2.25已知离散型随机变量的分布列为 每次试验中,P(A)=P),为%重贝努里试验中事件A发生的 次数(在每次试验中,P(A)=P),而东与相互独立,所以5+ 2 为%1+重贝努里试验中事件A发生的次数,因而 111 p32,k=0,1,…, 求η=2的分布列 228设与物为独立同分布的离散型随机变量,其分布 解:7的分布列为 列为 5=n)=P( 11 求4的分布列 226设离散型随机变量6与n的分布列为 解:P(+n=)=∑P(=h)P(η=-h) 且与相互独立,求{=5+的分布列。 解 229设随机变量具有分布:P(=)=,h=1,2, 11111 3,4,5,求,及E(+2) 227设独立随机变量与分别服从二项分布:b(h;吗 )与bk;n,p),求5+η的分布列。 解:B=(1+2+3+4+5)=3 解:(1)设n、7都是自然数,若n≤r,则)=0 E=(1+2134+4+53)=1 P日+=)=∑P(6=b)P(们=4-h) 5+2)2=E2+4E+4=27 设随机变量具有分布:P(=B)= 求E及D p 解,,:三-1 其中9 (2)设§为m2重贝努里试验中事件A发生的次数(在 22x“2(1)-
Dg=B-(E)2=2 得边长的误差为:0米的概率是0.49,±10米的概率各是016 ±20米的概率各是0.08,±30米的概率各是005,求场地而积 231设离散型随机变量的分布列为PB=(-1) 数学期望。 2,k=1,2,…,问§是否有数学期望? 解:设场地面积为8米2,边长的误差为§米,则S=( )2 3(-1)2,因为级数习发散,所且=0,F=2(101+200.08+3005)=186 以§没有数学期望。 所以 232用天平秤某种物品的重惫(砝码仅允许放在一个秤 ES2=E(+500)2=B2+10003+25000=250186(米2) 盘中),物品的重量以相同的概率为1克、2克…、10克,现有 234对三架仪器进行检验,各仪器发生故障是独立的,且 三组砝码; 概率分别为P1、P2、pa。试证发生故障的仪器数的数学期望为 (华组)1,2,2,5,10(克) P1+pa+Pao (乙组}1,2,3,4,10克) 丙细)】,1,2,5,30(克 证:令 1第讠架仪器发生故障 0第讠架仪器未发生故21,2s 问:用哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少?试 为发生故障的仪器数,则=++。磁;=P(;=1y 解:设、1、分别表示用甲组、乙组丙组砝码秤重时 p=1,2,3,所以E=B1+B2+E,=售,十约2+P。 所用的砝码数,则有 235设§是在邪重贝努里试验中事件A出现的次数,又 品重量12346678910 P(A)=p,令 331 ∫0为偶数 1128122841 1§为奇数 于是, 求E 路:-1(1+1+2+2+1+2+2+8+8+1)=18, n为奇数,函为 解:设g=1-P,m=。你费 (1+1+1+1+2+2+2+3+8+1)=17, 1(+9:()+(2)+3 1+1+2+3+1+2+2*3+4+1)=2。 p3q+…+y 所以,用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。 29 233某个边长为500米的正方形场地,用航空测量法测 Pg
将上面两式的两边分别相减,得 所以D=B-(B)2=n(-1)。 237如果在15000件午产品中有1000件不合格品,从中任 1-(g-P) ipo 意拙取150件进行检查求查得不合格品数的数学期望。 p"ym1=2P(n=1) ∫1第个产品为不合格品 解:设 所以Pn11-(1-22)2 0第讠个产品为合格品 则v:然分布列为 =P(n=1) 1-(1-2p)° 236某人的一串钥匙有n把钥匙,其中只有一把能打开 自记的家门,当他随意地试用这串钥匙时,求:打开门时已被试 用过的匙数的数学期望与方差。假定 因而Bn=n5,i=1,2,…,150.