。12. 线性代数·复变函数·餐率统计习题全解（中册） 险第一章复数与复变雨数 13· 16.(1)求方程x3+8=0的所有根； (2)求微分方程y”十8y=0的一般解， }-白合+， 解(1)由22+8=0，得 -是-合- - 1 2=一8 又 -8=8ee 结果如图1-1所示. =8=2%学 18.已知两点21与（或已知三点122， (nm0,1,2) ),问下列各点位于何处？ 取n=0,得0=2于=1+√3， 10-e,+) 取#=1，得=2e=-2, (2)x=1十(1一A)z:(其中A为实数) 图1-1 取n=2,得4=20=1-√/3 0)=号a十+) 方程x2+8=0的三个根分别为：】+√3i,-2,1-√3i. (2)微分方程y”十8y=0的特征方程为 解(1)：=号(1+)：位于1与2连线中点上： 2+8=0 (2g=点+1-0=后二：位于连线上 由(1)的结果可知方程小十8=0有三个互异的根： 1+√3i,-2,1-√3i (3)一号十十：位于三角形重心 方程y十8y=0有三个线性无关的特解： 19.设12231三点适合条件：1十：十聊0,1l=:l=l=1。 y=e+F=e(cos√/3x+isin√3x) 证明z1,2,之是内接于单位圆1：|=1的一个正三角形的顶点. 证明因为 1十：十24=0 为=e2r 所以 3=一(21十红） 为=e-Fr=e(cos3z-isin√3z 23■-(1十) 于是原方程三个线性无关的实数特解为：ecos√3x,e'sin√3x,e”,从 |=18=(x1十)（十2） 而原微分方程的一般解为 =2+:+(g12:+12:) y=c1e+e(ccos√3z+csin√3z 因为 |31|兰2}=|s|=1 其中，12，为任意常数。 所以 (x1x+12)=-1 17.在平面上任意选一点，然后在复平面上画出下列各点的位置： 1x1-3红|2=(1-2)(21一22) -,-}- =2+|-(1石+z) =1+1-(-1)=3 解设÷=1十i,则 3-l=√3 一女=一1一i 同理 =1-i,-2=-1+i -l=l-l=√3 所以，为正三角形
·14· 线性代数·复变函数·概率统计习题全解（中斯）物 查第一章复数与复变函数 ·15· 20.如果复数1西满足等式二=二正明一引= “21一1：一1 (a0arge-1D=若 以(0，i)为起始点的y一x=1的射线(x>0) 一l=:一，并说明这些等式的几何意义。 22.接出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无 证明 由二=二=二4 界的，单连通的还是多连通的： 红一 (1)1m(e)>0: (2)1x-11>4 (兽二”名=器= (3)0<Re(x)<I: (4)2≤1：1≤3 -2=3-lia-l (5)1:-1|<1:+3: (6)-1<arg=<-1十需 (1) -2=-:- (7)1:-1|<4:+1:(8)l:-21+l:+21≤6 (2) (9)l:-2|-lx+2|>1:(102-(2+iz-(2-i2≤4 铝得 后=- 解本题的解法，是将条件转化为直角坐标， 故5一|=一1l,同理一一3：一这几个式子表明1： (1)1m(:)>0无界，单连通城，不包括实轴的上半平面。 构成一个正三角形， (2):一1|>4无界，多连通.圆周(x一1十y=16的外部区域 21.指出下列各题中点x的轨迹或所在范围，并作图： (不包括画周)， (1)lz-5引=6： (3)0<R(e)<1无界，单连通.由直线x■0及x=1所构成的带 (2)|2+21≥1 (3)Re(e+2)=-1: 形区城，不包括两直线在内。 (4)Ree)=3 (4)2≤：≤3有界，多连通，闭.由士十y2=4与2十y2=9所 (5)l+ill-il; (6)1z+3+1:+11=4 以的圆环城。 (7)1m(e)≤2； =引>1 (5)2一11<：+3引无界，单连通.直线x=一1右边的半平面区 (9)0<arg腔<； a0arge-iD=音 城，不包括直线在内， (6)一1<ag2<一1+元无界，单连通，由射线8=一1及8=-1 解(1)：一5引=6以5为现心，以6为半径的圆[作图路，下同]. 十π构成的角形域，不包括两射线在内。 (2):+2f≥1在复平面上以(0，-2)为圆心，以1为半径的园及圈 外部区城 ()k-1<4十1川无界，多连通.中心在=-品半径为是的 (3》Re(x十2)=-1直线x=-3 弧周的外部区域（不包括恩周）， (4)Re(=3直线y=3 (8)k-2引十十21<6有界，单注通，闭.号+苦-1及其图成 (⑤)：十i训=：一i实轴 区城， (6):十3引十：十1川=4以(-3,0).(-1.0)为焦点，以4为长轴 的两圆 (9)k-2引-：十21>1无界，单连适.双曲线4护-=1的 (7)m(e)≤2y=2直线及其下方区城 左边分支的内部（含焦点：■一2的那部分）区城。 (10)z-(2+i)x-(2一i正≤4有界，单连通，闭.(x-2)+(心 (8份)|二引>1直线x=名及其左方区城 +1)炉=9及其内部区坡， (9)0<arg2<元不包括实轴的上半平面 部分图形如图1-2所示
