考虑（1）式，通过积分可求得：-元GR'(2)M外=2 L其中M外为外力矩。大家可以参考力学教材，试着推导一下上式。设圆柱体内部的反向弹性力矩为Mo，平衡时则有Mo=-M外，令K=元GR+/2L（称为扭转系数），则有(3)Mo=-Kpo将一细金属丝（钢丝）的上端固定，下端联结一个以金属丝为对称轴的物体，当以钢丝为轴将物体扭转一小角度松开后，物体将在钢丝弹一国螺花性扭转力矩M的作用下作周期性的自由摆动，这就是扭摆。本实验所用扭摆如图3所示，爪手（及圆环）和钢丝一起组成了扭摆。若钢丝在扭转摆动中的角位移以Φ表示，爪手整个装置对其中心轴的转动惯量夹其为1o，根据转动定律则有d'dM=-KΦ=1(4)图环° dt?001d@,Kβ=0(5)瓜手dt+1图3扭摆此方程是一个常见的简谐振动微分方程，它的振动周期应是FT。= 2元1(6)K(6）式中钢丝的扭转系数K和摆动物体绕轴的转动惯量I可以通过实验测得，方法如下：首先测得转动系统本身（爪手）绕轴摆动的周期To，这时转动系统的转动惯量为1o.再将一个已知内外直径、高度和质量的圆环水平放在爪手上，测得爪手与圆环一起绕钢丝转动的周期T1，此时对应的转动惯量为系统本身转动惯量1o与圆环的转动惯量Ii之和，由(19)式可得4元2T2=4元2T2=/(l。 +1)KK将此两式相减可消去lo.得：4元2T2-T2=4(7)1K若圆环转动惯量Ii已知，可由（7）式求得钢丝的扭转系数K。因钢丝的扭转系数K=元GR+/2L，便可由下式计算出钢丝的切变模量G8元L1G=(8)RT-T?由理论推导可知，圆环绕中心轴作水平摆动的转动惯量1为8
8 考虑 (1) 式，通过积分可求得： L GR M 2 0 4 外 (2) 其中 M外 为外力矩。大家可以参考力学教材，试着推导一下上式。设圆柱体内部的反向弹性 力矩为 M0，平衡时则有 M0 = - M外 ，令 K= GR4 /2L（称为扭转系数），则有 M0 = -K0 (3) 将一细金属丝（钢丝）的上端固定，下端联结一个以金属丝为对称 轴的物体，当以钢丝为轴将物体扭转一小角度松开后，物体将在钢丝弹 性扭转力矩 M 的作用下作周期性的自由摆动，这就是扭摆。本实验所 用扭摆如图 3 所示，爪手（及圆环）和钢丝一起组成了扭摆。若钢丝在 扭转摆动中的角位移以 表示，爪手整个装置对其中心轴的转动惯量 为 I0，根据转动定律则有 2 0 2 d dt M K I (4) 0 dt d 0 2 2 I K (5) 此方程是一个常见的简谐振动微分方程，它的振动周期应是 K I T 0 0 2 (6) (6) 式中钢丝的扭转系数 K 和摆动物体绕轴的转动惯量 I0可以通过实验测得，方法如下： 首先测得转动系统本身（爪手）绕轴摆动的周期 T0，这时转动系统的转动惯量为 I0。再将一个 已知内外直径、高度和质量的圆环水平放在爪手上，测得爪手与圆环一起绕钢丝转动的周期 T1， 此时对应的转动惯量为系统本身转动惯量 I0 与圆环的转动惯量 I1 之和，由(19)式可得 0 2 2 0 4 I K T ( ) 4 0 1 2 2 1 I I K T 将此两式相减可消去 I0，得： 1 2 2 0 2 1 4 I K T T (7) 若圆环转动惯量 I1已知，可由 (7) 式求得钢丝的扭转系数 K。因钢丝的扭转系数 K = GR4 /2L， 便可由下式计算出钢丝的切变模量 G 1 4 2 2 1 2 8 . L I G R T T (8) 由理论推导可知，圆环绕中心轴作水平摆动的转动惯量 I1为 图 3 扭摆
