而fm=6x+6,fm=0, 6y+6 s 则在点(1,0)处有A=12,B=0,C=6 从而△=B2-AC=-12×6<0,且A=12>0, 那么f(x,y)有极小值f(1,0) 则在点(1,2处有A=12,B=0,C=6,从而△>0,故f(1,2)非极值 则在点(-3,0)处有A=-12,B=0,C=6,从而△>0,故f(-3,0)非 极值. 则在点(-3,2)处有A=-12,B=0,C=6,从而A<0,且A<0故有 极大值f(-3,0) 故此函数的极大值点为(-3,2),极小值点为(1,0
6 6 6, 0, 6 6, xx xy yy 而f x f f y = + = = − + 则在点(1,0)处有A=12,B=0,C=6; 2 从而 ，且 12 6 0 , 12 0, = − = − = B AC A 那么 有极小值 f x y f ( , ) (1,0); 则在点(1,2)处有A=12,B=0,C=−6,从而∆>0,故ƒ(1,2)非极值. 则在点(−3,0)处有A=−12,B=0,C=6,从而∆>0,故ƒ(−3,0)非 极值. 则在点(−3,2)处有A=−12,B=0,C=−6,从而∆<0,且A<0故有 极大值ƒ(−3,0). 故此函数的极大值点为(−3,2)，极小值点为(1,0)
例30求由方程2x2+2y2+x2+8yz-z+8=0所确定的z 的极值 解方程两边微分得 4xdx +4ydy+2zdz+ 8zdy+ 8ydz-dz=0 dz -4xdx-(4 y+82dy-4xdx (4y+82)dy 2z+8y-1 2z+8y-1 4x y-82 ax 2z+8 Oy 22+8y 由 az 0,=0得x=0,z 则代入原方程有y=-2,y2=16/7;x1=1,2=-8/7
7 2 2 2 30 2 2 8 8 0 . 例 求由方程 所确定的 x y z yz z z + + + − + = 的极值 解 方程两边微分得 4xdx+4ydy+2zdz+8zdy+8ydz－dz=0 4 (4 8 ) 4 (4 8 ) 2 8 1 2 8 1 2 8 1 xdx y z dy xdx y z dy dz z y z y z y − − + − + = = − + − + − + − 4 4 8 , 2 8 1 2 8 1 z x z y z x z y y z y − − − = = + − + − 0, 0 0, , 2 z z y x z x y = = = = − 由 得 1 2 1 2 则代入原方程有 2, 16 7; 1, 8 7. y y z z = − = = = −
从而有驻点(0,-2)(O,16/7) 而=4(2+8y-1)+8x,=,=4x2n+8) (2z+8y-1) (2z+8y-1)2 (4-8z1)(2z+8y-1)+(4y+8z)(2z1+8) (2z+8y-1)2 从而在点O,-2,1)处有4=4/15>0,B=0,C=415 →A=B2-AC<0 故z=x(xy)在驻点(0,-2)处有极小值z=1 而在点(O,16/7,8/7)处有A=-28/105<0,B=0 C=-28/105,→A=B2-AC<0 故z=x(x,y)在驻点(0,16/7)处有极大值z=-87
8 从而 有驻点 (0, 2),(0,16 7). − 2 4(2 8 1) 8 , (2 8 1) x xx z y xz z z y − + − + = + − 而 2 4 (2 8) , (2 8 1) y xy x z z z y + = + − 2 ( 4 8 )(2 8 1) (4 8 )(2 8) . (2 8 1) y y yy z z y y z z z z y − − + − + + + = + − 从而 在点 处有 (0, 2,1) 4 15 0, 0, 4 15 − = = = A B C 2 = − B AC 0 故z=z(x,y)在驻点(0, −2)处有极小值z=1. C = −28 105, 2 = − B AC 0 故z=z(x,y)在驻点(0, 16/7)处有极大值z=−8/7. 而 在点 处有 (0,16 7, 8 7) 28 105 0, 0, − = − = A B
注3在讨论函数极值问题时,也会遇到函数在个别点 处偏导数不存在的情况;但它们也可能是函数的极值点; 只是此时定理9失效,只能用定义10给予判定如函数 因 x-+ x ty 则在(,0)处及z均不存在;但z(0,0)=1 当(x,y)≠(00时,(x,y)=1-√x2+y2<1 即z(0,0)=1为极大值
9 注3 在讨论函数极值问题时，也会遇到函数在个别点 2 2 z x y = − + 1 2 2 2 2 , , x y x y z z x y x y = − = − + + 因 但 (0,0) 1; z = 即z(0,0)=1为极大值. 只是此时定理9失效，只能用定义10给予判定.如函数 处偏导数不存在的情况；但它们也可能是函数的极值点； (0,0) x y 则在 处 及 均不存在； z z 2 2 当 时 ( , ) (0,0) , ( , ) 1 1. x y z x y x y = − +
二元函数的最值 定义12设函数=f(xy)在区域D上有定义且(x0,y)∈D 若对任意的(xy)∈D,恒有 f(x,y)≤f(x0,y)(或f(x,y)≥f(x02y0)) 则称f(x2y3)是函数f(x,y)在D上的最大值(或最小值) 函数的最大值、最小值统称为最值. 使函数取得最值的点统称为最值点 注4极值与最值的区别 函数二=f(xy)的极大(小)值是函数f在D(f的某个邻域内的 最大(小)值;而f的最大(小)值是相对整个区域D来说的
10 二. 二元函数的最值 定义12 设函数z=ƒ(x,y)在区域D上有定义且 函数的最大值、最小值统称为最值. 0 0 f x y f x y ( , ) ( , ) 0 0 ( ( , ) ( , ) ) 或f x y f x y 0 0 则称 是函数 在 上的最大值 ( , ) ( , ) f x y f x y D ( ). 或最小值 使函数取得最值的点统称为最值点. 0 0 ( , ) x y D 函数z=ƒ(x,y)的极大(小)值是函数ƒ在D(ƒ)的某个邻域内的 若对任意的(x,y)∈D，恒有 注4 极值与最值的区别： 最大(小)值；而ƒ的最大(小)值是相对整个区域D来说的