”附录。2.码有10.0g、20.0g两种。3.三位半数字面板表量程1：0~199.9mV，分辨率0.1mV：量程2：01.999V，分辨率1mV。4.霍尔位置传感器灵敏度大于250mV/mm，线性范围0~2mm。【实验内容与步骤】一、测量黄铜样品的杨氏模量1.用水准器观察是否在水平位置，若偏离时用底座螺丝调节到水平位置。2.调节读数显微镜，使眼睛观察十字线及分划板刻度线和数字清晰。然后移动读数显微镜前后距离，使能清晰看到铜刀上的基线。转动读数显微镜的鼓轮使刀口架的基线与读数显微镜内十字刻度线吻合，记下初始读数值。3.逐次增加码M，（每次增加10g码），相应从读数显微镜上读出梁的弯曲位移△Zi4.测量横梁两刀口间的长度d及测量不同位置横梁宽度b和横梁厚度a。24
24 确度。 若磁铁间隙内中心截面处的磁感应强度为零，霍尔元件处于该处时，输出的霍尔电势差应该 为零。当霍尔元件偏离中心沿 Z 轴发生位移时，由于磁感应强度不再为零，霍尔元件也就产生相 应的电势差输出，其大小可以用数字电压表测量。由此可 以将霍尔电势差为零时元件所处的位置作为位移参考零 点。 霍尔电势差与位移量之间存在一一对应关系，当位移 量较小（< 2mm），这一一对应关系具有良好的线性。 【实验仪器】 霍尔位置传感器测杨氏模量装置包括读数显微镜、 SS495A 型集成霍尔位置传感器、磁铁两块、支架、砝码 盘、砝码等，见图 4。 1. 读数显微镜 本实验所用读数显微镜为 JC-10 型，其放大倍数为 20 倍，分度值为 0.01mm，测量范围 0～6mm。读数显微镜的使用可以参考“实验三十二 杨氏双缝干涉实验”附录。 2. 砝码 有 10.0g、20.0g 两种。 3. 三位半数字面板表 量程 1：0～199.9mV，分辨率 0.1mV；量程 2：0～1.999V，分辨率 1mV。 4. 霍尔位置传感器 灵敏度大于 250mV/mm，线性范围 0～2mm。 【实验内容与步骤】 一、测量黄铜样品的杨氏模量 1. 用水准器观察是否在水平位置，若偏离时用底座螺丝调节到水平位置。 2. 调节读数显微镜，使眼睛观察十字线及分划板刻度线和数字清晰。然后移动读数显微镜前后距 离，使能清晰看到铜刀上的基线。转动读数显微镜的鼓轮使刀口架的基线与读数显微镜内十字 刻度线吻合，记下初始读数值。 3. 逐次增加砝码 Mi（每次增加 10g 砝码），相应从读数显微镜上读出梁的弯曲位移△Zi。 4. 测量横梁两刀口间的长度d及测量不同位置横梁宽度b和横梁厚度a 。 图 4 实验装置说明 a.铜刀口上的基线 b.读数显微镜 c.刀 口 d.横梁 e.铜杠杆（顶端装有 SS495A 型集成霍尔传感器）f.磁铁盒 g.磁铁（N 极相对放置） h.三维调节架 i.砝码
二、探究内容1.霍尔位置传感器的定标连接集成霍尔位置传感器，研究梁的弯曲位移（可由读数显微镜测量）与霍尔传感器电压值（单位mV）之间的关系，对霍尔位置传感器进行定标。具体实验步骤请自行设计。2、用霍尔位置传感器测量可锻铸铁的杨氏模量。【数据处理】1.用逐差法按公式进行计算，求得黄铜材料的杨氏模量。把测量结果与公认值进行比较，计算误差。2.测量霍尔位置传感器的灵敏度。【注意事项】1.用千分尺待测样品厚度必须不同位置多点测量取平均值。测量黄铜样品时，因黄铜比钢软，旋紧千分尺时，用力适度，不宜过猛。2.用读数显微镜测量码的刀口架基线位置时，刀口架不能晃动。3.用千分尺测量厚度，当将要与金属接触时，必须用微调轮。听到答答答三声时，要停止旋转。4．读数显微镜的准线对准铜刀口挂件上的基线时，注意要区别是黄铜梁的边沿，还是基线。5.霍尔位置传感器定标前，应先调节永磁铁盒下的升降杆上的旋纽将霍尔位置传感器调整到零输出位置。另外应使霍尔位置传感器的探头处于两块磁铁的正中间（磁铁上有十字标线）稍偏下的位置，这样测量数据更可靠一些。6.加码时，应该轻拿轻放，尽量减小中间的码架的晃动，这样可以使电压值在较短的时间内达到稳定值，节省实验时间。7.实验开始前，必须检查横梁是否有弯曲，如有应矫正。【思考题】1.弯曲法测杨氏模量实验，主要测量误差有哪些？请估算各因素的不确定度。2.用霍尔位置传感器法测位移有什么优点？【参考文献】[1]梁昆淼高等学校教材力学下册（理论力学）第三版[M].199525