62+c2I, = M(9)8式中，b为圆环的内直径，为圆环的外直径，M为圆环的质量。【实验仪器】6扭动旋钮本实验仪器包括：支架与底座、数字式光电门计时5标志旋钮仪、爪手、圆环、矩形棒、圆柱形棒、小钢球、细钢丝、1钢板尺（1米）、游标卡尺、千分尺、电子天平等。图4是支架部分示意图，爪手上分别设置有放置圆环或球的凹槽，爪手的下方也分别设置有可悬挂圆环、放置条状棒或方形状棒的凹槽。3钢丝【实验内容】一2圆环一、测量钢丝的扭转系数、切变模量及系统本身绕对称4底座7光电门挡光杆轴的转动惯量（圆环绕对称轴的转动惯量已知）。51不手N个2中1.用米尺测量摆线的有效长度5次，用千分尺测量钢丝图4实验装置简图（图中两个2分别表示圆不同处的直径5次，用电子天平和游标卡尺测量圆环环垂直和水平两种状态放置)。的质量和内、外直径各5次。2.搭建单线扭摆，调整光电门的位置，使其处于挡光杆的平衡位置处，挡光杆应位于光电门空隙中央能遮住发射接受红外线的小孔又不与探头接触。设置计时仪，测量爪手本身绕钢丝转动的5个周期，重复5次。3.测量在爪手上水平放置圆环时整个系统绕钢丝转动的5个周期，重复5次。4.计算钢丝的扭转系数K、切变模量G及转动系统本身的转动惯量Io。5.计算K、G和Io的不确定度，写出结果表达式二、测量矩形棒、圆柱形棒等不同形状刚体绕定轴转动的转动惯量（选做）。1.用游标卡尺测量矩形棒、圆柱形棒的有关几何参数5次。2.用电子天平称量矩形棒、圆柱形棒的质量各1次。3.搭建单线扭摆，用智能计时仪测量扭摆摆动5个周期的时间5次。4.计算矩形棒、圆柱形棒绕对称轴的转动惯量，与理论值比较写出结果表达式。三、验证刚体的平行轴定理。（选做）利用所给小钢球验证刚体的平行轴定理。（实验时，要对称放置两小钢球，为什么？）【注意事项】1.在做扭摆实验时，应使摆动物体绕钢丝作定轴摆动，不能又摆又晃。9
9 8 2 2 1 b c I M (9) 式中，b 为圆环的内直径，c 为圆环的外直径，M 为圆环的质量。 【实验仪器】 本实验仪器包括：支架与底座、数字式光电门计时 仪、爪手、圆环、矩形棒、圆柱形棒、小钢球、细钢丝、 钢板尺（1 米）、游标卡尺、千分尺、电子天平等。 图 4 是支架部分示意图，爪手上分别设置有放置圆 环或球的凹槽，爪手的下方也分别设置有可悬挂圆环、 放置条状棒或方形状棒的凹槽。 【实验内容】 一、测量钢丝的扭转系数、切变模量及系统本身绕对称 轴的转动惯量（圆环绕对称轴的转动惯量已知）。 1. 用米尺测量摆线的有效长度 5 次，用千分尺测量钢丝 不同处的直径 5 次，用电子天平和游标卡尺测量圆环 的质量和内、外直径各 5 次。 2. 搭建单线扭摆，调整光电门的位置，使其处于挡光杆的平衡位置处，挡光杆应位于光电门空隙 中央能遮住发射接受红外线的小孔又不与探头接触。设置计时仪，测量爪手本身绕钢丝转动的 5 个周期，重复 5 次。 3. 测量在爪手上水平放置圆环时整个系统绕钢丝转动的 5 个周期，重复 5 次。 4. 计算钢丝的扭转系数 K、切变模量 G 及转动系统本身的转动惯量 I0。 5. 计算 K、G 和 I0 的不确定度，写出结果表达式。 二、测量矩形棒、圆柱形棒等不同形状刚体绕定轴转动的转动惯量（选做）。 1. 用游标卡尺测量矩形棒、圆柱形棒的有关几何参数 5 次。 2. 用电子天平称量矩形棒、圆柱形棒的质量各 1 次。 3. 搭建单线扭摆，用智能计时仪测量扭摆摆动 5 个周期的时间 5 次。 4. 计算矩形棒、圆柱形棒绕对称轴的转动惯量，与理论值比较写出结果表达式。 三、验证刚体的平行轴定理。（选做） 利用所给小钢球验证刚体的平行轴定理。（实验时，要对称放置两小钢球，为什么？） 【注意事项】 1. 在做扭摆实验时，应使摆动物体绕钢丝作定轴摆动，不能又摆又晃。 图 4 实验装置简图（图中两个 2 分别表示圆 环垂直和水平两种状态放置）