·16· 线性代数·复变函数·概率统计习题全解（中册）统 恋第一康复数与复变函数 ·17· 23.证明复平面上的直线方程可写成： 2十■c,(a≠0为复常数，c为实常数). 证明设g=a+bi,e世x+。 +=(a+i)(x-yi)+(a-bi)(x+yi) =ax-ayi+bri+by+ax +ayi-bxi+by ■2(ax+by)=c(这是直线方程，) 以上每步均可倒推，得证， 24,证明复平面上的圆的方程可写成： 运+2十十c=0,(其中a为复常数，c为实常数). 证明设：=x十，a■a十A, x十旺+十c=0 x2+y2+(a+)(x-i)+(a-bi)x+)+c=0 +y+az-ayi+bxi+by+ax +ayi-bri+by+c=0 x+y+2(ax +by)+cm0 (x十a)是+(y+b)2=a2十-e(这是圆的方程.) 以上每步均可倒推，得证。 25,将下列方程(“为实参数)给出的曲线用一个实直角坐标方程表出： (1)x=4(1+i) (2):=acost十ibsint,(a,b为实常数) 8)g=4+片 0)g=+音 (5)z=achf+ibsht,(a,b为实带数) (6)g=ae“+bc- (7)g=e(a=a+仿为复数】 解(1)设z=x+,则 =1 (100 x+iy=t(1+i)问 r y y t 图1-2 (2)z=acost ibsint 设g=x十，则
·18· 线性代数·复变函数·展率统计习题全解（中斯）编 意第一章复数与复变函数 ·19· x十i=acost+ilsint acost fx=cosg·e“ ly osint ly=sinb·e (3)设x=x十y,则 兰=akt=(arctan} 工+y=1+} r ty sel m e x=4 =4=1py=号 26函数也=士把下列：平面上的声线装射成心子面上生样的自线？ (1)x2+y2=4: (2)y■x (4)设x=x十y,则 (3)x=1: (4)(x-1)2+y2=1 (I=H 解设x平面上为x=x十y,e平面上点为 x+y=+ = w=a十6 由w=阳+所=十“a+动西=+ 1 Pxy=1(x>0,y>0) (5)设z=x十iy,则 由两复数相等的定义得 x+iy acht+ibsht r=achr ste-) a=2+了 6=F+y 二y 2 (1)由x2+y=4.得 y=lsht =be=e-) 2 0+=(千'+（帝”=号 得 表示：以(0,0)为翻心，以号为半径的圈。 (6)设：■x+iy,则 (2)由y=x,得 I+iy ae +be =acost+iasint+bcost-bisint a=千F=2b=十克=-a=-6=-。 =(a +b)cost +i(a-b)sint 表示直线。 -(a+6)con (3)由x=1,得 y (a-B)sint 字中方6=子+#=-}”+萨=} a++a二=1 表示以合，0为圆心，以号为半径的圆。 (7)设：=x+iy,则 (4)由(x-1)+y=1.得 x十iy=e“(a=a十所为复数) =ea+aw=e·e年 +=2千y-是a-是 se"·(cosb+isinbe) 表示一条直线
·20· 线性代数·复变函数·概率统计习题全解（中册） 验第一章复数与复变函数 ·21· 27.已知映射w=x2,求： 同理可证1im[f(a)一g(z)门=A-B (1)点1=i,zt=1+i,=√3十i在w平面上的象， (2)因为1img(x)=B,所以38>0及M>0,使0<l:-|<8,时， ②)区城0<arg取<音在w平面上的象。 Ig()I<M. 解(1)设z=r(cos0+isin8),则 ys>0,因为imf(x)=A,所以362>0，使0<z-l<:时，有 w=(cos30+isin30) ru =i=cos受+isin受 1f)-A<M+1A 又因为img(z)=B.所以存在6>0.使0<1z一<6时，有 在和上的象为 【re cos}x+isin号x-i Ig(e)-B引<M+A 同理，1的象为一2十2i,2的象为8。 取8=min{8,,6},则当0<|：-a|<8时，必有 (2)区城0<arg<号在和平面上的象为 If(z)g(z)-ABI 1f(z)g(z)-Ag(s)+Ag(z)-ABI If(z)-Allg(=)1+Alg(z)-BI 0<argu<r=吾×3 <M+AM+A·M+A= 28.证明§6定理二与定理三。 故 limf(2)g(z)=AB 定理二如果Iimf(x)=A,img(z)=B,那么 44 (3)因为1img(z)=B(B≠0)，所以36，>0及M>0,使0<|：- (1)lim[f(z)士g(z)]=A士B; (2)lim[f(z).g()]=AB; <时ee1>号 =中角 (3)lim (2A Ve>0,因为limf(e)=A,limg(z)=B,所以36：>0，使0<z-o 四8=月(B≠0). g”n 4+。 <2时，有 证明(1)因为limf(z)=A,limg(z)=B 0 Bit Ye>,3a>0,使0<-<时，有/e)-A<受 I()-Al<2AT+BD 38:>0,使0<z-al<8时，有 3,>0,使0<12-zl<:时，有1g(e)-B1<是 1g(e)-B1<2A+1Bd Bc 取6=min{6,6},则当0<1名-o<6时，必有 I[f(z)+g(z)]-(A B)I 取6=min{8,d,6,},则当0<{z-|<8时，必有 ≤Ife)-Al+lge)-B1<+受=t 得-会-1B4 g(x)·IB| 成立.故lim[f(z)+g(a)]=A+B ≤B:fe)-A1+IAI·lge)-B1 |B·g()川