25 二、探究内容 1. 霍尔位置传感器的定标 连接集成霍尔位置传感器，研究梁的弯曲位移（可由读数显微镜测量）与霍尔传感器电压值 （单位 mV）之间的关系，对霍尔位置传感器进行定标。具体实验步骤请自行设计。 2. 用霍尔位置传感器测量可锻铸铁的杨氏模量。 【数据处理】 1. 用逐差法按公式进行计算，求得黄铜材料的杨氏模量。把测量结果与公认值进行比较，计算误 差。 2. 测量霍尔位置传感器的灵敏度。 【注意事项】 1. 用千分尺待测样品厚度必须不同位置多点测量取平均值。测量黄铜样品时，因黄铜比钢软，旋 紧千分尺时，用力适度，不宜过猛。 2. 用读数显微镜测量砝码的刀口架基线位置时，刀口架不能晃动。 3. 用千分尺测量厚度，当将要与金属接触时，必须用微调轮。听到答答答三声时，要停止旋转。 4. 读数显微镜的准线对准铜刀口挂件上的基线时，注意要区别是黄铜梁的边沿，还是基线。 5. 霍尔位置传感器定标前，应先调节永磁铁盒下的升降杆上的旋纽将霍尔位置传感器调整到零输 出位置。另外应使霍尔位置传感器的探头处于两块磁铁的正中间（磁铁上有十字标线）稍偏下 的位置，这样测量数据更可靠一些。 6. 加砝码时，应该轻拿轻放，尽量减小中间的砝码架的晃动，这样可以使电压值在较短的时间内 达到稳定值，节省实验时间。 7. 实验开始前，必须检查横梁是否有弯曲，如有应矫正。 【思考题】 1. 弯曲法测杨氏模量实验，主要测量误差有哪些？请估算各因素的不确定度。 2. 用霍尔位置传感器法测位移有什么优点？ 【参考文献】 [1] 梁昆淼. 高等学校教材 力学 下册（理论力学）第三版[M]. 1995
实验六金属杨氏模量的测量一动态法【实验目的】1.学会用动态悬挂法测量材料的杨氏模量。2.学习用外延法测量，处理实验数据。3.了解换能器的功能，熟悉测试仪器及示波器的使用。4.培养学生综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。【预备问题】1.示波器的使用【实验背景】测量杨氏模量的方法主要包括静态法（拉伸法）和动态法（共振法）。两类方法各有优缺点。静态法一般适用于较大的形变及常温下的测量，但该方法的缺点是不能真实反映材料内部结构的变化，也不宜测量较粗、较脆的材料。动态法克服了上述缺点，能准确反映材料在微小形变时的物理性能，测量值精确稳定，对脆性材料如石墨、陶瓷玻璃、塑料、复合材料等也能测定，并且测定的温度范围极广，也能在材料变温下测量。由于在测量上的这些优点，动态法在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准推荐使用的一种方法。【实验原理】一、动态法测杨氏模量棒的横振动方程y+ps"=0(1)Ox4YJat?式中：y为棒振动的位移：Y为棒的杨氏模量；S为棒的横截面积：J为棒的转动惯量；p为棒的密度：x为位置坐标；t为时间变量。用分离变数法求解棒的横振动方程，令"(x,t)X(x)T()代入方程(1)得1 d*xps 1 d'TX dx4YJ T dt?可以看出，上式两边分别是x和t的函数，这只有都等于一个任意常数时才有可能，若设这个常数为K，得d*X-K*X=0dx: 426
26 实验六 金属杨氏模量的测量-动态法 【实验目的】 1. 学会用动态悬挂法测量材料的杨氏模量。 2. 学习用外延法测量，处理实验数据。 3. 了解换能器的功能，熟悉测试仪器及示波器的使用。 4. 培养学生综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 【预备问题】 1. 示波器的使用 【实验背景】 测量杨氏模量的方法主要包括静态法（拉伸法）和动态法（共振法）。两类方法各有优缺点。 静态法一般适用于较大的形变及常温下的测量，但该方法的缺点是不能真实反映材料内部结构的 变化，也不宜测量较粗、较脆的材料。动态法克服了上述缺点，能准确反映材料在微小形变时的 物理性能，测量值精确稳定，对脆性材料如石墨、陶瓷玻璃、塑料、复合材料等也能测定，并且 测定的温度范围极广，也能在材料变温下测量。由于在测量上的这些优点，动态法在实际应用中 已经被广泛采用，也是国家标准推荐使用的一种方法。 【实验原理】 一、动态法测杨氏模量 棒的横振动方程 0 2 2 4 4 YJ t S y x y (1) 式中：y 为棒振动的位移；Y 为棒的杨氏模量；S 为棒的横截面积；J 为棒的转动惯量；ρ 为棒的 密度；x 为位置坐标；t 为时间变量。用分离变数法求解棒的横振动方程，令 y(x,t)=X(x)T(t)代入方 程 (1) 得 2 2 4 4 1 1 dt d T YJ T S dx d X X 可以看出，上式两边分别是 x 和 t 的函数，这只有都等于一个任意常数时才有可能，若设这 个常数为 K4，得 0 4 4 4 K X dx d X