2．请勿用手将爪手托起又突然放下，铁制爪手自由下落时冲力易将钢丝或铜丝拉断。【思考题】1.切变模量和杨氏模量同为表征物体力学性质的弹性常数，它们的物理意义有什么不同？它们之间有无联系？（可参考文献[1])2.如果扭摆的角振幅为2元，根据钢丝的长度和直径估算一下，实验是否满足α<<1°的条件（对于圆柱表面层，PP/L=α)3.同一个环状刚体绕不同轴转动其转动惯量为何不同？4.根据误差理论分析用扭摆法测量材料的切变模量的主要误差是由哪些因素引起的？【参考文献】[1]费恩曼、莱顿、桑兹著，费恩曼物理学讲义（第一卷），上海科学技术出版社，2005。10
10 2. 请勿用手将爪手托起又突然放下，铁制爪手自由下落时冲力易将钢丝或铜丝拉断。 【思考题】 1. 切变模量和杨氏模量同为表征物体力学性质的弹性常数，它们的物理意义有什么不同？它们之 间有无联系？（可参考文献[1]） 2. 如果扭摆的角振幅为 2π，根据钢丝的长度和直径估算一下，实验是否满足<<1o 的条件(对于 圆柱表面层，PP/L=) 3. 同一个环状刚体绕不同轴转动其转动惯量为何不同？ 4. 根据误差理论分析用扭摆法测量材料的切变模量的主要误差是由哪些因素引起的？ 【参考文献】 [1] 费恩曼、莱顿、桑兹著，费恩曼物理学讲义（第一卷），上海科学技术出版社，2005
实验三利用三线摆测量刚体的转动惯量【实验目的】1学会用三线摆测定物体的转动惯量。2.学会用累积放大法测量周期运动的周期。3.验证转动惯量的平行轴定理。【实验背景】转动惯量是刚体转动惯性大小的表征参数。转动惯量的大小与转动物体的质量、转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）等因素有关。若刚体的形状简单且质量分布均匀，其绕一些特定轴的转动惯量可直接计算。而形状复杂且质量分布不均匀的刚体，例如机械部件、电动机转子和枪炮的弹丸等，其转动惯量的计算就非常复杂，通常需采用实验方法来测定。测量刚体转动惯量的方法有多种，如三线摆法、扭摆法、气垫转盘转动法等，其中三线摆法是一种设备简单、物理直观、测试方便的测量方法。【实验原理】H-hOL6RR图1三线摆示意图图2三线摆原理图1是三线摆实验装置的示意图，上、下圆盘均处于水平状态，三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连，上盘固定，下盘可绕中心轴转动，在下盘上面可以放置待测刚体。令下盘质量为mo，当它向某一方向转动角度0时，上升高度为h，此时它的总机械能为：1 (dh)?1(de)E=(1)+mgh21.(dt)2m（dt)11
11 实验三 利用三线摆测量刚体的转动惯量 【实验目的】 1. 学会用三线摆测定物体的转动惯量。 2. 学会用累积放大法测量周期运动的周期。 3. 验证转动惯量的平行轴定理。 【实验背景】 转动惯量是刚体转动惯性大小的表征参数。转动惯量的大小与转动物体的质量、转轴的位置 和质量分布（即形状、大小和密度）等因素有关。若刚体的形状简单且质量分布均匀，其绕一些 特定轴的转动惯量可直接计算。而形状复杂且质量分布不均匀的刚体，例如机械部件、电动机转 子和枪炮的弹丸等，其转动惯量的计算就非常复杂，通常需采用实验方法来测定。测量刚体转动 惯量的方法有多种，如三线摆法、扭摆法、气垫转盘转动法等，其中三线摆法是一种设备简单、 物理直观、测试方便的测量方法。 【实验原理】 图 1 三线摆示意图 图 2 三线摆原理 图 1 是三线摆实验装置的示意图，上、下圆盘均处于水平状态，三个对称分布的等长悬线将 两圆盘相连，上盘固定，下盘可绕中心轴转动，在下盘上面可以放置待测刚体。令下盘质量为 m0， 当它向某一方向转动角度 θ 时，上升高度为 h，此时它的总机械能为： 2 2 0 0 1 1 2 2 d dh E mgh I dt m dt (1)
