解:(1)P(=1或§=2) 15+15 第二章离散型随机变量 2)P<<}=P(5=1)+P 21下面给出的是不是某个随机变量的分布列? (3)P(1≤2)=B(5=1)+P(=2)=1 0.50.30.2 3投机变量的分布列为P=0=0(3),b 解:是 2,3。求C的值 ↓2/2 所以 0.7010.1 解:07+0.1+0,1÷1,所以它不是随机变量的分布列 24设随机变量只取正整数值N,且P(=2)与N 成反比,求§的分布列 )3) 解:根据题意知P=N)=,其中常数C待定。由于 2+213+1)++2( +…=,所以 =05=1,所以=,蹕的分布列为 它不是随机变量的分布列 P=N)=6,N取正整数。 (4)1 9)~() 25一个口袋中装有m个白球、鸦-m个黑球,不返回地 连续从袋中取球,直到取出黑球时停止。设此时取出了§个白 )>,为自然戴,且(}4所以它是装* 5的分布列 解:设=却表示前k次取出白球,第k+1次取出黑球, 个随机变量的分布列。 则§的分布列为 22设随机变量的分布列为;P(=)=1,h=1,2, n(m-1)…(7-h+1)(特-m) 3,4,5,求:(1)P(=1或=2);(2)P (3)P n(n-1)…(n-)
26投某批电子管的合格品率为,不合格品*为1, P(=2),求P(=4) P=b)=3…(>0)k=,2,“,由M3= 现在对该批电子管进行测试,设第占次为首次测到合格品,求 的分布列。 e-,得λ1=2,2=0(不合要求)。所以 解,P=h)=1(4)4 k=1,2 P(=4)=1e 27一个门袋中有5只同样大小的球,编号为1、2、3,4 5从中同时取出3只球,以点表示取出球的最大号码,求的分 211设某商店中每月销售某种商品的数置服从参数为7 布列 的普哇松分布,问在月初进货时应进多少件此种商品才能保证 月不脱销的概率为0.99 P=b)2/5),h=3,4,5 解:设臼为该种商品每月销售数,"为该种商品每月进货 数,则P(5≤x)≥0.9。查普哇松分布的数值表,得z≥16 28抛掷一枚不均匀的硬币,出现正面的概率为?(0< 212如果在时间t(分钟)内,通过某交又路口的汽车数 <1),设§为一直掷到正、反面都出现时所要的次数,求的 量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽 分布列。 车通过的概率为02,求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概 解:P(=)=q2-p+p2'q,詬=2,3,…,其中q=1-p 率 29两名篮球队员轮流投籃,直到某人投中时为止,如果 解:设为时间t内通过交叉路口的汽车数,则 第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概宰为0.6, 求每名队员投篮次数的分布列。 P(F=h)=(A)x,k=0,1,2, 解:设§表示第一名队员的投篮次数,表示第二名队员 s=1时,P(5=0)=e=0.2,所以λ=扭n5 的投篮次数,则 t=2肘,M=2ln5,因而 P=k)=0,6k-10.4x-10.4+0,60.42-10.6 P(>1)=1-P(=0)-P(5=1)=(24-ln25)/25≈083 =0.76“924,k=1,2 213本500页的书共有500个错误,每个错误等可能 P(n=0)=04, 地出现在每一页上(每一页的印刷符号超过500个)。试求指定 P(n=k)=0.650.40,6+06~0,40,4 的一页上至少有三个错误的概率。 0.76·0.650.4-,b=1,2 2,10设随机变量ξ服从普畦松分布,且P(§=1)= 解,在指定的一页上出现某一个错误的概率p=50,因 而,至少出现三个错误的概半为