d'T,KYt=0dt?+ps解这两个线性常微分方程。得通解y(x,t)=(AchK,+A,shK, +B, cosK,+B, sinK)cos(-t+)(2)其中の=(K*YJ/pS)1/2，A1，A2，B1，B2，9是待定系数，可由边界条件和初始条件确定。我们只要用特定的边界条件定出常数K，并将其代入棒的转动惯量J，就可以得到具体条件下的计算公式了。对于长为L，两端自由的棒，当悬线悬挂于棒的节点附近时，其边界条件为：自由端横向作用力为零，弯矩M亦为零。即.ayamF=-E=0ar3axM=EJoy0ax?即d'xd'xd'xd'x=0,=0,=0,= 0dx3dr3dx/=0dx?Ix=0xslIxsl将上面边界条件代入通解，得超越方程cosKL·chKL=1用数值计算法得到方程的根依次是：KL=0，4.7300，7.8532，10.9956，14.137，14.279，20.420...此数列逐渐趋于表达式K，L=（n-1/2）元的值。上述第一个根“0”相应于静态值，第二个根记为KL=4.7300，与此相应的共振频率称为基频（或称固有频率）@=2元fi，对于直径d，长为L，质量为m的圆形棒，其转动惯量为J = Sd2/16在基频f下共振时，得棒的杨氏弹性模量Y为L'mf?Y =1.6067(3)d测试棒在作基频振动时存在两个节点，它们的位置距离端面0.224L（距离另一端面为0.776L处。悬挂点如取在节点处，测试棒难于被激振和拾振，为此可在节点两旁选不同点对称悬挂，用外延法找出节点处的共振频率。另外要明确的是，物体的固有频率f和共振频率「共是两个不同的概念，它们之间的关系为11周=/1+(4)V40式中，Q为测试的机械品质因素。对于悬挂法测量，一般O的最小值约为50，共振频率和固有频率相比只偏低0.005%，本实验中只能测出测试的共振频率，由于两者相差很小。因此，固有频率27
27 0 4 2 2 t S K YJ dt d T 解这两个线性常微分方程。得通解 1 2 1 2 , cos sin cos x x x x y x t AchK A shK B K B K t (2) 其中 ω=(K4YJ/ρS) 1/2，A1，A2，B1，B2，φ 是待定系数，可由边界条件和初始条件确定。 我们只要用特定的边界条件定出常数 K，并将其代入棒的转动惯量 J，就可以得到具体条件下 的计算公式了。对于长为 L，两端自由的棒，当悬线悬挂于棒的节点附近时，其边界条件为：自 由端横向作用力为零，弯矩 M 亦为零。即 3 3 0 M y F EJ x x 2 2 0 y M EJ x 即 0 d d 0 3 3 x x X ， 0 d d 3 3 xL x X ， 0 d d 0 2 2 x x X ， 0 d d 2 2 x L x X 将上面边界条件代入通解，得超越方程 cos ch 1 KL KL 用数值计算法得到方程的根依次是：KL=0，4.7300，7.8532，10.9956，14.137，14.279，20.420. 此数列逐渐趋于表达式 KnL=(n-1/2)π 的值。 上述第一个根“0”相应于静态值，第二个根记为 K1L=4.7300，与此相应的共振频率称为基 频（或称固有频率）ω1=2πf1，对于直径 d，长为 L，质量为 m 的圆形棒，其转动惯量为 /16 2 J Sd 在基频 f1 下共振时，得棒的杨氏弹性模量 Y 为 3 2 1 4 1.6067 L mf Y d (3) 测试棒在作基频振动时存在两个节点，它们的位置距离端面 0.224L（距离另一端面为 0.776L） 处。悬挂点如取在节点处，测试棒难于被激振和拾振，为此可在节点两旁选不同点对称悬挂，用 外延法找出节点处的共振频率。 另外要明确的是，物体的固有频率 f 固和共振频率 f 共是两个不同的概念，它们之间的关系为 2 1 1 4 f f Q 固 共 (4) 式中，Q 为测试的机械品质因素。对于悬挂法测量，一般 Q 的最小值约为 50，共振频率和固有频 率相比只偏低 0.005%，本实验中只能测出测试的共振频率，由于两者相差很小。因此，固有频率