￥22· 线性代数·复变函数·概率统计习题全解（中局）像 ◆第一章复数与复变函数 ·23· 1B1·2A群+A1·2a牛匝.： Bt B'e |f(:)|≤M B时 2 设)-引告-引e≠0，试证音：一0时的极限不 故 职得-会 A 存在。 证明设=x十. 定理三函数f(:)=u(红y)+w(xy)在。=x。十y处连续的充 要条件是：u(红，y》和(xy)在点(x为)处连续。 (是-引-共- 证明因为f(e)=u(xy)十m(x,y)在点x。=工十iy处连续，所以 .1(+2ryi-y-4+2zyi+y imf(:)=f(eo),即 2+y 2xy lim [u(r,y)+iv(r.y)]u(ro.yo)iv(z,yo) tw=0+w0) =+ 而上式成立的充要条件是： 干极限不存在（由《高等数学（下册）》知) 因为im 2ry lim (r,y)=u(roy)lim (,y)=v(ra,yo) 一0 0 所以imf(z)不存在. 一0 即u(x,y)和v(x,y)在点(xey%)处连续. 32.试证argz在原点与负实轴上不连续. 29.设函数f(:)在。连续且f(:)≠0，那么可找到和的小邻城，在这邻 证明(1)arg:在原点未定义，故不连续。 城内f(x)≠0。 (2)在负实轴上取一点P(x,0)(x<0) 证明由于f(e)≠0，不妨设1f(:a)川>0.因为f（(:)在点。连续，所 当z在上半平面上时z→P,im(arg:)=x y+0 以对6=宁/e,1>0,存在8>0，使得当-，l<8时 当z在下半平面上时z→P,lim(arg:)=一元 lfe)-fl<=2f训 所以arg(x)在P(x,0)(红<0)处不连续 由点工<0的任意性知，g:在原点与负实轴上不连续。 又 1f(xa)1-f(z)川<1f(:)-f(z)月 故 f1-f(< 从而 /e1>/e1-fi=/e1>0 即存在在8邻域，在这个邻域内(：)≠0。 30.设1imf(x)=A,证明f(z)在a的某一去心邻城内是有界的，即存在 一个实常数M>0,使在的某一去心邻城内有1f(x)川≤M. 证明由limf(:)=A,对x=1,38>0,当0<z-l<8时，有 1f(:)-A|<1,即A-1<f(x)<A+1 取M=1A|+1.则
意第二章解析函数 ·25· 圆 本章知识结构 第二章 解析函数 导数与微分 解析函数的定义 任何节约归根到底是时问的节约。 充要条件 村西·黎曼方程(C-R方程) 一马克思 解析画数 1.指数 2.对数 初等函数 3.乘暴a与暴函致 导学 4,三角与双南 5,反三角与反双曲 解析函数是复变函数研究的主要对象，在理论和实践中有着广泛的应 平面向量场 用。本章首先引入复变函数导数概念和求导法则，在此基础上定义了解析函 平面场 平面流选杨的复势 数的概念，并着重介绍了判断函数可导和解析的判别方法：其次，把我们熟知 的复势 的初等函数推广到复数域上来，并研究其解析性：最后以平面流速场和静电 静电场的复势 场的复势为例，说明解析函数在研究平面场问题中的应用。 学习本章的主要手段是“推导”。本章习题中证明题所占的比例高居全书 各章之首，对初等函数的有效把握，需建立在熟练推导之上.比如，三角函数、 习题全解 双曲函数及其反函数，是一个“关系网”，自已章笔推导数追后，“自然”就章提 了， 1.利用导数定义推出： 柯西：絮曼方程是=号号=一密是全书最重要的公式之-，第三 (1)(zy■z-1(H为正整数)： a广- 章还会回头研究本公式， 证明1)令fe)=xP(e)=1im红+△”-2 0 用数学归纳法证：(xy=nz-」 当n=1时 fe)=四a+起=m盖-1=1 △
·26* 线性代数·复变雨数·横率统计习题全解（中普）编 意第二章解析函数 *27* 即(2)'=1×-成立 若 设当界=k时，有 ()=kz2-1 老-多影-密 有 6x2=9y2 则对=k十1时 (y=(+)y=(g·r✉x·x+(y 即 W√2x=±V√3y 91·2十名…k·-1=(k+1)=nx1 即只在√2士√3y=0上可导，但在复平面上处处不解析。 由数学归纳法原理知： (3)f(=)=xy +izy (x)=nx1(n为正整数) u=xy!,v=ry 2()广‘- 密=六，出=2y,密=2，密=2 证明令f()=1 满足 出-的步-出 1 一△z P(e)=lim之+：二立=im子+z·2 即y2=x22xy=-2xy→y=±x,x=0或y=0→x=0,y=0 △z △z 即只在：=0处可导，在复平面上处处不解析。 =细+-是 -1 (4)f(z)=sinxchy +icosxshy 2.下列函数何处可导？何处解析？ u=sinxchy.v cosxshy (1)f2)=x2-iy:(2)f(x)=2x3+3yi az=cos沁hy, ay =sinxshy, 证 =-sinrshy, (3)f(a)=y+ix'y;(4)f(z)=sinxchy +icosrshy 要点在某点可导：酸证是否满足C-R方程即可，在。