/50 自\50→k =0,1,2,…; 天、/5001/1 499 P( =1,T=m) p” m)= k八500/(50 利用普哇松定理求近似值,取A=n=500×50=1,于是 (λp)"e m=0,1,2, 上式右端等于 216在一个袋中装有乳个球,其中有个红球,n2个白 球,且1+2≤",现从中任意地取出r个球[≤mi(1,)], 214.某厂产品的不合格品率为0.03,现在要把产品装 设取出的红球数为,取出的白球数为7,求(,m)的联合分布 箱,若要以不小于09的概率保证每箱中至少有100个合格品, 列及边际分布列 那么每箱至少应装多少个产品? 解:设每箱至少装100+个产品,其中有k个次品,则要 解:P-=个<多 n2n2Y~鸟一 求翁,使 0.9≤y/100+2)0.39.9016, k=0,1,…,,b=0,1,…,r,”-(n--n)≤k+l≤r 利用普哇松定理求近似值,取=(160+2),0.03≈3,于是 n1/ 上式相当于 P(=h) k八八 9≤ 查普哇松分布数值表,得x5。 k/5/m 215设二维随机变量(,n)的联合分布列为 F(=,7=m)、p(1-p)c(A>0,0<p<1) k=max{0,"-(n-n1)},…,。 求边际分布列。 Pb=E八D人” 解;P(=m)=P(=n
=mx{0,r-(a-2)},…,f。 证:设”的分布列为 217在批产品中一等晶占50%,二等晶占30%,等 品占20%。从中任取4件,设一、二、三等品的件数分别为§、 \P1P2 、【,求(,”,联合分布列与各自的边际分布列。 由于P(5=a,y=1)=P(n=a1)=P(5=a)P(=a;)对a及 解:P=m,=为,=的)=、4 任意的a都成立,所以和?相互独立 ,n,k=0,1,2,3,4,m+几+k=4。 220设二维离散型随机变量(5,η)的联合分布列为 P=m)=(4)00.5°,m=0,1,2,4 P(n=0)=(4)1.30.;n=0,1,3,4, 2Ia Rs=6/0.240.8-,k=0,1,2,3,4 218抛掷三次均匀的硬币,以表示出现正面的次数,以 问其中的a、B取仆么值时5与独立? 7表示正面出现次数与反阿出现次数之差的绝对值,求(,v 解:的分布列为 的联合分布列及边际分布列。 ++B :n(,8|(,n)|(2,1(,a 们的分布列为 2 1 若§与”独立,则P(5=1,n=2)=P(=1)P(=2),即 c 3,于是B9 22l设随机变量与独立,且P(=1)=P(n=1) 0,又P(5=0)P(=0)=1-p>0,定义 若点+n为偶数 219证明:若随机变量§只取一个值a,则§与任意的 10若乐+n为奇数 离散型随机变量独立。 问取什么值时§与独立? 解:P(=1)=P(5=0)P(=0)+P(5=1)P(7=1)
=(1-p)2+y2 所以§与相互独立。同理η与《相互独立。 P(t=0).P(5=0)P(=1)+P(5=1)P(q=0) 但是 =2p(1-) P(=1,=1,=1)P=1)P(n=1)P(=1), 丽P(=1,【=1)=P(5=1,n=1)=p,由P(5=1,【=1)= 因而《、§、η不相互独立 P(=1)P(=1)得P=2° 223设随机变量§、η相互独立,且只取值1、2、3、4、5 2.22设随机变量§与η独立,且P(5=±1)=P(7= 0,证明+7不服从均匀分布甲不可能有P+”为 ±1)=n,定义《=5,证明t、、两两独立,但不相互独 k=2,3,…,12。 证:设P5=k)=,P(n=h)=,h=1,2,…,6 立 证:P(=1)=P(5=1)P(=1)+P(§=-1)P( 倘(5+n=h) 1) P:+n=2)=pq;= P(=-1)=P(=1)P(n=-1)+P(=-1) 2n+4+…+队+p94= P(?=1) P(+=12)=P9=11 因为 将(2)式减去(1)式,得:(76-P:)q<0,于是P<。同 P(=1,【=1)=P(=1, 理<9。因此.9≤P=1,与(3)式矛盾 =P(=1)P(t=1), 224已知离散型随机变量的分布列为 P(=1)P(《=-1) P(=-1,=1)=P(5=-1,n=-1) P(5=-1)P(=1), 求7=35+2与=0的分布列 P(=-1,=-1)=P( ≈-1)P=-1)