·32· 线性代数·复变雨数·籁率统计习斯全解（中带）● 重第二章架析函数 ·33· 空带 即 = 10.证明：如果函数f(e)=“十w在区城D内解析，并满足下列条件之 也解析 一，那么f(x)是常数， 于是由(2)，知 f(:》■C (1)f(e)恒取实值： 证法2由(：)十iw,得 (2)了(a)在D内解析： f(:)l=√a2+▣C≠0 (3)1f(:)1在D内是一个常数： 上式两边分别对x,y求偏导 (4)argf(e)在D内是一个常数： (5)aw+加=c,其中4，b与c为不全为零的实常数 壹+如隆0 证明(1)f(:)恒取实值， 2V√a+ f(e)=u(x,y)十iu(x,y)=实值 则 ,》=0且密=多-0 (2√a3+r f(e)解析，则f(e)满足C-R方程， 小尝+=0 即 于是 器=0，影=0mu一常数fe=C 瑞+多=0 题设f(:)在D内解析，则横足C-R方程： (2)了e)在D内解析 由f(e)=社+w在D内解析，有 岩-多帝一是 盖-岩一品 (1) +密=0 (1) 即 又(a=“一iw在D内解析得 (2) 出=-多旁-密 (2) 仅将岩，密看成线性方程组中的函其余看成@a:等系数 由(1)(2)，得 系数矩阵： =-(2+)=-C≠0 所以 u三Cv■Ca 所以 f()=C:+iC:=C 由克拉秋法则有密一密-0 (3)f(:)1在D内为一常数， 证法1若If(:)川=C=0,则f(e)=0,f(e)是常数。 再由CR方程有 等=器=0p=CmC(C+G 若lf(x)川=C≠0，则f(:)≠0 (4)rgf(e)在D内为一常数 于是 f(x)·(x)=C 证明设argf(x)=9三C,则
*34· 线性代数·复变函数·概率统计习题全解（中荷）售 难第二章解析函数 ·35· ”=tan0=tanC=C→v=k·C 解(1)e=c正确.因为 e=e(cosy +isiny)=e"(cosy-isiny) 上式分别对x及y求偏导，再用C-R方程 =e"[cos(-y)isin(-y)]=ete=e-0me! →--C影=-是=-C岩 ay'ay (2)c0sz=c0:正确，因为 cosz=cos(x十iy）=cosx·chy-isin.rshy 四 ∫密-c=0 cosz cosachy isinzshy 而 cosz cos(iy)=cos(z-iy)coszshy isinzshy 11-C 所以 C05文=C0sz 系数矩阵 1 =1+C2≠0 (3)sinz=sin2正确，因为 密-=0 sins sin(r +iy)=sinzchy icosxshy 由克拉默法则知 y =sinxchy-icoszshy 再由C-R方程得 -影=0 sinz sin(+iy)=sin(z-iy) 于是 ≡C1,V=C: =sinxch(-y)icoszsh(-y) 即 f()=C+iC sinzchy -icoszshy (5)a4十m=c,其中a,b与c为不全为零的实常数 所以 sinz sinz 证明若a≠0.由aw十m=c,得 12.找出下列方程的全部解： “=6b (1)8inz=0: (2)co8x=0 (3)1+e=0: (4)sinz eosz =0 有 解(1)由sinz=0,得 eir-e-ir=0 由C-R方程 即 e=1 于是 =-(}多 故x=nπ(1=0，士1，士2，…)， 即 [会”+]房=0 (2)由cosz=0得e"十e-"=0,即e=-1,故 =受+xm=0士1，士2…) y =五=0 (3)由1+e=0得e=一1，故 中wC:,V=C: g=(2+1)i(m=0,士1，士2，…) →f(z)=C:十iC (4)由inz十c0sz=0,得 11.下列关系是否正确？ (1)e=e; (2)COSz =Cosz 方e-e)+e+e四=0 (3)sinz=sin交 即 e=-i·
·36· 线性代数·复变函数·展率统计习延全解（中黄） 。业第二章解析函数 ·37。 故z=x-子a=0,士1，士2，…) 4 (6)左边=sim受0s(-)+cossin((-)=coa=右边 13.证明： (6)lcos=lcosrchy-isinrshyl (1)cos(+)=coszicoss:-sinzisinz:t =(cosrchy)+(sinrshy) sin(a+)=sinz1cos马十cos3sin21t =cos'rch'y sin rsh'y (2)sin'+cos'=1; cos'r(1+sh'y)+(1-cosr)sh'y (3)sin2:=2sinzcoss; cos'r+sh'y 2tanz (4)an2x=1-am' 同理 Isina=sin'r+sh'y (6)m经-司=co6osa+)-6o 14.说明： (1)当y*oo时，lsin(x+y)l和cos(x+y)1趋于无穷大 (6)Icosz=cos'r+sh'y,Isinz=sin'r+sh'y (2)当4为复数时，lsin≤1和1cosf|≤1不成立 证明(1)c0sz1cosz1一sinz1sin5: (1)cos(r+iy)=cosrchy-isinrshy -当+e当.出十e当-当-e 2 2 2 lcos(+iy)=cos'rch'y sin'rsh'y .当-当 =(1-sin'z)(1+sh'y)sin'rsh'y 2五 4 =+e*型 =Wcos'r+sh'y≥|shyl 2 osa,+)=以+e%+2 shy为奇函数，只须证：y>0时，shy>y,则有Ishyl>lyl,从而得 2 4 [cos(r+iy)>lyl 所以cos(a1十z,)=cosz1cos22-sinz sin3: 即得 y-·oo时，cos(x十iy)!o四 同理 sin(a1十z1）=sin2cos:十c0sg1sin4 下证3y>0时，hy>y,而这是个高等数学问题. @左边-（云+（仁-1-有边 f(y)=shy-y.f(y)=chy-1>0 所以 f(y)↑（当y>0时） (3)在(1)sin(十zt)=sinz:cosa十co5z1in:中，令=4=x可得 面 f(0)■sh0-0=0 (3). 