设为查得的不合格品数, (1)把每次试用过的钥匙分开 则=m,所以B=n=10 (2)把每次试用过的钥匙再混杂在这丰钥匙中 解:设5为试用过的钥匙数。 238从数字0,1,…,丹中伍取两个不同的数字,求这两 (1)P(=h)=21n…“n+2.-b+1 -k+11 个数?之鉴的绝对值的数学期望 解:设点为所选的两个数字之差的绝对值,则 1k=1,2 P=k)=-k+1 +1,k=1,2, 又联==2,的S1 于是 (+】)(2n+1) 1)(+12+1)-1=+2 +1 E 所以 墜=(的2n-1 239把数字1,2,…,罪任意地排成一列,如果数字k恰 (2)P(§=h) ,h=1,2 好出现在第k个位置上,则称有一个匹配,求匹配数的数学期 望 又 E 解设=1数字k出现在第个位置上 0数字k不在第k个位置上 则§的分布列为
B=P(>1)+2P《>n)=1+2(p*2+gy“) 于是=P=1)1,设匹配数为5则台=,四面242从一个装有m个白球、n个黑球然袋中摸球,直至坡 到白球时停止。如果(1)摸球是不逗回的,(2)摸球是返回的,试 E=∑B=1。 对这两种不同的摸球方式求:取出剽求数的数学期望 240设§为取非负整效值的随机变量证明 解;设摸到白球时已取出的黑球效为 (i)5=∑P(≥n) (1}若摸球是不返问的,则 (2)=2∑nP(≥”)-E(E+1) P=)=m+”m+第1…”m+n一+工 证:(1)由于E=∑nP(=m)存在,所以该织数绝对 m +2-K 所以 收氢,从而2(点(=点P对m+01大+21m (=n)=∑P(§≥1) (2)D存在所以级数2=2nP(5=n)也绝对收敛, (2)若摸球是返回的,则 从面=职+磁-(联+)=2(+1),P(=) Ps=k)=m+)m+n k=0,1,2 熙(+1)=25R=n)-欧(B+1)=2∑iP所以 (=”)-(+1)=2P(≥4)-B(E+1) 243对一批产品进行撞验,如果检查到第№件仍未发现 241在贝努里试验中,每次试验成功的顿率为P,试验进不合格品就认为这批产品合格,如在尚未抽到第點件时已检查 行到成功与失败均出现时停止,求平均试验次数 解!设成功与失败均出现时的试验次数为则 到不合格品即停止续继查,且认为这批产品为不合格。设产 品数量很大,可以认为每次检查查到不合格品的概率都是p,问 P(s21)=1,P≥n)=p+gr,=2,(g=1-p)平约每批要检查多少件? 利用上题的结论, 解:设每批检查件产品,则§的分布列为
(常数)的条件下,当且仅当P 时D达到 12 (a 最大。 p9p…qkpq"p 1第次试验中事件A出现 解:设f 第讠次试验中事件A不出现 =p+2+…+P1+…+t("+q") 则诸相互独立且具有分布 p(]+2g+…+的 p 1-(1-p) 于是 胀,=p,DE1=P(1 244流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率 为罗,当生产出k个不合格品时即停工检修一次。求在两次检 =5,因而Du=∑p(1-P) 修之间产品总数的数学期望与方差。 在∑=P时 解:设第-1个不合格品出现后到第个不合格品出现 时的产品数为=1,2,…又设在两次检修之间产品总 D=又-∑?=mp(1-2)-∑(p-p) 数为,则=∑。 所以,当且仅当=P时Dp最大 诸独立同分布,P(54=3)=qp,j1y2,,kqe 246设随机变量与η独立,且方差存在,则有 )由此得 D(En)=D. Dn+(ES). Dn+DE(En) 路,=“1=1,群=“=, (由此并可得D(5m)≥D·Dn) 证:D(5n)=En3-(Bn) DE;=B-(B》=1严 E3-()‘(En)3 所以, ESEn'-Es(En)+E(En) (E)(Em)2 路, ESDn+(En)DE 245设μ为次独立试验中事件A出现的次数,在第 =D·Dn+(·D+D() 次试验中事件A出现的概率为,求D,并证明立。记为和n 247在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数