解析，f(x)在点 寄-coy、光-密贵=一密 。及含。的某邻域内处处可导， 故f(2)在复平面上处处可导，处处解析， 解(1)f(z)=x2-iy 3.指出下列函数∫(x)的解析性区域，并求出其导数： 令4=x2,0=一y (1)(x-1)5: (2)x3+2iz 密-2，帝=0，密-0，密-1 .1. (3)广 0警丰cd申至少有-个不为0) 满足 解(1)f(z)=(2一1)° (z)=5(z一1)，f(z)在复平面内处处解析， 免 2:-1→x=-号 (2)f(x)=z3+2ix 所以f)在直线x=-壹上可导，而在复平面上处处不解析。 P(x)=3x+2i,f(:)在复平面内处处解析。 (2)fe)=2x3+i3y (3)fe)=子-1 =2x3,=3y2 =22 杂=6以，芳=0，密=0，费=9y2 f()=-1,-1=0=土1 除=土1点外，f(x)在复平面上处处解析
·28· 线性代数·复变函数·概率统计牙题全解（中册）邹 重第二章解析函数 ·29· （0e)=栏丰c,d中至少有-个不为) 命题为假。 P (s)a(cs+d)-(az +b).c=ad-be 例如，f(:)=z?在z=0可导，但不解析， (cz +d) (cz+d) (3)如果是f(:)的奇点，那么f(:)在不可导： 若c=0.则处处解析，若e≠0，cg+d=0,2=- 命题为假。 例如，见上例，不解析的点叫奇点，但可能有导数 故除：=一是点外，八)在复平面上处处解析. (4)如果4是f(x)和g(:)的一个奇点，那么2。也是f(z)十g(:)和 4.求下列函数的奇点： f(e)/g(x)的奇点： 0D 8-2 (2)e+1)(2+D 命题为假。 例如e)=,8e)=号 1 解(1)由z(z2+1)=0得x=0,2=土i 奇点：0，士i a=1为f(x)和g(:)的一奇点，但不是f(z)+g(x)=0和f(x)/g(x) (2)由(z+1)2(x2+1)=0.得z=士i,×=一1 =一1的奇点。 奇点：士i,一1 (5)如果u(红，y)和（红，y)可导（指偏导数存在），那么f(z)=“十iw亦 5.复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有患些方 可导： 法？ 命题为假。 解复变函数的可导性反映了函数在某一点的局部性质，而解析性则 倒如，令4（红y)=产，0(xy)=xy则u(红，y),红y)均可导，但= 反映了函数在一个区域内的整体性质，函数可以在某个区城内仅有一点处可 导，在这个区域内的其他点均不可导，此时在这一点处不解析：而如果说函数 2红≠密=于是f)不可导。 在某一点处解析，则这个函数必定在这一点的某邻城内处处解析，因此，函数 (6)设f(:)=“十iw在区城D内是解析的，如果4是实常数，那么f(z) 在一点处解析与在区城内可导才是等价的。 在整个D内是常数：如果”是实常数，那么f(:)在D内也是常数。 判新函数的解析性有两种常用方法，（一）是用定义，利用可导性判断解 命题为真。 析性：（二）是用定理：函数f(z)=(红，y)十iw(x,y)在其定义域D内解析 证明已知f(e)在D内解桥Yx∈D,有 台(z,y)和(x,y)在D内任一点：=x十y可微，且满足桐西-黎曼方程 re)=盖+密-器-瑞 6.判断下列命题的真假，若真，请给以证明：若假，请举例说明. 且清足CR方程：器-密·影一密： (1)如果f(x)在o连续，那么P(:o)存在； 又u=有数→是=0考=0的莹=0密=00=常数 dy 命题为假 故f(:)=u十w=常数。 例如，f(:)■x十2在复平面内任一点连续，但不滴足C-R方程，故 7.如果f(e)=4十i记是x的解析函数，证明： P(x）不存在。 (是川'+(e川=Pe (2)如果P()存在，那么f(x)在解析： 证明由f(x)=十iw得
·30· 线性代数·复变雨数·概率统计习题全解（中前） 查第二章解析函数 。31*. If()1=+v 要=}斋空=- 又由于f(:)是解析函数 证明 由x=rcos6 y=rsin9 有 移 P=2+yg=aretan兰 再由复合函数求导法则可得 是e1=c+ 多e训-多+安 √+ 所以（是e'+(号e 1+帝墨-点 y + 密+是 盖-要去+帝是-学+常（别 √+√a2+J C++.+割 2+2 又由)=密+密可得 rer=()'+(密月 左=(+（密）-右 串-帝片-辛+帝月 得证。 即 -y空=+ (1) 8.设my2十ry十i(x3十红y2)为解析函数，试确定1，mn的值. 解设“=my2+nx2y,g=x2+xy2,则 由 =一密得 是=2xr贵=3my+ 之+帝-空+帝 密-3+分 dy=2lry y学+…是=帝- (2) 2nyx dxy 由C-R方程 仅将华及空看做线性方程组中的工其余看徽系数等， 3x2+ly2=-(3my2+nr2) 联立求解(1)(2)，得 所以n=1=一3，m=1 9.证明：柯西·架曼方程的极坐标形式是