所以 f(y)>f(0)=0 w右边==器 2sinz/cosz 即 hy>y(当y>0时) 关于Isin(x+y)l为无穷大（当y→o∞），也可类似证明. 2 (2)当t为复数时，lsit≤1和lcost|≤1不成立，以cos:为例 e"+e- 2 cosl=+e”。e+ee1.547n 2 2 2i 所以 lcoszl1>1 cos22 =tan2x=左边 15.求Ln(一i),Ln(-3+4i)和它们的主值. 2 解Ln(-i)=tnl一i计+iArg(-i)+i(2kx)
·40· 线性代数·复变函数·瓶率统计习题全解（中新）。 难第二章架析函数 41· 运期a的--('-(e =cos(-y)chz-isin(-y)shx =cosychz+isinyshz■0 =a++2-。”+a-2=1 4 (chreosy =0 (1) am:+-+ (sinyshx =0 (2) chx≠0，由式(1)→co5y=0 =+"-2+0+e+2 4 4 =e十。” py=+受k=0,士1， 2—=ch2x 代入式(2)，得 sm(s+引hr=0 (3)shz chz:+cheishz: →（士1）shx=0→shx=0→x=0 =4-e”.监+e当++e的.4- 2 2 2 2 =x+iy=0+(受+ -2中-2-“=4-e4=h(e1+) 4 2 =i不+2m=2谈十1 2 2 (k=0,士1，…) chzche:+shzishz: (3)由(1)的推导过程知 =4+e5.+当+4e当.-，e 2 2 2 2 shz =-isiniz=(-i)(-sinychr icosyshr)=i =+=he,+) (sinychz 1 (1) → 2 lcosyshr=0 (2) 21,解下列方程： 由式(2)，若hx=0,得 (1)shz=0:(2)chg=0: (3)sha=i 2-e 2=0→x=0 解()hx=十sini=-isinis,shz=0即 将x=0代人式(1)得 sinis =0 由 siniz sin[i(+iy)]=sin(-y +ir) 1·5imy=1→y=2k+受 =sin(-y)chr icosyshz=0 若c0sy=0,得y=十受，代人式1)，得 (sin(-y)chz=0 (1) lcosyshz =0 (2) sin(+）ehr=1 在式(1)中，chxz≠0→siny=0→y=x(传=0，士1，…)代人 →chx=士1 式(2)cos(kπ)shx=0,(士1)shx=0. 又chx>0恒成立，舍去chx=一1 →shx=0→x=0 →z=x十iy=0+ikx=k元k■0，士1，… →chr=1→x=0y=2x+ (2)chz cos(iz)=0 →=z+iy=(2m+}i=0,±1，±2…) cos(iz)=cos[i(+iy)]=cos(-y+ir) 22.证明：(2.3.19)与(2.3.20)
·42- 线性代数·复变函数·概率统计习随全解（中册）细 堂第二章解析函数 ·43· 证明chiy=eB+,e”-coy+isiny十co8y-isiny=cosy 等势线方程 x3-(y十1)2mc 2 2 速度方程为 v(x)=2(年-i) shiyiniiny (2)f(z)2(+yi)=(zi-y'+2zyi)(r+yi) 2 chiy=cosy,shiy=isiny(2.3.19)得证 =x3-3xy2+i(3x2y-y3) ch(z +iy)=cosi(r +iy)=cos(-y+ix) f(x)=3x2=3(x2-y2+2xyi) =cos(-y)cosir-sin(-y)sinir v=f(e)=3x2=3(x2-y2-2xyi) cosychr+sinysh 流函数 "(x,y)=3x2y-y3 sh(+iy)=isin[(z iy)(-i)]=isin(y-ir) 流线方程 (3x2-y2)y=c1 isinycosiz icosysinir 势函数。 x,y)=x(x2-3y2) =shzcosy十ichzsiny 等势线方程 x(x2-3y2)=c: (2.3.20)得证. 速度方程为 0(z)=3z 1 23.证明：shz的反函数Arshz=Ln(g十√22十1). x-y:-2xyi (3)f)=+7=2-y+1)+4r 证明设x■shw,则 w=Arshz f(2)=-e+1 又=动w=e-e),于是 0=a=2x+2+2红+(2xy+2y-2yi (x+y2+1)+4z'y e-2ze”-1=0 流函数 -2xy Ψ(x,)2-y+1+4xy e=g+√e+1 流线方程 (x2-y+1)2+4xy2=cy w=Ln(:+√x2+1) 势函数 x2-y2+1 Arshz=Ln(z+√2+i) xy)=2-y+1)+ry 即 “24.已知平面流速场的复势f(x)为 等势线方程 x2-y2+1 (x2-y+1)+4y=64 (1)(x十i)2: (2)x3; 1 (3)+1 速度方程为 (x)=一+1刀 求流动的速度以及流线和等势线的方程。 解(1)f(e)=(z+i)■（红+i+i) =x2-(y+1)+2x(0+1)i f(e)=2(e+i)v(z)=2(g-i)=2x-2(y+1i 流函数 "(xy)=2x(y+1) 流线方程 x0+1)=6即y=2-1 势函数 xy)=x2-(y+1)