其中，右边第一项为转动动能，第二项为平动动能。在这里第一项远远小于第一项，我们可以忽略它（同学们可以拍一下视频，课后利用Tracker软件研究一下在你的三线摆中，这个假设是否成立）。(de1E=+mogh(2)L2dt因为系统机械能是守恒的，E是个常数，（（2）式两边同时对时间1求导：dededhIo(3)-mogdtdt dt?根据几何关系，当旋转的角度の很小时，可以得到Rr=2Hh，其中H为平衡时上下盘间的垂直距离。请大家自己推导这个关系，注意在θ很小时可以做近似H-h=H和sin0~0。代入（3)式：d'e__mogRre(4)dt-I.H因此，当旋转的角度很小时，三线摆的摆动近似为简谐振动，其周期为：4元1，HT=(5)VmgRr我们通过测量三线摆的周期可以得到底盘的转动惯量：I=mogRrr24元H当下盘放置被测刚体时，质量应该用m+mo代替，此时测悬臂出来的是底盘与被测刚体总的转动惯量。【实验仪器】立杆实验采用如图3所示的基于多孔底板的综合力学实验装置，学生可自行组装，自由调节各种实验参数。上圆盘摆绳光电门底板索头可以放松，调节摆绳的长度。三根摆绳的长度必须一致，摆盘保证下圆盘在水平方向作扭摆运动。释放下圆盘时尽量保证圆盘中心位置在水平面上的投影位置不变，减小摆动过程中的单摆运动。图3三线摆实验装置图【实验内容】一、测量圆柱体、圆环对通过其质心且垂直于端面轴的转动惯量1.调整三线摆装置用水准器放在多孔底板上，并调节底板上的调节螺钉，使底板水平。将水准器放在下圆盘上，12
12 其中，右边第一项为转动动能，第二项为平动动能。在这里第二项远远小于第一项，我们可以忽 略它（同学们可以拍一下视频，课后利用 Tracker 软件研究一下在你的三线摆中，这个假设是否 成立）。 2 0 0 1 2 d E I m gh dt (2) 因为系统机械能是守恒的， E 是个常数， (2) 式两边同时对时间 t 求导： 2 0 0 2 d d dh I m g dt dt dt (3) 根据几何关系，当旋转的角度 θ 很小时，可以得到 Rrθ2 = 2Hh，其中 H 为平衡时上下盘间的垂 直距离。请大家自己推导这个关系，注意在 θ 很小时可以做近似 H - h ≈ H 和 sin θ ≈ θ。代入 (3) 式： 2 0 2 0 d m gRr dt I H (4) 因此，当旋转的角度很小时，三线摆的摆动近似为简谐振动，其周期为： 2 0 0 4 I H T m gRr (5) 我们通过测量三线摆的周期可以得到底盘的转动惯量： 0 2 0 2 4 m gRr I T H 当下盘放置被测刚体时，质量应该用 m + m0 代替，此时测 出来的是底盘与被测刚体总的转动惯量。 【实验仪器】 实验采用如图 3 所示的基于多孔底板的综合力学实验装 置，学生可自行组装，自由调节各种实验参数。上圆盘摆绳 索头可以放松，调节摆绳的长度。三根摆绳的长度必须一致， 保证下圆盘在水平方向作扭摆运动。释放下圆盘时尽量保证 圆盘中心位置在水平面上的投影位置不变，减小摆动过程中 的单摆运动。 【实验内容】 一、测量圆柱体、圆环对通过其质心且垂直于端面轴的转动惯量 1. 调整三线摆装置 用水准器放在多孔底板上，并调节底板上的调节螺钉，使底板水平。将水准器放在下圆盘上， 图 3 三线摆实验装置图