极限运算法则 利用函数极限与无穷小的关系(定理1),我们导出如下 的极限运算法则.为了简化起见,我们以记号imf(x) 表示当自变量在某一个变化过程中的极限,这里变量 x可以xx,也可以x→)∞.在相关的证明过程中,只要 把0<xxo<8改换成相应的x>X即可
极限运算法则 利用函数极限与无穷小的关系(定理1)，我们导出如下 的极限运算法则．为了简化起见，我们以记号 表示当自变量在某一个变化过程中的极限，这里变量 x可以x→x0, 也可以x→∞．在相关的证明过程中，只要 把0<|x-x0|<δ改换成相应的|x|>X即可． lim ( ) x f x
定理3有限个无穷小的和是无穷小 证考虑两个无穷小的情形 设当xx0时,a,B是无穷小,考虑变量y=0+,由条 件imna=0,故对ve>0,彐81>0,当0<x081时,有 同理,因imB=0,对对此e>0,彐82>0,当0xx82 时,有 B
定理3 有限个无穷小的和是无穷小． 证 考虑两个无穷小的情形． 设当x→x0时，α, β是无穷小，考虑变量γ=α+β，由条 件 ，故对∀ε>0, ∃δ1>0, 当0<|x-x0|<δ1时，有 0 lim 0 x x α → = , 2 ε α < 同理，因 ，对对此ε>0, ∃δ2>0, 当0<|x-x0|<δ2 时，有 0 lim 0 x x β → = , 2 ε β <
取δ=min{81,2},当0x-8时,有 r=a+Bsa+B 即,limy=0
取 ，当0<|x-x0 δ = min{δ δ1 2 , } |<δ时，有 , 2 2 ε ε γ = α β + ≤ α + β < + = ε 即， 0 lim 0. x x γ → =
定理4有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证设函数u在x的某一个空心领域U(x,)内是有界 的,即丑M0,使得对一切的x∈U(x281)有四M, 又设a是当xx0时的无穷小量,即Ve>0,彐82>0,当 0-xxl82时,有 取δ=min{1362},当0<x86时,有 ≤M,al
定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小． 证 设函数u在x0的某一个空心领域 内是有界 的，即∃M>0，使得对一切的 有|u|≤M， 又设α是当x→x0时的无穷小量，即∀ε>0, ∃δ2>0，当 0<|x-x0|<δ2时，有 ( ) 0 1 , o U x δ 0 1 ( , ) o x U∈ x δ , M ε α ≤ 取 ，当0<|x-x0 δ = min{δ δ1 2 , } |<δ时，有 u M , , Mε ≤ ≤ α
同时成立,从而 ua=ula<M=G, M 即,ua是x→>x0的无穷小 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小
同时成立，从而 u u M , Mε α = α ε < = 即，uα是x→x0的无穷小． 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小． 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小．