(1)第一个数取后放回,再取第二个数 1在第舌次试验中A出现 =1,2,…,鸦 2)第一个数取后不放回就取第二个数, 0在第讠次试验中A不出现 求主=k(0≤0)条件下§的分布列 求在1+52+…+,=(0≤≤m的条件下,(1≤≤n)的 分布列。 t:(1)P(=/=k)= =0,1,…,9 解:P(;=0/1+2+…+ (2)P==k)=44=0,1,…,*, P(5 +5-1+1+…+5=) =k=h)=0。 243设机变量(5,m)的分布列为 p iPq 2 3 6=1/,+3+…+5=7) 02 250设随机变量1,相互独立,分别儼从参数为λ与 42的普哇松分布,试证: (1)求在n=0的条件下的分布列 P(1=h6+=m=h八+/( (2)求在5=2的条件下们的分布列。 解,(1)B=即=0。P=,n20(是=0 证;P(=h/;+52=m) P(51=k,:+E2=n) P(61+E k=12、3 (,=h)P(52=第-k k=0出普哇松分布的可加性知+服从参数为λ1+2的普哇松 (212=2-2=自分,1分布,所以 ,k=234 P(2=h1+5=N)=(x+A2 . k只λ3 λ,+^2 249在次贝努里试验,事件A出现的概率为p令2.51设,5,…,乐为个相互独立随机变量,且5
(1≤氯忄)服从同一几何分布,即有P(f1=)=9r31,k=1 2,…,(1≤认丌),其中q=1-P。试证明在点1+5+…+5=几 的条件下,(1,53…,5)的分布是均匀分布即 第三章连续型随机变量 P(5=1,…,=!5+…+= 1设随机变量的分布函数为B(2),试以F(a)表示 其中n++…+=假 下列概率: 证:P51=,…,=自1+…+5=n) (1)P(s=a);(2)P(sa);(3)P(≥a);(4)P( P(1=n,…,=",51+…+5 x)。 解;(1)P(s=a)=B(a+0)-B(a); Pe +…+5,=) 2)P(≤a)=(a+ 由于51,5,…,5相互独立且服从同一几何分布,所以 (3)P(a)=1-B(a小 1 (4)Ps>a)=1-B(a+0)。 P(5,+…+5 q· 32函数F(x)=1+是否可以作为某一随机变量的分 从而 P(51=,…,5,=l8+…+5,=n) 布函数,如果 (2)0<x<∞,在其它场合适当定义 (3)-∞<x<0,在其它场昏适当定义 解:(1)F(x)在(-∞,∞)内不单调,因而不可能是随机 变量的分布函数; (2)B(x)在(0,)内单调下降,因而也不可能是随机变量 的分布函数 (3)F(x)在(-∞,0)内单调上升、连续且B(-∞)=0,若 定义 F(e) ∞<第<0 0
则(z)可以是某一随机变量的分布函数。 (2P()y),由G)知 33函数sinz是不是某个随机变量5的分布密度?如果 的取值范围为 1-r(a) 故上式右端 (3)P(|>a)=1-P(lf|<a)=1-[2F(a)-1]=21 解,(】)当2∈0,)时,s2>0且5m=1,所以+2(a sinz可以是某个随机变量的分布密度 35设H1(m)与2(a)都是分布函数,又a>0,b>0是两 个常数,且a+b=1。证明 (2)因为snzd=2+1,所以sinz不是随机变量的分 F(a)=aF(=)+be(r 布密度 也是一个分布函数,并由此讨论,分布函数是否只有离散型和连 (3)当∈(x,可时,汕a≤0,所以sm不是随机变续型这两种类型? 证:因为F2(c)和F2()都是分布函数,当x1<时, 量的分布密度 F(m1)<F(x2),F2(x)F2(2),于是 34设随机变量具有对称的分布密度函数(x),即(x1)=aF2(a1)+bF2(z1)≤aF(x2)+bF(x2)=F(m2), (x)=?(一),证明:对任意的a>0,有 又 (1)(-a)=1-F(以)=! 2.p(s)dr lim F(ar)=lim[a F1(tc)+bFR(=)]=0 (2)P||<a)=2F(a)-1 lim F(a)=lima F,()+6F(=)]=a+6=1 (3)P(||>a)=2[1-F(a)]。 F(x-0)=aF1(x-0)+bF2(-0) 证;(1)(-a)-y(a)dx=1-(x)d =aF1()+bFa(=)=F(a) 新以,(x)也是分布函数 b=,又令 =1-B(a)=1-(x)da p() dr=,pO F1(x)
这时 38随机变量§的分布函数为F(x)=A+B即,求 常数A与B及相应的密度函数 F(e) 0<x≤1 解.因为1mP0)4B(-2)0, lim F(e)=A+B 显然,与f(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值,故 F(x)不是离散型的,而F(∞)不是连续函数,所以它也不是连续所以 型的 B=,因而 36设随机变量§的分布函数为 1-(1+2)e P F(e) t,?(叫)=P(x) 求相应的密度函数并求P(≤1)。 39已知随机变量的分布密度为 解,正--(1+)]=am-,所以相应的密度函数为 p(a)=12-x1<2 其它 c<0 (1)求相应的分布函数F(x); P(§≤1)=F(1)=1-元 (2)求P(<0.5),P>1,3),P(0,2<<1,2) 37设随机变量§的分布函数为 0 F(m)= gdy +(2-y)dy=2c 11<≤z 求常数A及密度函数 解:因为F1-0)=(1),所以A=1,密度函数为 P(<0 0其它 P(>13)=1-P(s≤1.3)=1-F(1.3)=0245
P(0.2<<1.2)=f(1,2)-(0.2)=0,66。 作△ABC的高OD设CD=l当0≤≤h时,作EF∥ 310确定下列函数中的常数A使该函数成为元分布AB,使EF与AB间的距离为x。 的密度函数。 当0≤翁≤h时 (1)p(a)=Ae-l, F(a)=P(<)=8/P=12Q1、/b=数 (2)p(x)= 因此 其它 (3)p(x) 其它 解,(1){Ac1d=24e"da=2A=1所以A 312在半径为B,球心为O的球内任取一点P,求§=OP 的分布函数。 (2(Ak=2cx,以A, 解:当Q≤≤B时 :曾42,所进备 F(2)=P(5<平)4 (求),所以 R 31在△ABO中任取一点P,P到AB的距离为求 6的分布函数。 解: F(r) 理 33某城市每天用电量不超过、一百万度,以表示每天 的耗电率(即用电量除以一百万度),它具有分布密度为 (1-x)2.0<1 p(a) 其官 若该城市每天的供电量仅有80万度求供电量不够需要的概率 是多少?如每天供电量为90万度又是怎样呢? 91 9