本节提要 问题1:什么是集合、集合论? 集合无定义,通过外延法、概括法描述 公理化集合论通过公理手段研究集合相关概念 问题2:集合的基本概念有哪些? 问题3:如何进行集合运算与集合公式证明?
本节提要 问题1：什么是集合、集合论？ - 集合无定义，通过外延法、概括法描述 - 公理化集合论通过公理手段研究集合相关概念 问题2：集合的基本概念有哪些？ 问题3：如何进行集合运算与集合公式证明？
子集 口A为B之子集(记为AB)指vx(x∈Ax∈B), 口A为B之真子集(记为AcB)指AB且A≠B。 口A￠B是指x(x∈ AAXEB) 口例:{1,2}s{1,2,3},AcA,NR 口命题:A= BE(ASBABCA) 口该命题也常被用来证明集合相等
子集 𝐴为𝐵之子集（记为𝐴⊆𝐵）指∀𝑥(𝑥∈𝐴→𝑥∈𝐵)， 𝐴为𝐵之真子集（记为𝐴⊂𝐵）指𝐴⊆𝐵且𝐴≠𝐵。 𝐴⊄𝐵是指∃𝑥(𝑥∈𝐴∧𝑥∉𝐵) 例：{1,2}⊆{1,2,3}，𝐴⊆𝐴，N⊆R 命题：𝑨=𝑩↔(𝑨⊆𝑩∧𝑩⊆𝑨) 该命题也常被用来证明集合相等 12
空集 口(zF3*)空集公理:存在一个集合其没有任何元 素,称这种集合为空集( null set),记作p,其 为任何集合(包含空集本身)之子集
空集 (ZF.3*)空集公理：存在一个集合其没有任何元 素，称这种集合为空集（null set），记作∅，其 为任何集合（包含空集本身）之子集 13
空集 口命题:空集是唯一的 口证明:设12皆为空集,则根据空集的定义,有 01∈D2^1三④2,根据集合相等的定义有1=02 口空集本身是一个集合,也可以做为另一个集合 的元素或子集,故:0∈{吵},≤{};但因为空 集不含任何元素,故￠￠,￠≠{0 口定义:若集合A含有m个元素,则称A为n元集, 记为|A|=n;易见,￠是0元集,{①}是1元集
空集 命题：空集是唯一的 证明：设∅𝟏 ,∅2皆为空集，则根据空集的定义，有 ∅𝟏⊆∅2∧∅𝟏⊆∅2，根据集合相等的定义有∅𝟏=∅2 空集本身是一个集合，也可以做为另一个集合 的元素或子集，故：∅∈{∅}，∅⊆{∅}；但因为空 集不含任何元素，故∅∉∅，∅≠{∅} 定义：若集合𝐴含有𝑛个元素，则称𝐴为𝑛元集， 记为|𝐴|=𝑛；易见，∅是0元集，{∅}是1元集 14
由集合定义自然数 口在公理集合论中,集合是自然数的基础 口定义:设a为集合,称a∪{a为a的后继,记作a+ 口定义 von neumann): 令0=0,1=0+,2=0+,…,n=0+…+ 口定义:设A是集合,称A为归纳集( (inductive set指 0∈A∧(x∈A)(x+∈A
由集合定义自然数 在公理集合论中，集合是自然数的基础 定义：设𝒂为集合，称𝒂∪{𝒂}为𝒂的后继，记作𝒂+ 定义(von Neumann)： 定义：设𝑨是集合，称𝑨为归纳集(inductive set)指： ∅∈𝑨∧(∀𝒙∈𝑨)(𝒙+∈𝑨) 15